Интегральная формула коши

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ.

Интегральная теорема Коши.  Если функция  – аналити-ческая в односвязной области  ,  ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром  , и на самом контуре, то интеграл вдоль любой замкнутой кривой, лежащей в этой области, равен нулю:

.

Для многосвязной области

.

Рисунок 4

Если функция  – аналитическая в некоторой замкнутой односвязной области  ,  а также на контуре  ,  ограничивающем эту область, то имеет место формула

  ,  (2.8)

называемая  интегральной формулой Коши. Она выражает значение аналитической функции в любой внутренней точке области через её значение на границе области. Величина, стоящая в правой части интегральной формулы Коши, называется  интегралом Коши.

Интегральная формула Коши остается в силе и для многосвязной области, где под границей    подразумевается линия, составленная из всех контуров области.

Функция  , аналитическая в области    и на контуре  ,  ее ограничивающем, имеет в этой области производные любого порядка, определяемые по формуле

.  (2.9)

С использованием этой формулы можно вычислять интегралы по замкнутым контурам:

,  (2.10)

.  (2.11)