Физические основы аналого-цифрового преобразования в теории электромагнитных колебаний (стр. 4 )

, м

, м

, м

Рис. 6. Спектр сложного колебания трех гармоник

На рисунке 7 представлены временные графики колебаний с периодами, ,

Рис. 7.  Временные графики колебаний

Этот простой пример показывает, что переход от временной формы к спектральному представлению колебания и наоборот не представляет сложного математического преобразования. Слово «спектр» знакомо каждому из школьного курса волновой оптики. Спектр радуги определяется мнемоническим правилом: «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан». Каждому цвету радуги соответствует своя частотная составляющая: красный, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Белый свет как сумма гармоник имеет сложный спектр.

Сложный спектр белого света является сплошным, так как переход от цвета к цвету, например, от красного насыщенного к оранжевому имеет плавный характер. Длины волн приведены в справочной литературе по оптике (от 0,4* до 0,76*м).

Для нашего случая решения задачи спектр имеет линейчатый вид.

Рассмотрим спектральное представление регулярного колебания в виде периодической импульсной последовательности. Периодические процессы регулярно повторяющегося во времени обладают линейчатым спектром.

К сожалению, до сегодняшнего дня, когда издается это учебное пособие, ни в одном учебнике физики высшей школы периодические дискретные колебания и их параметры не представлены широкому кругу обучаемых. Рассмотрим их более подробно.

Импульсные сигналы и их спектры

Математическое представление Фурье для периодической импульсной последовательности

Приведем более простую и подробную, но строгую в математическом описании классификацию импульсных колебаний.

Под электрическим импульсом понимается отклонение напряжения или тока от некоторого постоянного уровня (в частности от нулевого) наблюдаемое в течение времени меньшего длительности переходных процессов в схеме.

Существуют два вида импульсов: видеоимпульсы и радиоимпульсы. Видеоимпульсы получили свое название в связи с развитием телевидения, где они широко используются.

Видеоимпульсы получают при коммутации цепи постоянного тока. Наиболее часто используют видеоимпульсы прямоугольной (рис. 8 а), трапециевидной (рис.8 б), экспоненциальной (остроконечной) (рис. 8 в), пилообразной (рис. 8 г) и треугольной (рис. 8 д) форм.

Различают видеоимпульсы положительной (рис. 8 а), б), г), д) и отрицательной (рис. 8 в) полярности, а также двусторонние – разно полярные – импульсы (рис. 8 е). Следует иметь в виду, что реальные импульсы не имеют формы, строго соответствующей названию.

Рис. 8. Видеоимпульсы

Радиоимпульсы (рис. 9) представляют собой кратковременные посылки синусоидального напряжения или тока. Они снимаются с выхода высокочастотного генератора, который управляется (модулируется) видеоимпульсами. Поэтому форма огибающей радиоимпульсов соответствует форме модулирующих видеоимпульсов. Радиоимпульсы - результат модуляции амплитуды высокочастотного колебания прямоугольными видеоимпульсами. 

Рис. 9. Радиоимпульсы

Из приведенных примеров периодических процессов наибольший интерес представляет последовательность рисунка 8 е) и её использование в системах цифровой связи.

Спектр периодической импульсной последовательности

Известно, что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие.

Результат воздействия на схему каждой составляющей определяется сравнительно просто. Пользуясь принципом наложения можно действие импульса на линейную цепь заменить суммарным действием всех его составляющих.

Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье:

,

где — функция, раскладываемая в ряд;

  А0 – постоянная составляющая;

, a— частота следования импульсов.

Коэффициенты ряда определяют следующими выражениями:

: 

;

,

где n = 1, 2,…

В некоторых случаях разложение в ряд Фурье упрощается. Так, если кривая симметрична относительно оси ординат, т. е. если (рис. 10 а), то в разложении будут отсут­ствовать синусоидальные составляющие.

Для доказательства этого на рисунке 10 б) показано суммирование косинусоидальной и синусоидальной составляющих. Как видно, наличие второй из них нарушает указанную симметрию.

Рис. 10. Колебание симметрично относительно оси ординат

Если кривая симметрична относительно начала координат (примером является синусоида), то в разложении отсутствуют косинусоидальные гармоники и постоянная составляющая. Действительно, при наличии в раз­ложении косинусоидальных составляющих кривая перестанет быть симметричной относительно начала координат (рис. 11 б).

Рис. 11. Колебание симметрично относительно начала координат

  Аналогичным образом можно убедиться, что в разложении кри­вой (рис. 11 а) отсутствует постоянная составляющая.

  Наконец, если кривая симметрична относительно оси абсцисс (рис. 12 а), т. е. если , то в разложении отсутствуют постоянная составляющая и гармоники четных номеров. О последнем свидетельствует результирующая кривая на рисунке 12 б), являющаяся суммой первой и второй гармоник. Аналогичным образом можно убедиться в том, что в разложении отсутствует постоянная составляющая.

  а)

Рис. 12. Колебание симметрично относительно оси абсцисс

Временная диаграмма разнополярного импульсного напряжения прямоугольной формы

Симметрия его относительно начала координат приводит к тому, что в разложении не будет косинусоидальных гармоник и постоянной составляющей, а симметрия относительно оси абсцисс обусловливает отсутствие гармоник четных номеров. Поэтому разложение будет содержать только синусоидальны составляющие нечетных номеров.

Амплитуды этих гармоник равны:

В пределах одного периода:

при

при

Поэтому:

  Заменив на 2р/T и подставив переделы, получим:

Очевидно, что при n=1, 3, 5… cosn= -1,, а при n=2, 4, 6… cosn=1,, т. е гармоники четных номеров отсутствуют.