Часть 1

  Часть 1.

Модуль «Алгебра»

Найдите значение выражения  .

Решение:=*=0,8

Ответ: 0,8.

  2  На координатной прямой отмечена точка A.

Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных ниже чисел. Какому из чисел соответствует точка A? 

1)   2) 0,4  3)   4) 6

Решение:  А(х),  0 < х < 10,  0 < х < 5,  4,1;  =11.

  Ответ: 1. 

  3  Значение какого из выражений является рациональным числом?

1)   2)   3)   4)

Решение:  1. 3,15….. не является рациональным числом.

  2. =5.9… не является рациональным числом.

  3.=-2*5* +=10-2+25=35-10 –

  не является рациональным числом.

  4.=7.

  Ответ: 4.

  4  Решите уравнение 

  Решение:,

  =

=-5,

=-2,5

  Ответ: -2,5.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1)                 2)                3)                4)

Решение:

1) – функция обратная пропорциональность, график гипербола II, IV ч. т. к. k=-2.

2) - квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вверх, т.к. а=1,вершина параболы т.(0;-2).        

3) -линейная функция, график прямая, проходит через т. О(0;0),

€ I, III ч., т. к. k=2.

4) функция обратная пропорциональность, график гипербола I, III ч. т. к. k=2.

Ответ:	А	Б	В
2	3	1

В последовательности чисел первое число равно 8, а каждое следующее больше предыдущего на 2. Найдите шестое число.

  Решение:-арифметическая прогрессия.=+d(n-1),

  =8,d=2,=8+2*(6-1)=18.

Ответ: 18.

7  Найдите значение выражения        при

Решение: = = ,

= =1,5.

Ответ: 1,5.

Решите систему неравенств

На каком рисунке изображено множество её решений?

Решение:

Ответ:

33

Модуль «Геометрия»

В треугольнике ABC  AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 125°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение: В треугольнике ABC  AC=BC, треугольник ABC-равнобедренный, угол А равен углу В

нешний угол при вершине B смежный с углом в треугольнике ABC, =180

, =-=55

  =55 , = -2*55=70 

Ответ: 70.

Длина хорды окружности равна 12, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 8. Найдите диаметр окружности.

Решение: d=2r, в треугольнике ОА-медиана, биссектриса,

По т. Пифагора r2=82+62, r2=100, r=10 ,d=2*10=20.

Ответ: 20.

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

  Решение: S=(a+b)*h

  S=(12+70+44)*24 =1512

Ответ: 1512 .

Найдите тангенс угла B треугольника ABC, изображенного на рисунке.

Решение:  tg B= ,  tg B= = .

Ответ:

13  Укажите номера верных утверждений.

1) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

2) В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Ответ: 23.

Модуль «Реальная математика»

В таблице приведены нормативы по бегу на 30 м для учащихся 9 класса. Оцените результат мальчика, пробежавшего эту дистанцию за 4,85 с.

Мальчики	Девочки
Отметка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, с	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

1) отметка «5»  2) отметка «4»

3) отметка «3»  4) норматив не выполнен

Решение:  4,85 с.4,9 c. - отметка «4»

Ответ:

22

На графике изображена зависимость атмосферного давления  (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря  (в километрах).  На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление  220 миллиметров ртутного столба?

Решение: На графике изображена зависимость атмосферного давления,

На оси находим единичный отрезок=20 миллиметров ртутного столба,

от  220 миллиметров ртутного столба  проводим перпендикуляр к

  графику до пересечения. По графику получаем 9 км. 

Ответ: 9.

Стоимость проезда в электричке составляет 180 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для  8 взрослых и 24 школьников?

Решение: Стоимость проезда в электричке  1 взрослого составляет 180 рублей. Стоимость проезда в электричке  1 школьника составляет 180*50%=90 рублей. Стоимость проезда в электричке 8 взрослых и 24 школьников 8*180+24*90=1440+2160=3600 рублей.

Ответ: 3600 .

Наклонная крыша установлена на трёх  вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ дайте в метрах. 

Решение: Данная фигура-трапеция. Средняя опора - средняя линия  трапеции. Обозначим высоту большей опоры х м.

2,1= 1,7+х=4,2; х=2.5(м.)

  Ответ: 2,5. .

В доме располагаются однокомнатные, двухкомнатные, трёхкомнатные и четырёхкомнатные квартиры. Данные о количестве квартир представлены на круговой диаграмме.

Какие из утверждений относительно квартир в этом доме верны, если всего в доме 120 квартир?

1) Однокомнатных квартир больше, чем двухкомнатных.

2) Меньше всего трёхкомнатных квартир.

3) Однокомнатных квартир не более  от общего количества квартир в доме.

4) Двухкомнатных квартир больше 40.

Решение: 1.По круговой диаграмме видно, что двухкомнатных квартир больше, чем других. Сектор показывает квартир больше 120/2=60.

360/120=3 кв.195/3=65кв.

2. Сектор, показывающий количество от120 =30 кв.- однокомнатные

  Ответ: 34.

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 1 с творогом, 12 с мясом и 3 с яблоками. Ваня наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.

Решение: всего пирожков 1+12+3=16, вероятность того, что он окажется с мясом составляет =.

  Ответ: 0,75 .

Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле , где длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 13 секунд?

Решение:, = , = ,= = =42,25(м.)

Ответ: 42,25 .

Часть 2

Модуль «Алгебра»

21

Сократите дробь .

Решение:== =24.

Ответ: 24.

22

Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 8 км/ч?

Решение: Пусть искомое расстояние равно x км. Скорость лодки при движении против течения равна 8-2=6 км/ч, при движении по течению равна 8+2=10 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно (+) часа. Из условия задачи следует, что это время равно5-3=2 часам. Составим уравнение:

(+) =2/*30,

  5x+3x=60,

  х=7,5.

  Ответ: s=7,5 км.

23

Постройте график функции  и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение: 1. Разложим числитель дроби на множители: х2-5х+4=

х2-5х+4=0,

D=(-5)2-4*4=9,=3,  х1=1; х2=4.

= =.

2.При х4, функция принимает вид:

y = (x – 2)(x – 1) = x2 -3x+2 ,её график — парабола, из которой

выколоты точка (4; 6).

3.Прямая y =m  имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда

проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в

точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты

(х0; y0)  х0=3/2=1,5;  y0=1,52-3*1.5+2= -0,25. (1,5; -0,25)

Поэтому m=-0,25, m= 6.

4.Построим график функции у= x2 -3x+2— парабола, ветви направлены вверх, т.к. а=1.

5.Составим таблицу значений функции

х	-2	-1	0	1	1.5	2	3	4	5
у	12	6	2	0	-0,25	0	2	6	12

у=6

       4        У=-0,25

Ответ: m=-0,25, m= 6.

Модуль «Геометрия»

24

В прямоугольном  треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 8, BC = 15. Найдите медиану CM этого треугольника.

А  Дано:  АВС,  С=900,АС=8,ВС=15, 

       М  СМ-медиана.

       В  Найти:СМ-?

  С

Решение: СМ =АВ, по т. Пифагора АВ= , СМ = =*17=8,5.

Ответ: СМ=8,5.

25

В параллелограмме ABCD точка E - середина стороны CD. Известно, что EA = EB. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник.  Дано:  ABCD - параллелограмм,

т. Е - середина стороны CD,

СЕ=ЕД, ЕА=ЕВ.

Доказать: ABCD прямоугольник.

В  С

       Е

А  Д

Доказательство. Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.

ВЕ=АЕ, СЕ=ЕД-по условию, ВС=АД-по св-ву парал.-ма

Значит, углы ВСE и АДE равны. Так как их

сумма равна 180 , то углы равны по 90 . Такой параллелограмм — прямоугольник.

26

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Место для формулы. продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Дано:  АВС,

А  АВ=ВС, АС=10-основание

  Найти: радиус окружности, вписанной в  треугольник ABC.

В        С

Решение: Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Точка касания M окружностей делит AC пополам.

Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой. Из

прямоугольного треугольника OAQ получаем: AM 2 = MQ*MO, следовательно, MQ=  ,MQ==4

Ответ: MQ=4