Занятие 4

Занятие 4

Ответить на вопросы

Дать определение алгебраической операции. Сформулировать  законы коммутативности и ассоциативности алгебраических операций. Дать определения нейтрального, поглощающего, симметричного элементов. Записать дистрибутивные законы, связывающие две алгебраические операции. Дать определение кольца.

Задача. Будет ли умножение алгебраической операцией на множестве:

а) А={-1;0;1};         б) А={0;1};                в) А={0;1;2};        г) А={0;1;2;3}?

Будет ли сложение алгебраической операцией на этом множестве?

Решение. Составим все возможные пары из элементов данного множества и найдем результаты умножения и сложения:

пары	умножение	вывод	сложение	вывод
(-1;-1)	(-1)(-1)=1	1А	(-1)+(-1)=-2,	-2А
(0,0)	(0)(0)=0,	0А	0+0=0,	0А
(1,1)	1*1=1,	1А	1+1=2,	2А
(-1,0)	(-1)*0=0,	0А	1+0=1,	1А
(-1,1)	(-1)*1=-1	-1А	-1+1=0,	0А
(0,1)	0*1=0,	0А	0+1=1,	1А
(0,-1)	0*(-1)=0,	0А	0+(-1)=-1,	-1А
(1,-1)	1*(-1)=-1	-1А	1+(-1)=0,	0А
(1,0)	1*0=0,	0А	1+0=1,	1A

Поскольку все результаты умножения принадлежат множеству А, то умножение является алгебраической операцией на множестве А.

Поскольку не все результаты сложения принадлежат множеству А, то сложение не является алгебраической операцией на множестве А.

Ответ: умножение является алгебраической операцией на А; сложение не является алгебраической операцией на А.

Задания:

Операция возведения в степень рассматривается на множестве N.

а)        найдите образы пар (2; 3), (3; 2), (5; 2), (2; 5) при этой операции.

б)        Покажите, что возведение в степень – алгебраическая операция на мно­же­стве N.

в)        Будет ли эта алгебраическая операция коммутативной?

г)        Будет ли эта алгебраическая операция ассоциативной?

д)        Будет ли множество N замкнуто относительно названной операции?

Докажите, что сложение и умножение являются алгебраическими операциями на множестве натуральных чисел. Почему вычитание и деление являются частичными алгебраическими операциями на множестве N. Будет ли вычитание алгебраической операцией на множестве целых чисел? Какие из следующих алгебраических операций на множестве целых чисел являются коммутативными, ассоциативными:

а) сложение;                        б) операция, заданная формулой (х, у)2х–у;

в) умножение;                г) операция, заданная формулой (х, у)|x–y|;

д) вычитание;                е) операция, заданная формулой (х, у)х?

6. Будет ли алгебраической операция на множестве чисел вида 6k+5 , k:

а) сложение;                        б) вычитание;                в) умножение?

7. Укажите нейтральный элемент на множестве N для алгебраической операции:

а) сложение;                         б) умножение;                в) возведение в степень.

8.        Почему число 0 является нейтральным элементом относительно сложения на множестве целых чисел? Существуют ли еще нейтральные элементы для вычитания, умножения, деления на этом множестве?

9.        На множестве целых чисел задана алгебраическая операция сложения (умножения). Укажите число, симметричное числу: –8; –1; 0; 1; 3.

10.        Какие из целых чисел имеют симметричные элементы относительно умножения (деления)?

11.        На множестве рациональных чисел задана алгебраическая операция умноже­ния. Какое число симметрично числу: 8; 0,3; ; 0?

12.        Существует ли поглощающий элемент во множестве N (Z, Q, R) для алгебраической операции:

а) сложение;                        б) вычитание;                        в) умножение;

г) деление;                        д) возведение в степень?

13. Пусть Х – множество точек отрезка АВ, Y – множество точек отрезка СD (отрезки АВ и СD лежат в одной плоскости, не пересекаются и АВСD). Докажите, что множества Х и Y равномощны.

а) Докажите, что множество квадратов целых неотрицательных чисел счетное.

б) Докажите, что: а) операция сложения будет отображением множества NN в N;

б) операция умножения будет отображением множества NN в N;

в) операция вычитания не будет отображением множества NN в N.