Найти общее решение уравнения

Задача 10. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Уравнение не содержащее явно искомой функции.

Обозначим , где – новая неизвестная функция.

Тогда

Будем иметь:

Разделяем переменные и интегрируем:

– общее решение дифференциального уравнения.

Ответ.–общее решение дифференциального уравнения

Задача 11. Найти решение задачи Коши , .

Решение.

Уравнение не содержащее явно независимую переменную х.

Обозначим , где – новая неизвестная функция.

Тогда

Будем иметь:

Подставим в полученное решение условия задачи Коши.

Подставим в полученное решение условия задачи Коши.

- частное решение дифференциального уравнения.

Ответ.- частное решение дифференциального уравнения

Задача 12. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, используя замену .

Решение.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

Правая часть исходного уравнения имеет вид: , где и многочлен третьей степени (m=3).

Проверим, является ли корнем характеристического уравнения:

.

Следовательно, частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов будет иметь вид:

Вычислим производные:

Подставим полученные данные в уравнение:

Частное решение имеет вид:

Ответ.- частное решение дифференциального уравнения

Задача 13. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, используя замену .

Решение.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

Правая часть исходного уравнения имеет вид: , где и , многочлен первой степени (m=1).

Проверим, является ли корнем характеристического уравнения:

.

Проверим, является ли корнем характеристического уравнения:

.

Таким образом, является корнем характеристического уравнения первой степени.

Следовательно, частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов будет иметь вид:

Вычислим производные:

Подставим полученные данные в уравнение:

Получим

Частное решение имеет вид:

Ответ. - частное решение дифференциального уравнения

Задача 14. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, используя принцип суперпозиции.

Решение.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

Правая часть исходного уравнения имеет вид: , где ,

В первой функции является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому соответствующее частное решение имеет вид:

Во второй функции . Число не является корнем характеристического уравнения 1, поэтому соответствующее частное решение имеет вид:

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид:

Вычислим производные:

Подставим полученные данные в уравнение:

Получим

Частное решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Ответ. - общее решение линейного неоднородного уравнения

Задача 15. Найти общее решение линейного уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Решение.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

, где ,

Варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

,

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Ответ. - общее решение линейного неоднородного уравнения

Задача 16. Найти общее решение линейного уравнения c переменными коэффициентами, если известно одно частное решение линейного однородного уравнения.

,

Решение.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

Положим . Тогда ,

Подстановка в уравнение дает

Таким образом,

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

, где ,

Варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

,

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Ответ. - общее решение линейного неоднородного уравнения

Задача 17. Найти общее решение уравнения Эйлера.

.

Решение.

Сначала находим общее решение однородного уравнения Эйлера

Ищем решение уравнения в форме степенной функции , , .

Подстановка в уравнение дает

Как видно, корни характеристического уравнения мнимые. Поэтому общее решение однородного уравнения записывается в виде

Теперь определим частное решение неоднородного уравнения

Принимая во внимание структуру правой части, будем искать частное решение в виде

Подставим в уравнение :

Итак, частное решение неоднородного уравнения определяется выражением

Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного уравнения:

Возвращаясь обратно к переменной x, получаем

Общее решение уравнения Эйлера имеет вид:

Ответ. - общее решение уравнения Эйлера

Задача 18. Найти решение краевой задачи.

,

Решение.

Сначала находим общее решение однородного уравнения

Как видно, корни характеристического уравнения мнимые. Поэтому общее решение однородного уравнения записывается в виде

, где ,

Варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

,

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решим систему методом Крамера

Получим

Общее решение уравнения имеет вид:

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям

Частное решение уравнения имеет вид:

Ответ. - решение краевой задачи