Степень вершины. Теорема чётности

Урок №___________  Дата_________________Класс____________

Тема.  Степень вершины.  Теорема чётности.

Цели:

Образовательные: иметь понятие о степени вершины графа, теореме чётности; закрепить понятие графа и отработать навыки использования графов для решения  простейших  задач.

Развивающие: развивать логическое и творческое мышление учащихся, сообразительность, наблюдательность, интуицию и адекватность при оценке работы одноклассника; формировать активный познавательный интерес к предмету.

Воспитательная: воспитывать культуру общения на уроке, аккуратность, внимательность и взаимоуважение.

Оборудование: мультимедийное оборудование, презентация Power Point, раздаточный материал.

ХОД УРОКА

Организационный момент.

Приветствие учащихся. Проверка учебных принадлежностей, раздаточного материала.

Презентация, сл.2

Постановка цели урока. Мотивация к обучению.

Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используются при составлении карт и генеалогических древ. 

Презентация, сл.3

Актуализация опорных знаний.

Давайте вспомним основные понятия теории графов. Для этого проведем разминку по типу незаконченного предложения (Презентация, сл.: 4-9). Каждый ученик имеет карточки с пропущенными словами в предложение. Учитель зачитывает предложение, останавливаясь перед пропущенным словом, и выбирает ученика, который в свою очередь должен поднять карточку. Далее этот ученик читает дальше предложение, также останавливаясь перед пропущенным словом, и уже сам выбирает одноклассника для ответа и т. д. по цепочке.

Понятие графа, вершин, рёбер графа

Граф - это фигура, состоящая из точек, соединённая между собой отрезками, кривыми линиями или дугами.

  Презентация, сл. 4 - 5

Уникурсальный граф

  Презентация, сл. 6 - 7

Понятие степени вершин графа (чётная, нечётная степень)

  Презентация, сл. 8.

Закономерности вычерчивания фигур росчерком пера

  Презентация, сл. 9

Формирование новых знаний.

Форма проведения - исследовательская работа.

І часть

Презентация, сл. 10

1. Получите из левой картинки правую, проводя линии между точками (по одной).  Около каждой точки подписать, сколько из неё выходит рёбер.

Сумма степеней вершин_____________

Количество рёбер___________________

Подумайте и сделайте вывод: как связаны сумма степеней вершин графа с количеством его рёбер.

(Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин)

ІІ часть

Презентация, сл. 11-12

Предлагается подсчитать  и проставить  в соответствующих клетках  таблицы число четных и нечетных вершин у каждого из  графов, предложенных на рисунке. И заполнив  последнюю колонку, ученики должны  сделать вывод  о чётности нечётных вершин.

(Количество нечётных вершин графа чётно)

Практическое применение результатов исследовательской работы.

Решение задач.

Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, –научить учащихся видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов.

№ 1

Презентация, сл. 13

В государстве 100 городов, из каждого выходит 4 дороги.

Сколько всего дорог в государстве?

Решение

Город – вершина, дорого – ребро. Всего вершин 100, степень каждой 4.

Сумма степеней вершин графа 100 · 4 = 400.

Количество рёбер равно половине суммы степеней вершин,

значит 400 : 2 = 200.

Ответ: 200 дорог.

№ 2

Презентация, сл. 14

— У меня зазвонил телефон.

— Кто говорит?

— Слон.

...А потом позвонил Крокодил...

...А потом позвонили Зайчатки...

...А потом позвонили Мартышки...

...А потом позвонил Медведь...

...А потом позвонили Цапли...

Итак, у Слона, Крокодила, Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель

и у меня установлены телефоны. Каждые два телефонных аппарата

соединены проводом. Как сосчитать, сколько для этого понадобилось  проводов?

Решение

Всего телефонных аппаратов 7 (7 вершин),

каждый соединён с шестью.

Значит, степень каждой вершины 6.

Всего вершин 6 ��· 7 = 42.

Тогда проводов будет 42 : 2 = 21.

Итак,  всего понадобился 21 провод.

Ответ: 21 провод.

№ 3

Презентация, сл. 15

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Решение

Всего 15 телефонов. Степень каждой вершины равна 5. По теореме чётности количество нечётных вершин чётно. Значит, соединить каждый телефон с пятью другими нельзя.

№ 4

Презентация, сл. 16

В классе 30 человек. Может ли быть так, что у 9 из них по 3 друга в классе, у 11 — по 4 друга и у 10 — по 5 друзей?

Решение

Посчитаем число нечетных вершин в этом графе.

Их  9 + 10 = 19 — нечетное число.

Значит, такого не может быть.

№ 5

Презентация, сл. 17

Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Решение

       Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют отрезку.

Вершины будем соединять ребром, если соответсвующие отрезки пересекаются.

Тогда получим, граф в котором нечетное число нечетных вершин.

Значит, так нарисовать отрезки не получится.

Подведение итогов. Рефлексия.

Презентация, сл. 18

Закончить предложение: 

  На уроке я работал  активно / пассивно

Своей работой на уроке я  доволен / не доволен

Урок для меня показался  интересен / скучен

Материал урока мне был  понятен / не понятен

За что ты можешь похвалить одноклассников?

Заполнить таблицу самооценки:

Этапы урока	повторение	исследование	решение задач	Всего баллов
номера заданий
1	2	3	4	1 часть	2 часть
1 б.	1б.	1 б.	1 б.	3 б.	3 б.	2 б.	12 б.
ученик
учитель

Домашнее задание

Презентация, сл. 19

Решить задачу.

Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью?

Доказать теорему чётности

Доказательство

Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.