О РАЗДЕЛИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НЕКЛАССИЧЕСКОГО ТИПА, ЗАДАННОГО
В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
,


В работе рассмотрен один класс дифференциального оператора неклассического типа в неограниченной области. Показана разделимость данного оператора.

Теория дифференциальных уравнений неклассического типа [1], [2] является одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Как известно, такие уравнения часто встречаются в приложениях, например, в гидромеханике, в динамических системах,  в проблемах устойчивости уединенных волн.

Отметим свойства решений полупериодической задачи Дирихле, в случае ограниченной области, для вырождающихся уравнений изучены в работах , М. Отелбаева [3], [4].

Рассмотрим дифференциальный оператор

                               (1)

определенный на множестве где множество функций бесконечно дифференцируемых удовлетворяющих условию:

                                                               (2)

и финитных по переменной

Непосредственно можно убедиться, что оператор допускает замыкание в Замыкание  также обозначим через

В дальнейшем предположим, что коэффициенты оператора удолетворяют условиям:

i)

ii) и не убывают на отрезке [0,1]; для всех , либо для всех ; не убывают на отрезке [0,1];

iii) ; .

Всюду в дальнейшем через обозначим неотрицательную функцию, следующими  свойствами:

i) 

ii)  и не убывает на отрезке

iii)  .

Теорема 1.  Пусть выполнены условия i)- iii). Тогда оператор  при  непрерывно обратим в пространстве .

Определение. Будем говорить, что оператор  разделим, если для всех функций    имеет место оценка

где постоянное число.

Теорема 2. Пусть и удовлетворяют условиям i)-iii).Тогда оператор при ограничен в  тогда и толькотогда, когда

,

где

, где - удовлетворяет неравенству

,

где – любое фиксированное число.

Теорема 3. Пусть выполнены условия i)-iii). Тогда оператор разделим.

Список литературы

[1] Об одной абстрактной теореме и ее приложениях к краевым задачам для неклассических уравнений// Математический сборник. – 1969. –Т.79(121).  №1 –С. 91-117.

[2] Об одном линейном уравнении неклассического типа высокого порядка // Препринт, ИМ СО АН СССР. – Новосибирск. – 1981. – 24 с.

[3] , О гладкости решений одного класса вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. – 1977. – Т. 13. №7. – С. 1244-1255.

[4] Коэрцитивные оценки для одного дифференциального оператора высокого порядка // Дифф. уравнения. – 1981. – Т. 17, №5. – С. 893-901.