Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Цель : Обучение самостоятельному составлению квадратных уравнений по условиям текстовых задач и решению их с использованием ранее сформированных навыков.
Ход урока.
Оргмомент. Изучение нового материала (лекция).Решение задачи с помощью составление уравнения нужно начинать с анализа её условия; нужно выбрать неизвестное, выявить зависимости между неизвестной и исходными величинами, записать эти зависимости в виде алгебраических выражений, обосновать составление уравнения. Нужно выделить три этапа решения задачи: 1) Составление уравнения;
2) Решение полученного уравнения;
3) Выбор верного ответа.
При решении задач с геометрической фабулой рекомендуется делать к ней рисунок, на котором будут указаны данные в условии задачи величины, а также величины, выраженные через введённую неизвестную величину. Оформить решение можно так:
Задача 1 . От квадратного листа отрезали полоску шириной 6 см, площадь оставшейся части листа 135 см2. Найдите длину стороны квадратного листа.
В Е С Решение:
Пусть х см – длина стороны квадратного листа ABCD, тогда
х (х – 6) см2 – площадь оставшейся части листа. По условию
задачи эта площадь равна 135 см2, следовательно х(х – 6) = 135.
Решив уравнение, получим х1 = -9, х2 = 15.
А F D Так как длина стороны выражается положительным числом, то х = 15.
Ответ: 15 см.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 7 см, а гипотенуза больше меньшего катета на 8 см. Найти стороны треугольника.
В Решение:
Пусть длина меньшего катета х см, тогда длина большего катета
(х + 7) см, длина гипотенузы (х+8) см. По теореме Пифагора квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Получим уравнение
(х + 8)2 = х2 + (х + 7)2 ;
С А х2 +16х + 64 – х2 – х2 – 14х – 49 = 0;
х2 – 2х – 15 = 0;
х1= -3 и х2 = 5.
По смыслу задачи подходит корень х = 5, тогда длина второго катета 5 + 7 = 12 см, длина гипотенузы 5 + 8 =13 см.
Ответ : 5 см, 12 см, 13 см.
Задача 3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 50 м/с. Через сколько секунд тело окажется на высоте h.
Вычислите для случаев: а) h=80 м, б) h = 125 м, в) h = 150 м.
Решение:
Из физики известно, высота h(м), на которой брошенное тело окажется через t секунд, может быть найдено по формуле h = v0t - 
Здесь v0 – начальная скорость (м/с), g – ускорение свободного падения, приближённо равное 10 м/с2. Подставим значение v0 и g в формулу и получим уравнение h = 50t – 5t2, или 5t2 – 50t + h = 0 . Найдём дискриминант данного квадратного уравнения с параметром h и получим D1 = (-25)2 - 5 
h = 625 - 5 h. Для данных значениях h найдём корни уравнения.
а) Если h = 80 см, то D1 = 625 - 5 ∙ 80 = 225 = 152 , t1 = 8 (c ), t2 = 2 (c ) . В этом случае тело окажется на данной высоте дважды: при подъёме вверх ( t = 2c ) и при падении вниз ( t = 8c ).
б) Если h = 125 м, то D1 = 625 - 5 ∙ 125 = 0 , t = 5. В этом случае тело окажется на данной высоте однажды через t = 5 с и эта высота - наивысшая высота подъёма.
в) Если h = 150 м, то D1 = 625 - 5 ∙ 150 = - 125, то уравнение не имеет решения. Это значит, что тело не поднимется на заданную высоту. Для наглядности сделаем рисунок зависимости h от t, т. е. h = 50 t - 5 t2 . Из графика видно,
h, м
150
125
80
0 2 5 8 t, c
Что тело в течение первых пяти секунд поднимается до 125 м, а затем в течение следующих пяти секунд падает вниз. Через 10 с после броска тело падает на землю. На высоте 80 м тело оказывается дважды: через 2с (подъем) и 8 с ( падение) от момента броска ( случай а). На высоте 125 м тело оказывается однажды через 5 с в наивысшей точке подъёма ( случай б). На высоте 15 м тело оказаться не может ( случай в).
Из приведённого примера также видно, что в зависимости от значения параметра h квадратное уравнение 5t2 – 5t + t = 0 имеет различные решения. Этим решениям соответствует различная ситуация.
Задачи такого типа встречаются в вариантах подготовки к экзаменам.
Задача 4. Высота, на которой находится камень, брошенный с поверхности земли вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 1 + 13t – 5t2 (м). Сколько секунд камень будет находиться на высоте 7 метров?
Решение:
h(t) = 1 + 19t – 5t2 , h = 7 .
Решим уравнение 5t2– 13t + 1 = 7,
5t2– 13t - 6 = 0,
D = 169 – 120 = 49, 
t = 2 – 0,6 = 1,4 (c) . Ответ: 1,4 с.
Задача 5. Если наблюдатель находится на высоте h над поверхностью Земли, то расстояние от него до линии горизонта можно найти по формуле 
, где R = 6400 км – радиус Земли. Найдите наименьшую высоту, с которой должен смотреть наблюдатель, чтобы он видел линию горизонта на расстоянии не менее 8 км. ( Ответ выразите в метрах).
Решение:
2 
6400h = 82
h = 
Ответ: 5 м
С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи на движение.
Задача 6. Велосипедист проехал 7 км по шоссе и 5 км по просёлочной дороге, затратив на весь путь 1 ч. По просёлочной дороге он ехал со скоростью на 4 км/ч меньшей, чем по шоссе. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе?
Решение:
v, км/ч | s, км | t, ч | |
Просёлочная дорога | x - 4 | 5 |
|
шоссе | x | 7 |
|
Составим уравнение 
7(х – 4) + 5х = х(х – 4)
х2 – 16х + 28 = 0
х1 = 2 х2 = 14 .
По смыслу задачи подходит х = 14.
Ответ: 14 км/ч.
Задача 7. Катер прошёл по течению реки 30 км и 24 км против течения за 9 часов. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
Решение:
Пусть собственная скорость катера равна х км/ч.
v, км/ч | s, км | t, ч | |
По течению | х + 3 |
| 30 |
Против течения | х - 3 |
| 24 |
Составим уравнение 
Ответ : 7 км/ч.
При выполнении задач на выполнении работы, используя формулу A = p ∙ t, где p – производительность труда, тоже получаются квадратные уравнения.
Задача 8. Два каменщика сложили вместе стену за 20 дней. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них в одиночку, если известно, что первому пришлось бы работать на 9 дней больше второго?
Решение :
Если второй каменщик сложит стену за х дней,
P | t, дней | A | |
1 каменщик |
| x + 9 | 1 |
2 каменщик |
| X | 1 |
1 и 2 каменщик |
| 20 | 20( |
Получим уравнение 20 ( 
= 1
х2 - 31х – 180 = 0
х1 = 36 х2 = -5 ( не подходит по условию задачи) .
Таким образом второй каменщик сложит стену за 36 дней а первый каменщик за 36 + 9= 45 дней.
Ответ: 45 дней и 36 дней.
Творческие задания: Высоту над землёй подброшенного вверх мяча можно вычислить по формуле h(t) = 2 + 12t – 5t2 ( h – высота в метрах, t – время с секундах, прошедшего с момента броска). Сколько секунд мяч будет находиться на высоте 6 метров? Если наблюдатель находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли, то расстояние от него до линии горизонта, можно найти по формуле
, где R = 6400 км – радиус Земли. Найите наименьшую высоту, с которой должен смотреть наблюдатель, чтобы он видел линию горизонта на расстоянии не меньше 6,4 км. ( Ответ выразите в метрах). После дождя уровень воды в колодце может повысится. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние от поверхности земли до уровня воды по формуле h = – 5t2 . До дождя время падения каменщиков составляло 0,8 с. На какую наименьшую высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,1 с? . ( Ответ выразите в метрах). Список используемой литературы: «Алгебра - 9» Под редакцией . Издательство «Просвещение» 2009 г (Москва). «Изучение алгебры 7-9» , изд «Просвещение» 2002 (Москва)
«Поурочные разработки по алгебре» изд «Вако» 2008 (Москва) «ЕГЭ – 2010», «ЕГЭ – 2011» и Высоцкий.
