Производная функции для дистанционного обучения.

Производная функции, её  механический  смысл.

Правила дифференцирования и таблица производных.

Рассмотрим функцию , дадим  аргументу приращение  получим новое значение функции В результате функция  получит приращение  функции:  (х).

Определение. Производной функции  в произвольной точке  называется предел отношения приращения функции  в этой точке  к приращению аргумента при Производная функции в точке обозначается Итак, по определению:

или  (x)=

Механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S=S(t):

Тогда ΔS = S(t+Δt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Δt. Тогда средняя скорость движения:  Vcр = .

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел Vcр  при Δt →0:  V(t) = .

Значит, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t:  .

Тогда означает мгновенную скорость точки в любой момент времени – в этом состоит механический  смысл производной.

Правила дифференцирования:

Если функции U=U(x) и V=V(x) дифференцируемы (имеют производную)  в точке x, то выполняется:

1. (U ± V)' =  U ' ±  V ',

  2. (U ⋅ V)' =  U '⋅ V + U ⋅  V '.

  3. (C⋅U)' = C⋅U' , где С=const (число)

  4.

Таблица производных основных элементарных функций:

(c)' =0,  с=const (число) (x)' = 1 (x2)' = 2⋅x (xn)' = n⋅xn-1 (sinx)' =cosx (cosx)' = - sinx (tgx)' = (ctgx)' =  - (arcsinx)' = (arccosx)' = - (arctgx)' = (arcctgx)' = - '= ()'== -

Примеры и решения:

y=x4+3x2+sinx        

y'=(x4+3x2+sinx)'=(x4 )'+(3x2 )'+(sinx)'=4x3+6x+cosx

(3+ -=0 --5 (=( (sinх (x5+1))'= (sinх) ' (x5+1)+ sinх (x5+1)'=cos x (x5+1)+ sinх 5x4 () ' == 

Производная сложной функции.

Если функция f(g) дифференцируема в точке g, а функция g(x) дифференцируема в точке x, причем g = g(x), тогда сложная функция f(g(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:

(f (g(x)))'  = f '(g) ⋅g ' (x).

  Примеры:  Найдите производные функции:

               

1. y=5sin5x  2. y=-cos10x  3.; 

                               

Решение:  Последовательно  применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формула дифференцирования, имеем: 

1. y' =(5sin5x) '=5 cos5x⋅5=25 cos5x

2.  y' = ( - cos10x) '= -10(-sin10x)=10sin10x

                                 

3.  3cos 3х

Примеры для тренировки:

y= 3x-2+x-12;  2. y= tg2x ⋅ctg4x;  3. y=

4. y=;  5.  6.