Применение свойств функций. Четность

Применение свойств функций. Четность.

Функция y = f (x) , заданная на множестве X, называется нечетной, если вы-

полнены следующие условия:

(1) множество X симметрично относительно начала координат;

(2) для любого x X справедливо равенство f (-x) =- f (x) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция y = f (x) , заданная на множестве X, называется четной, если выпол-

нены следующие условия:

(1) множество X симметрично относительно начала координат;

(2) для любого  x X справедливо равенство f (-x) = f (x) .

График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Задание1

Определите, является ли четной или нечетной функция

а) у=х4-5х2-8cos x;

б) у= х5-5х-8sin x;

в) у=+;

г) у= + ;

д) у= + .

Задание2

На рисунке 1 ( а-г) показана часть графикафункцииу=f(х). Пострройте весь график, если известно, что эта функция а) четная; б) нечетная.

а)	б)
в) Рис.1	г)

Справедливы следующие утверждения:

1) если функции f и g четные, то h(x)=f(x)±g(x) и p(x)=f(x)g(x) –четные;

2) если функции f и g нечетные, то h(x)=f(x)±g(x) – нечетные, а p(x)=f(x)g(x) – четная;

3) если одна из функций f и g – четная, а другая – нечетная, то p(x)=f(x)g(x) – нечетная.

Пример 1. Какие из функций обладают свойством четности:

а) f(x)=5x-5-x;

б) f(x)=cos(x-7)cos(7+x)?

Решение:

Каждая из заданных функций определена на всей числовой

прямой. Вычислим f(-x):

а) f(-x)=5-x-5x=-f(x) – функция нечетная;

б) f(-x)=cos(-x-7)cos(7-x)=cos(x+7)cos(x-7)=f(x) – функция чётная.

Пример 2. Найдем значение функции y(х)=f(x)·g(-x)-f(-x) в точке х0, если известно, что функция f - чётная, g – нечётная, f(х0) = -3, g(х0) = -2.

Решение:

Так как функция y = f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а так как функция g(x) нечётная, то

g(-x) = - g(x). Преобразуем данную функцию:

y(х) = f(x) · g(-x) - f(-x) = f(x) · (-g(x)) - f(x) = - f(x) · g(x) - f(x).

Тогда при х= х0 получим:

y(х0) = - f(х0) · g(х0) - f(х0) = -(-3) · (-2) - (-3) = -6 + 3 = -3.

Пример 3. Чётная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции

g(x)=  вычислим

сумму g(9)+g(10).

Решение:

g(9)=2,1+=2,1+,  g(10)=2,1+=2,1+, 

Т. к. функция f по условию является четной, то f(-0.5)= f(0.5).

Тогда, g(9)+ g(10)= 2,1+ 

Пример 4. При каких значениях параметра а функция

f (x) = +2 + ax

является четной?

Решение:

Найдем область определения заданной функции:

        x

Оказалось, что область определения функции состоит из двух симметричных относительно начала координат точек. Для четности функции нужно, чтобы значения функции в этих точках были равными: f(2)=f(-2), а значит 4-2a=16+2a, откуда а=-3.

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите значение функции в точке х0, если функция f – четная, g – нечетная, f(х0)=1, g(х0)=-3

Ответ: -0,4

2. Найдите значение функции y(x)=f(x)g(-x)+2f(-x) в точке х0, если известно, что функция

f – четная, функция g – нечетная, f(х0)=2,

g(х0)=-3

Ответ: 10

3. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции g(x)=2,3+f(x-9) вычислите сумму g(6)+g(8)+g(10)+g(12).

Ответ: 9,2

4. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для

функции вычислите сумму g(3)+g(4).

Ответ: 7,6

5. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=(x-1)(x-3)(x+7).

Найдите значение функции при x=-3.

Ответ: -1

6. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=(x+1)(x+3)(x-7).

Найдите значение функции   при x=-3.

Ответ: 1

7. При каких значениях параметров а и b функция f (x) =  является четной?

Ответ: a=-1, b=3.

Задания на количество корней уравнения  f(x)=0.

Пример 5.  Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(2x+1)(x2-5x+6). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?

Решение:

График нечетной функции у=f(х) симметричен относительно начала координат. Функция у=g(х) обращается в нуль на области х в точках с абсциссами х1=0, х2=2, х3=3. Числам 2 и 3 соответствуют противоположные числа -2 и -3. Поэтому график функции у=f(х) пересекает ось абсцисс в 5 точках. Следовательно, уравнение f(x)=0 имеет 5 корней.

Ответ: 5

Пример 6.  Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(x+1)(5x-2)(2х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?

Решение:

График четной функции у=f(х) симметричен относительно оси ординат. Функция у=g(х) обращается в нуль на области х в точках с абсциссами х1=0, х2=-1. Значит, числу -1 соответствует противоположное число 1. Поэтому график функции у=f(х) пересекает ось абсцисс в 3 точках. Следовательно, уравнение f(x)=0 имеет 3 корня.

Ответ: 3.

Пример 7.  Даны четная функция y=f(x) и нечетная функция y=g(x). Решите уравнение f(x)= g(x),если для всех действительных значений х выполняется равенство

f(x)+ g(x)=2х+7.

Решение:

Т. к. даны четная функция y=f(x) и нечетная функция y=g(x), то выполняются равенства

f (-x) = f (x) и g(-х)=-g(х). Заменим х на - х, получаем :

f(-x)+ g(-x)= 2(-х)+7

f(-x)+ g(-x)= -2х+7

Учитывая равенства f (-x) = f (x) и g(-х)=-g(х),получаем

f(x)-g(x)=-2х+7

Составим и решим систему уравнений

Отсюда  f(x)=7, g(x)=2х.

Следовательно,  f(x)= g(x),  7=2х;  х=3,5

Ответ: 3,5.

Задания для самостоятельного решения

8)  Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(2x+1)(5x+2)(х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?

Ответ: 3.

9)  Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=x(5x+1)(x-2)(х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?

Ответ: 5.

Задания с параметрами

Пример 8. Может ли при каком - нибудь значении а уравнение 2х6-х4-ах2=1 иметь три корня?

       

Решение:

Функция f(х)= 2х6-х4-ах2  четная. При замене х на –х данное уравнение не изменится, значит, если число х0 является корнем данного уравнения, - х0 также является его корнем, т. е. корни, отличные от 0, входят в множество решений уравнения «парами».Так как 0 не является корнем, то уравнение имеет четное число корней.

Ответ: не может.

Задания для самостоятельного решения

10) Может ли при каком - нибудь значении а уравнение 2х8-3ах6+4х4-ах2=5 иметь пять корней?

Ответ: не может.

11) Докажите, что уравнение 3х+3-х=ах4+2х2+2 имеет нечетное число корней.

12)  Докажите, что уравнение 4х+4-х=х3+2ах  имеет нечетное число корней.

Пример 9. (С - 5 Математика. 11 класс. )

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

x2 =  (a - 6)2

имеет единственный корень.

Решение.

Запишем уравнение в виде

x2 + (a – 6) 2 =  + .

Если  x0  является корнем исходного уравнения, то и  x0 является его

корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только

если  x0 = x0 , то есть  x0 = 0 . Подставим значение x = 0 в уравнение:

( a – 6)2 = 2 ;  Ч (  2) = 0 ,

откуда либо = 0; a = 6, либо = 2 ; a = 4 или a = 8 .

При a = 6 уравнение принимает вид x2 = 2 . Корнями этого уравнения

являются числа 2, 0 и 2 , то есть уравнение имеет ровно три корня.

При a = 4 и при a = 8 уравнение принимает вид x2 + 4 = +  .

При x < - 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0 , которое не

имеет корней.

При  х  получаем уравнение x2 = 0 , которое имеет единственный

корень.

При x > 2 получаем уравнение x2 - 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.

Таким образом, при a = 4 и при a = 8 исходное уравнение имеет

единственный корень.

Ответ: a = 4 и a = 8.

Задания для самостоятельного решения

12) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

x2 + (1- a) 2 = +

имеет единственный корень.

Ответ: a = -1 и a = 3.

Литература:

Математика Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы. М. « Дрофа», 2000г. ЕГЭ. Математика. Справочные материалы. Контрольно - тренировочные упражнения. Челябинск, «Взгляд», 2006г. КИМ  Диагностическая работа № 1 по МАТЕМАТИКЕ от 01.01.01 года.