Пересечение светового луча/траектории частицы с отражающей кривой
Пусть задана начальная точка светового луча/траектории частицы
направляющий вектор/вектор скорости
и отражающая кривая
Тогда уравнение траектории записывается в виде
и для нахождения точки пересечения этой траектории с отражающей кривой – точки отражения – нужно подставить эти уравнения в уравнение кривой
и решить полученное уравнение относительно параметра 
. Корни этого уравнения 
позволят отыскать все точки пересечения
Остается только понять, в какой из них будет происходить отражение. Рассмотрим следующий пример.
Отражение от эллипса. Пусть эллипс имеет уравнение
Траектория записывается в виде
и после подстановки в уравнение эллипса получаем
После раскрытия скобок получается квадратное уравнение
Если оно не имеет корней, то траектория не пересекается с эллипсом. Если имеется пара корней, то траектории пересекается с эллипсом дважды.
Посмотрим, какие упрощения возникают, когда начальная точка траектории 
лежит на самом эллипсе, то есть 
. В этом случае последнее слагаемое в уравнение можно заменить на 1, и оно приобретает вид
или
У этого уравнения есть один тривиальный корень 
, который соответствует начальной точке 
, и второй корень
После умножения числителя и знаменателя на 
он приобретает более компактный вид
и для второй точки пересечения с эллипсом получаем формулу
Если все это делается для построения траектории светового луча/частицы внутри эллиптического резонатора/бильярда, то стоит напомнить формулу отражения
и формулу для вычисления нормального вектора к кривой 
Для эллипса это дает
а после умножения на 
и деления на 2
Для нахождения единичного вектора нормали остается воспользоваться формулой 
.
