Турнир четырех
третий этап 2017/2018 учебного года
9 класс
1. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно из В в А по той же дороге выехал мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось проехать 3 км до середины пути; мотоциклист же через 20 минут после начала движения уже отъехал от середины пути 2 км. Через какое время после начала движения произошла встреча велосипедиста с мотоциклистом? (10 баллов)
2. Постройте график функции y=f(f(f(x))), если 
(10 баллов)
3. Трапеция ABCD с основаниями ВС и AD, вписана в окружность, центр которой лежит на основании AD. Диагональ АС трапеции равна 4 см, а боковая сторона АВ равна 3 см. Определите длину основания ВС. (10 баллов)
4. Докажите, что число 1993·1995·1997·1999+16 является квадратом натурального числа. (10 баллов)
5. В некоторой компании 100 акционеров, причем любые 66 из них владеют не менее чем 50% акций компании. Каким наибольшим процентом всех акций может владеть акционер? (10 баллов)
8 класс
1. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки? (10 баллов)
2. На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11.
Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10? (10 баллов)
3. Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый отработанный день он получает 100 рублей. Если же он прогуливает, то не только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 рублей за каждый день прогула. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он действительно работал? (10 баллов)
4. Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие варианты ответа невозможны. (10 баллов)
5. Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого — различные простые числа. (10 баллов)
7 класс
1. Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом.
В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел. (10 баллов)
2. Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время? (10 баллов)
3. Какими двумя цифрами заканчивается число 13! ? (
(10 баллов)
4. Найдите значение выражения 
, если 
. (10 баллов)
5. В треугольнике ABC AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр ED на BC. Оказалось, что AE = ED. Найдите угол DAC.
(10 баллов)
6 класс
1. Какой цифрой оканчивается число 7777 +13? (10 баллов)
2. Фрекен Бок испекла плюшки. Карлсон взял себе 20% всех плюшек и ещё 12 плюшек, затем Малыш взял себе 25% оставшихся плюшек и ещё 7 плюшек. И, наконец, Фрекен Бок взяла 30% оставшихся после этого плюшек и ещё 14 плюшек. В результате все плюшки разобрали. Сколько плюшек испекла Фрекен Бок и сколько из них досталось Карлсону? (10 баллов)
3. Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, …, …, …, … .
(10 баллов)
4. В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек.
За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую.
За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками? (10 баллов)
5. Найдите площадь фигуры. (10 баллов)
5 класс
1. В клетках таблицы 3Ч3 вписаны натуральные числа (не обязательно различные) так, что все 6 сумм чисел: в трех строках и в трех столбцах таблицы, различны. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел таблицы. (10 баллов)
2. В корзине лежат 5 яблок. Как разделить эти яблоки между пятью девочками, чтобы каждая девочка получила по одному яблоку и чтобы одно яблоко осталось в корзине. (10 баллов)
3. Возьмите лист бумаги и нанесите на нем девять точек: по 3 в каждой из 3 строк, точка под точкой. Перечеркните их 4 прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги. (10 баллов)
4. Сколько надо поставить знаков + между цифрами числа 987654321, чтобы в сумме получилось 99? Запишите ваш пример. (10 баллов)
5. Нарисуйте 4 белые и 4 черные шашки в ряд так, чтобы они все чередовались, начиная с белой. Представьте, что вы начинаете перемещать (в начало или конец ряда) в этом ряду за один раз только 2 лежащие рядом шашки. Затем еще 2 лежащие рядом шашки — на освободившееся место внутри ряда. Раздвигать или сближать шашки нельзя. Докажите с помощью вашего рисунка, что за 4 таких перемещения пар шашек, окажутся подряд все черные и подряд все белые шашки. (10 баллов)
4 класс
1. В числе 5 236 845 зачеркните 3 цифры так, чтобы оставшееся число было:
а) наибольшим;
б) наименьшим.
Запиши полученные числа. (10 баллов)
2. Крестьянин, зная, что корова стоит вчетверо дороже собаки, а лошадь вчетверо дороже коровы, взял с собой на ярмарку 200 рублей и на эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Сколько стоило каждое животное?
(10 баллов)
3. Из куска проволоки согнули квадрат, площадь которого 36 кв. см. Затем проволоку разогнули и сложили треугольник с равными сторонами. Какова длина стороны треугольника? (10 баллов)
4. Найди значение выражения: 258 – 216 : 9 + 18 · 3. Не изменяя чисел и знаков действий, измени выражение так, чтобы его значение стало меньше.
Докажи свой ответ. (10 баллов)
5. Гном разложил свои сокровища в 3 сундука разного цвета, стоящие у стены: в один — драгоценные камни, в другой — золотые монеты, в третий — магические книги. Он помнит, что красный сундук находится правее, чем камни, и что книги — правее красного сундука. В каком сундуке лежат книги, если зелёный сундук стоит левее синего? (10 баллов)
