Лекция №24

Лекция №24.

Цель: закрепление знаний, умений и навыков при решении задач на нахождение площадей, решение задач на числа и части, использование  арифметических и алгебраических методов решения задач.

Задача:  Садовый участок, имеющий форму прямоугольника, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что длина участка на 15 м больше его ширины, а площадь его равна 700 м2.

Решение:

Анализ:

(х + 15) м
	х м

Пусть х м – ширина участка, тогда (х + 15) м – его длина. Зная, что площадь участка составляет 700 м2, получаем уравнение:

х (х + 15) = 700;

х2 + 15х – 700 = 0;

D = (15)2 – 4 · 1 · (–700) = 225 + 2800 = 3025;

x1 =   = 20;

x1 = = –35 – не имеет смысла.

И м е е м: 20 м – ширина участка, 35 м – его длина.

Длина изгороди равна 2 · (35 + 20) м, что составляет 110 м.

О т в е т: 110 м.

Задача: Участок земли прямоугольной формы площадью 6 соток огорожен забором, длина которого 100 м. Найдите длины сторон этого участка.

Решение.

1)

P = 100 м

2) х м – сторона АВ;

у м – сторона ВС.

S = х · у – площадь участка;

Р = 2 (х + у) – периметр участка.

По условию задачи имеем систему:

3) Решим систему:

Решим уравнение: х2 – 50х + 600 = 0.

D1 = 625 – 600 = 25;

х1 = 25 – 5 = 20;

х2 = 25 + 5 = 30;

Ответ: стороны участка 20 м, 30 м.

Задача:  В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько апельсинов в 8 таких же ящиках?

Алгоритм:

Чтение задачи. Выделение известных и неизвестных величин. Установление связи между условием и вопросом. Моделирование. Введение неизвестного. Выражение через это неизвестное других величин. Установление равенства. Составление уравнения. Решение уравнения. Формулировка ответа. Проверка. Решение задачи способом уравнения. Вернемся к нашей задаче, решим ее уравнением.

Х кг – в 8 ящиках

(21 : 3) кг – масса одного ящика из 3

(Х : 8) кг – масса одного ящика из 8

Уравнение: 21 : 3 = Х : 8

Упрощаем: Х : 8 = 7

Х = 56 (кг)

Ответ: 56 кг в 8 ящиках.

Задача: Все ученики одного класса обменялись фотографиями. Сколько учеников было в этом классе, если всего было передано 600 фотокарточек?

Решение:

Пусть в классе п учеников. Так как каждый раздал свое фото оставшимся (п – 1) ученикам, то всего было роздано фотографий п(п – 1). Зная, что всего передано 600 фотокарточек, составим уравнение:

п(п – 1) = 600;

п2 – п – 600 = 0;

D = (–1)2 – 4 · 1 · (–600) = 2401;

n1 = = 25;

n1 = = –24 – не имеет смысла.

О т в е т: 25 учеников.

Задача: Сумма трех чисел равна 100. Если разделить первое число на второе, то в частном получится 4, а в остатке 3; если же второе число разделить на третье, то в частном получится 2 и в остатке 4. Найдите эти три числа.

Решение:  По условию задачи имеем три соотношения:

1) сумма трех чисел равна 100;

2) первое число равно учетверенному второму плюс 3;

3) второе число равно удвоенному третьему плюс 4.

Примем за основу для составления уравнения первое соотношение. Вводим обозначение х для третьего числа и выражаем через х второе и первое неизвестные. Второе неизвестное на основании третьего соотношения будет иметь вид 2x+4, а первое неизвестное на основании второго соотношения запишется как 4·(2х+ 4) + 3. На основании первого соотношения составим уравнение  4·(2х + 4) + 3 + (2х + 4) + х = 100.

Решив полученное уравнение, найдем x = 7, т. е. третье число 7. Следовательно, второе число 2x + 4 = 18, а первое — 4·(2x+ 4) + 3 = 75. Проверка показывает, что найденные значения искомых величин удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа — 75, 18 и 7.

Задача:  На лугу пасется 60 коров и овец. Число овец равно 3/5 числа коров. Сколько коров и сколько овец пасется на лугу?

Решение: Обозначив число коров через х, а число овец через у, получим первое уравнение x + у = 60. Учитывая, что число овец равно 3/5 числа коров, имеем второе уравнение у = 3х/5. Итак, имеем систему:

с

Решив полученную систему уравнений, найдем х = 37,5. Но, так  как  37,5 — это число коров, а число коров не может быть дробным,  то число 37,5, являющееся корнем уравнения, не удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: задача решения не имеет.

Задача:  Брат старше сестры на 5 лет. Сколько лет каждому, если обоим вместе 17 лет?

Это задача на нахождение двух чисел по данной их сумме и разности. При арифметическом решении приходится прибегать к искусственному построению — к так называемому «предположению». Первый вопрос формулируется так: «Сколько лет было бы обоим, если бы сестре было столько же лет, сколько и брату?» И затем уже узнается, сколько лет брату. Между тем алгебраический метод дает совершенно естественное решение.

Решение:

Пусть х лет — возраст брата, тогда сестре  (х - 5) лет, а обоим вместе x + (х - 5) лет, что составляет 17 лет. Таким образом, имеем уравнение x + (х - 5) = 17, решив которое найдем х = 11. Никаких «предположений» делать здесь не приходится.

Задача:  В трех аквариумах находится 114 рыбок, причем во втором аквариуме находится вдвое, а в третьем — втрое больше, чем в первом. Сколько рыбок в каждом аквариуме?

Это задача на пропорциональное деление. В этом случае, решая задачу арифметическим методом, также приходится прибегать к делению целого на части.

Начинаем рассуждать, например, так: «Предположим, что в первом аквариуме была 1 часть (или: примем число рыбок в первом аквариуме за 1 часть);

тогда во втором находится 2, а в третьем — 3 такие части».

Затем находим ответ на первый вопрос: «Сколько было всего частей?». Искусственность такого решения очевидна.

Гораздо проще и естественнее, обозначив число рыбок в первом аквариуме через х, получить решение при помощи одного выражения:

x + 2х + Зx = 114.

Задача:  В одном резервуаре — 48 ведер воды, а в другом — 22 ведра воды. Из первого отлили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из каждого резервуара?

В ходе решения алгебраическим методом имеем уравнение 

48 - 2x = 3·(22 - х).

Арифметический путь решения данной задачи, как и задач, математические модели которых задаются уравнениями вида 

а + bx = m(c - x), очень трудоемок и практически не применяется. Вместе с тем решение большого числа задач приводит к уравнениям, содержащим неизвестное в обеих частях.

Алгебраический метод решения задач позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличающиеся друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения.

Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того же математического рассуждения, одних и тех же соотношений, т. е. имеют одну и ту же математическую модель.

Задача: По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 чел, больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом показаны в таблице.

Этапы решения задачи
алгебраическим методом	арифметическим методом
Пусть в каждом трамвае было х мест. Тогда по условию задачи имеем уравнение: (x + 5)·18 = х · 21 - 6. Преобразуем его: 21х - 18x = 90 + 6, или 3х=96	В каждый вагон входило на 5 чел. больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах — на 5 · 18 = 90 (чел.) больше. В 3 дополнительные вагона вошло 90 чел. и осталось еще 6 свободных мест. Следовательно, в трех вагонах 90 + 6 = 96 (мест)
Находим неизвестное: х = 96: 3; x = 32	Находим число мест в одном вагоне:  96: 3 = 32 (места)

Используя данные таблицы, получаем арифметическое решение задачи:

1) 5 · 18 = 90 (чел.) — на столько человек больше, чем мест, было в 18 вагонах;

2) 90 + 6 = 96 (м.) — столько мест в трех вагонах;

3) 96 : 3 = 32 (м.) — столько мест в одном вагоне;

4) 32 + 5 = 37(чел.) — было в каждом из 18 вагонов;

5) 37 · 18 = 666 (чел.) – зрителей уехало на трамваях;

6) 666 + 174 = 840 (чел.) – всего зрителей было в театре.

Ответ: в театре было 840 человек.

Задача: В автогонках принимают участие команды, имеющие одинаковое число автомобилей марки «Волга» и марки «Москвич», причем в каждой команде число всех автомобилей меньше 7. Если в каждой команде число автомобилей марки «Волга» оставить без изменения, а число автомобилей марки «Москвич» увеличить в 3 раза, то общее число «Москвичей», участвующих в гонках, будет на 50 больше общего числа «Волг», а число автомобилей в каждой команде превысит 12. Определите число команд, участвующих в гонках, и число «Волг» и «Москвичей» в каждой команде.

Решение:  Пусть N — число команд, участвующих в гонках,  m и n число «Волг» и «Москвичей» в каждой команде соответственно.

Тогда условия задачи приводят к следующей системе уравнений и неравенств, которую запишем в виде таблицы.

Условия задачи	Уравнение (неравенство)
В каждой команде число всех автомобилей меньше 7	m+n<7
Если в каждой команде число «Волг»
оставить без изменений, а число «Москвичей» увеличить в 3 раза, то
«Москвичей» станет на 50 больше,
чем «Волг»	3nN — mN = 50
При этом число автомобилей в каждой
команде превысит 12	т + Зп > 12

Запишем последнее неравенство системы в виде

(m + n) + 2n > 12  или  n > 6 – m + n : 2

Из условия задачи, первого и последнего неравенств следует, что 2 < m + n < 6; а n < 6. Используя эти ограничения, получаем, что 4 < n < 6. Значит, возможны следующие варианты:

1) n = 4, m = 1;

2) n = 4, m = 2;

3) n = 4, m = 1.

Соответственно этому, единственное имеющееся в системе уравнение примет вид: 1) 11N = 50; 2) 10N = 50; 3) 14N = 50. Поскольку N - целое число, то решение получается только во втором случае. Итак, N = 5.

Ответ: участвовало 5 команд, в каждой из которых было по две «Волги» и по четыре «Москвича».

Задача: Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение: Пусть в альбоме m листов, а у школьника — N марок. Используя условие задачи, приходим к системе уравнений, представленной в таблице.

Условия задачи	Уравнение
Если школьник наклеит по 20 марок
на лист, то ему не хватит альбома	20m < N
Если школьник наклеит по 23 марки на
лист, то по крайней мере один лист альбома
окажется пустым	23(m — 1)  > N
Если школьнику подарить такой же альбом,
в котором на каждом листе по 21 марке, то	21m + N = 500
всего у него будет 500 марок

Таким образом, в этой задаче имеется одно уравнение и два неравенства. Выразим N из уравнения этой системы и подставим его в каждое из неравенств:

<

 

Учитывая, что m — целое число, из первого неравенства этой системы находим, что m < 12, а из второго неравенства — что m > 12. Сравнивая между собой эти результаты, получаем m = 12.

Ответ: в альбоме 12 листов.

Задача 2. Перемещение двух тел по окружности в разных направлениях можно уподобить движению навстречу друг другу по прямой, даже если тела стартовали из одной точки вроде бы сразу разошлись, а не сблизились.

Два тела, двигаясь по окружности в одном и том же направлении, встречаются каждые 56 мин. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 8 мин.. Если при движении в противоположных направлениях в некоторый момент времени расстояние по окружности между телами 40м, то через 24с оно будет 26м. (в течение этих 24 с тела не встретятся). Найдите скорости тел и длину окружности.

Пусть с - длина окружности, х м/мин - скорость 1-го тела, у м/мин - скорость 2-го, х >у. При движении в одном направлении первое тело догоняет второе со скоростью (х – у)м/мин. После одного из обгонов следующий обгон имеет место через столько минут, сколько понадобится, чтобы преодолеть с метров со скоростью (х – у)м/мин, т. е. через 56 мин.

                                               (1)

При движении в разных направлениях тела сближаются со скоростью (х + у)м/мин, причем с метров они вместе проходят за 8 минут.

                                               (2)

Если первоначальное расстояние было равно 40 м, а осталось пройти до встречи 26м, то общий пройденный путь составляет 40м-26м=14м. Он был преодолен со скоростью (х+у) м/мин за 24с, т. е. за 2/5 мин.

                                                (3)

Разделив уравнение 2 на 1,получим

,

Подставляя в уравнение 3 находим х=20, у=15, а из уравнения 2 получаем с=280.

Задачи на числа.

Задача 1.Натуральное число n при делении на 5 дает остаток 3. Найти остаток от деления на 5 квадрата числа n.

Решение. Так как число n при делении на 5 дает остаток 3, то его можно записать в виде: n = 5k +3 (где k – частное). Найдем квадрат этого числа. N = n2 = (5k + 3)2 = 25 k2 + 30k + 9.

Выделим в числе N слагаемые,  которые без остатка делятся на 5: 25k2 и 30k.

В числе 9 также выделим наибольшее число, которое без остатка делится на 5: 9 = 5 + 4. Тогда число N имеет вид:

N = (25 k2 + 30k + 9) + 4 = 5(5k2 + 6k + 1) + 4 = 5m + 4(где m = 5k2 + 6k + 1 – натуральное число).

Так как число N = 5m + 4, то это означает, что при делении числа N = n2 на 5 получается в частном число m и остаток 4.

Задача 2. Является ли число 2875 + 15633 + 3211991 простым?

Решение. Так как число 287 оканчивается на 7, а 75 – оканчивается цифрой 7, то 2875 оканчивается цифрой 7. Аналогично число 15633 оканчивается цифрой 7 и число 3211991 – цифрой 1. Поэтому последняя цифра данного числа буде 5 (7+7+1 = 15). Итак, произведенное число делится на 5 и является составным.