Конспект урока по теме: «методы решения тригонометрических уравнений»

КОНСПЕКТ УРОКА ПО ТЕМЕ: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Преподаватель математики

ГБОУ СПО «Перемышльский техникум

эксплуатации транспорта»

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

       Образовательные: способствовать формированию навыков решения тригонометрических уравнений различными методами; ввести новые методы решения тригонометрических уравнений;

       Развивающие: способствовать развитию умения применять имеющиеся знания в изменённой ситуации;

       Воспитательные: способствовать формированию математической культуры личности.

Оборудование: ноутбук, проектор, презентация, таблицы со значениями тригонометрических функций и основными формулами тригонометрии.

План урока

Актуализация знаний Организационный момент Проверка домашнего задания Актуализация знаний по решению тригонометрических уравнений Постановка проблемной ситуации Формирование новых знаний и способов действий Введение новых методов решения тригонометрических уравнений

А) Метод вспомогательного угла

Б) Метод универсальной тригонометрической подстановки

Формирование умений и навыков Самостоятельная работа Итоги урока Подведение итогов урока Обсуждение домашнего задания

Ход урока

Актуализация знаний

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. Тема урока: «Методы решения тригонометрических уравнений». Сегодня вы вспомните уже известные вам методы решения тригонометрических уравнений и изучите новые методы (слайд 1).

Учитель: Проверим домашнюю работу //Один из учащихся выходит к доске и излагает ход решения домашнего задания//.

Учащиеся:

Найти область значений функции .

Решение: ;

Так как областью значений функции является отрезок , то областью значений функции является отрезок (слайд 2).

Учитель: Молодец! Садись.

Учитель: Вашему вниманию предложены тригонометрические уравнения. Вам необходимо указать метод решения каждого уравнения (слайд 3).

Учащиеся: Первое уравнение сводится к квадратному уравнению относительно косинуса после применения основного тригонометрического тождества. Второе уравнение является однородным уравнением  второй степени. Оно сводится к квадратному уравнению относительно тангенса после деление на квадрат косинуса. Третье уравнение решается методом разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки. Четвёртое уравнение также решается методом разложения на множители, только с помощью формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Пятое уравнение является однородным уравнением первой степени. Оно сводится к простейшему уравнению относительно тангенса после деления на косинус.

Учитель: Правильно. Перечисленные вами методы позволяют решить большое количество тригонометрических уравнений. Тем не менее, очень предлагаемые на выпускных и вступительных экзаменах тригонометрические уравнения не могут быть решены данными методами. Например, в пятом уравнении заменим ноль в правой части на число 5. Полученное уравнение не является однородным. Как решать это уравнение?

Учащиеся: Методы, которые мы знаем непригодны для данного уравнения. Должен быть какой-нибудь другой метод для решения данного уравнения.

Формирование новых знаний и способов действий

Учитель:  Данное уравнение имеет вид . Для решения этого уравнения используется метод вспомогательного угла. Вы уже знаете этот метод. Только применяли его для нахождения области значений функции . Обе части уравнения делятся на . Получившиеся коэффициенты являются значениями синуса и косинуса некоторого угла ц. После замены коэффициентов на значения синуса и косинуса угла ц применяется одна из формул сложения. Далее решается простейшее уравнение (слайд 4).

       Учащиеся:

 

Учитель: Молодцы. Данное уравнение можно решить ещё одним методом. Этот метод использовался вами при упрощении тригонометрических выражении и доказательстве тригонометрических тождеств. Это метод универсальной тригонометрической подстановки.  Суть данного метода состоит в следующем: все тригонометрические функции заменяются на выражения, зависящие от тангенса половинного угла. Затем с помощью замены данное уравнение сводится к алгебраическому (слайд 5).

Учащиеся:

Учитель: Верно. Только необходимо учитывать следующее: если исходное уравнение не содержит тангенса половинного угла, то необходима проверка значений , а если тангенс половинного угла в уравнении содержится то проверку делать не нужно.

Учащиеся: В этом уравнении необходима проверка. Она показывает, что данная серия значений не является решением  данного уравнения.

Формирование умений и навыков

Учитель: Мы рассмотрели применение двух методов решения тригонометрических уравнений: метод вспомогательного угла и метод универсальной тригонометрической подстановки. Для проверки того, как вы усвоили эти методы, проведём самостоятельную работу (слайд 6).

Итоги урока

Учитель: Сегодня вы изучили два новых метода решения тригонометрических уравнений. Как они называются?

Учащиеся: Метод вспомогательного угла и универсальная тригонометрическая подстановка.

Учитель: Как вы думаете, какие недостатки есть у каждого из этих методов?

Учащиеся: Метод вспомогательного угла применяется только для уравнений вида , а универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к алгебраическим уравнениям высоких степеней.

Учитель: Вы хорошо освоили эти методы. Помимо них есть ещё несколько методов решения тригонометрических уравнений определённых видов. Те учащиеся, которые заинтересовались, могут найти описание этих методов в Интернет и соответствующей литературе. Домашнее задание: решить уравнение несколькими способами (не менее трёх). Урок окончен.

Учащиеся: До свидания.