Средние линии четырехугольника, или красивое бесполезное обобщение (стр. 4 )

Рисунок 4. Иллюстрация к задачам 1 ˗ 3.

Эксперимент показал, что при данной точности вычислений (достаточно высокой) точки и становятся неразличимы, начиная уже с девятого члена последовательности. Важно, что такой результат не зависит от взаимного расположения вершин исходного четырехугольника. Это подсказывает, что имеет смысл говорить о сходимости изучаемой последовательности точек. Заметим, что компьютерный эксперимент позволяет найти предел этой последовательности с любой точностью, допускаемой компьютером, однако оставляет открытым вопрос о том, как может быть построена точка, являющаяся пределом последоствательности .

Приведенные рассуждения порождают следующую задачу.

Задача 2. 1) Доказать, что предел последовательности существует, и найти его. 2) Доказать, что искомый предел равен .

Чисто визуальный анализ середин показал, что с ростом порядка середины она становится все больше и больше «похожа» на параллелограмм. Чтобы наполнить смыслом нематематическое слово «похожа», вспомним один из признаков параллелограмма: четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его противоположные углы равны.

Эксперимент состоял в следующем. Пусть , , и – это последовательно расположенные углы середины порядка . Рассмотрим последовательность чисел , где . Вычисленимя показывают, что последовательность , скорее всего, стремится к нулю. Это наблюдение порождает следующую задачу.

Задача 3. Доказать, что последовательность стремится к нулю и, следовательно, середины действительно становятся похожи на параллелограмм.

Повторимся: утверждения, сформулированные в задачах, являются не более чем гипотезами, которые, впрочем, подтверждены большим количеством примеров. Доказательство их справедливости требует повторного обращения к теоретическим методам. Однако это мы оставим за рамками данной статьи.

6. Вместо заключения

Вернемся к заглавию нашей статьи: «Средние линии четырехугольника, или Красивое бесполезное обобщение». Как мы уже говорили, представленная в статье формула площади выпуклого четырехугольника вряд ли будет полезна для практики вычислений, несмотря на красоту и гармоничность составляющих ее частей. Тем не менее, она достаточно интересна в качестве примера полезных обобщающих рассуждений о средних линиях, которые опираются на физические соображения о динамической изменчивости фигур. По мнению авторов, использование подобных соображений в элементарной геометрии открывает новые возможности в развитии этого, казалось бы, уже завершенного раздела математики. В подтверждение нашего мнения отошлем читателей к работам В. Ненкова и С. Гроздева в области элементарной геометрии [3, 4], а также к электронной энциклопедии центров треугольников К. Кимберлинга [5].

Список литературы

Четырехугольники/Математика для школы [электронный ресурс]: URL: http://math4school. ru/chetyrehugolniki. html Рыбакова, Т. Л., Математика. Школьный справочник [Текст]. – Ярославль, «Академия развития», 1997. – 333 с. Grozdev S. & Nenkov V. Three remarkable points on the medians of the triangle, Bulgaria, "Archimedes 2000" – Sofia, 2012. Grozdev S. & Nenkov V. About Orthocenter in plane and space, Bulgaria, "Archimedes 2" – Sofia, 2012. Kimberling C. Encyclopedia of Triangle Centers. Online: http://faculty. evansville. edu/ck6/encyclopedia/ETC. html

Alexander Yastrebov, DSc, professor,

Yaroslavl State Pedagogical University named after K. D. Ushinsky,

Faculty of mathematics and physics,

Department of calculus, theory and methodology of teaching mathematics.

Number of scientific publications: 3 monographs, 81 papers.

Maria Shabanova, DSc, professor,

Northern (Arctic) Federal University named after M. V. Lomonosov, Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Head of the department of Experimental mathematics and informatization of education.

Number of scientific publications: 4 monographs, 91 papers.

MIDDLE LINE OF THE QUADRANGLE,

OR BEATIFUL USELESS GENERALIZATION

Abstract. The present paper deals with the geometry of quadrangles. If we consider mathematics as a sum of knowledge, then we have to say that two new notions are introduced in the paper. They are “a middle line of a convex quadrangle” and «a middle of a convex quadrangle of order n». Besides, we proved the formula which expresses the area of a convex quadrangle through the lengths of the middle lines and some other numerical characteristics of a quadrangle. A characteristic feature of the formula looks as follows: it unites together 12 numerical characteristics of a convex quadrangle. And last but not least: we formulate some hypotheses concerning a sequence of middles of a convex quadrangle. Thus, we indicate a possible direction of study of quadrangles.

If we consider mathematics as an area of people’s activity, then we have to say that the paper presents the logic of formulating and solving a problem in the selected area of geometry. We do believe that the way of mathematician’s thinking is the most important component of the paper. It seems to us that it would be interesting and useful for readers. We treat the word “mathematician” in two ways: mathematician-theorist and a mathematician-experimentalist. Thus, the paper deals with experimental roots of mathematics.

Methodology of the paper includes a complex of methods who supplement each other: physical considerations about figures’ deformations, comparison of some mathematical formulas from the viewpoint of their stability under deformations, method of theoretical generalizations, experimental method.

It is important for us, that the hypotheses about properties of a convex quadrangle have been put forward as a result of some computer experiments in interactive geometry environment "GeoGebra". Thus, computers generate some new research ideas within such an old area as elementary geometry.

Key words: elementary geometry, convex quadrangle, generalization, computer experiment, dynamic model.

Контактная информация:

Адрес: Россия, 150062, г. Ярославль, пр-д Доброхотова, .

E-mail: a. *****@***org

Адрес: Россия, 163060, , ком. 405.

E-mail: m. *****@***ru

1 Ангстрем – это единица длины, равная одной десятимиллиардной метра.