Методические материалы по написанию вступительного теста в магистратуру ВШФМ (стр. 2 )

Периоды	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Изменение в % по отношению к предыдущему периоду	+1,0	+1,06	+1,3	+0,8	+0,2	-0,1

Определите:

а) как изменились потребительские цены в 1-ом квартале;

б) как изменились потребительские цены в 2-ом квартале;

в) как изменились потребительские цены за полугодие в целом;

г) среднемесячное изменений потребительских цен;

д) годовую инфляцию.

Решение:	I1 = 1,01; I2 = 1,0106; I3 = 1,013; I4 = 1,008; I5 = 1,002; I6 = 0,998
а)  I1-ый кварт. = 1,034, цены выросли на 3,4%; б) I2-ой кварт. = 1,008, цены выросли на 0,8%
с) ) Iполугодие = 1,0422, цены выросли на 4,22%: средний индекс = 1,04221/6 = 1,0069 рост цен 0,69%
д)  годовая инфляция = 1,04222 - 1 = 1,0863 - 1 = 0,0863 или 8,63%

Для сравнения доходности различных активов достаточно сравнить их индексы, а не рассматривать весь пакет. При этом необходимо помнить, что индексы нельзя складывать и вычитать, а можно только умножать и делить.

Задача 1.8. Акции компании Ford покупались за $80,5, а были проданы за $86,5; акции компании GM были куплены $23,5 и проданы за $25,5. Какие акции доходней и насколько?

Решение:	Одна акция GM приносит прибыль в $6, а акция Ford $2 НО!!!
Это соотношение на одну акцию, а нам надо соотношение на доллар инвестиций!
Индекс Ford = 86,5/80,5=1,0745; Индекс GM=25,5/23,5=1,0851
Отношение индексов=1,0851/1,0745=1,0098 Ответ: GM доходней на 0,98%
Ошибка: 1, 0851-1,0745=0,0106 или 1,06% - нельзя вычитать!!!

Еще одно следствие расчета средней доходности через среднее геометрическое: если четное количество периодов доходность росла, а четное - падала на один и тот же процент, то средняя доходность за период не равна нулю.

Задача 1.9. Четыре периода равны по продолжительности. Доходность инвестиций в первый и второй периоды росли на 10%, а в третий и четвертый - падали на такой же процент. Рассчитать среднюю доходность за период.

Решение:	I1 = 1,1; I2 = 1,1; I3 = 0,9; I4 = 0,9
Iрез = 0,98 откуда Iсредн = 0,995, а r = -0,005 или 0,5% но не НОЛЬ!!!
Ошибка: Среднее арифметическое даст ноль!

Задача 1.10. Фотографию уменьшили на 20%. На сколько надо увеличить фотографию, чтобы вернуть ей первоначальный размер?

Решение:	I1 = 0,70; I2 = Х; Iрез = 0,8*Х = 1; тогда Х = 1,25 или рост должен составит 25%
Ответ: увеличить на 25%.

Средневзвешенная доходность.

Пусть нам необходимо рассчитать доходность акций некой компании за одну торговую сессию. В период сессии мы покупали и продавали акции компании различными лотами (объемами акций) и каждый лот имел свои показатели доходности. Даже если рассчитывать доходность от владения каждым лотом в отдельности, все равно нам необходимо иметь правило, которое позволило бы рассчитать итоговую доходность от владения всеми лотами данного актива.

Как поступить в таком случае - как рассчитать доходность всех операций по покупке и продаже данного актива? На данные вопросы дает ответ расчет средневзвешенный доходности.

Если актив покупался и продавался частями с разными доходностями, то если принять всю сумму инвестиций за единицу, а потом рассчитать доли инвестиций с равными доходностями, то искомую доходность можно получить по следующей формуле, называемой формулой средневзвешенной доходности:

Дrср. вз. = (w1Чr1+w2Чr2+...+wnЧrn)

где r1, r2, ... ri - доходности каждой доли инвестиций;

w1 , w2 , ... wi - показатель, относительно которого "взвешиваются" доходности.

Задача 1.11. Инвестор формирует равновзвешенный портфель состоящий из четырех активов с годовыми доходностями в 8,2%; 8,8%; 9,0 и 10,4% соответственно. Рассчитать годовую доходность портфеля.

Решение:	Поскольку портфель равновзвешенный, то веса всех активов одинаковы и равны 0,25
0,25
Тогда r= 0,25*(8,2%+8,8%+9,0%+10,4%) = 9,1%

Раздел 2. Финансовая математика. Теория процента.

2.1.1 Процент.

Объем выплаченных (полученных) процентов зависит от следующих факторов:

1. Ставка процента. (интенсивность начисления процентов)

2. Срок пользования заемными средствами

3. Способ начисления (простой, сложный, непрерывно начисляемый процент)

4. Количество периодов начисления процента

5. Момент выплаты процентов. Различают декурсивные (postnumerando) проценты, которые выплачиваются в конце периодов финансовой операции и антисипативные (prenumerando) проценты, которые выплачиваются в начале финансовой операции.

Задача 2.1. Рассчитать доходность кредита, если сумма ссуженных средств составляет 80 тыс. д. е., а полученная в итоге данной финансовой операции сумма составляет 104 тыс. д. е.

Воспользоваться определением относительного прироста.

Решение:

% ставка = FV/PV-1 = (104/80-1)*100%= (1,3-1)*100%=30,0%

2.1.2. Простые проценты.

Пусть ссуженная сумма равна PV (Present Value), ставка процента r годовых, срок выдачи кредита - n лет. Тогда, если проценты не прибавляются к основной сумме долга, полученная в будущем сумма FV (Future Value) будет равна:

FV = PV+ PVЧr1 + PVЧr2 + PVЧrn = PVЧ(1+nr)

Если процент начислялся за время меньшее, чем период начисления процентов, то формула будет несколько иной:

FV = PV(1+rЧn/365)

где r - процентная ставка за год, n - количество дней начисления.

Такой метод расчета называется простыми процентами.

Задача 2.2.  Сколько нужно положить в Сбербанк 01.03.2015 под 16% годовых, чтобы к 17.09.2015 получить 10 000 руб.? Выполнить из расчета простых процентов, округлив до целых рублей в большую сторону:

Решение:	Сбербанк выполняет расчеты по формуле точных простых процентов.
первый (день вклада) и последний (день снятия вклада) дни не учитываются.
10000 = Х(1+(31+30+31+30+31+31+16)*0,16/365)= Х(1+ (200*0,16/365))= ХЧ1,08767
X = 9193,979194 руб.

2.1.3. Сложные проценты.

Если мы берем в долг сумму PV, то через определенное время должны вернуть как саму сумму, так и проценты начисленные за пользование этой суммы.

FV = PV + PVЧr = PV(1+r)

Если периодов начисления процентов несколько, то сумма, которую мы должны вернуть рассчитывается как:

FV = PV(1+r)(1+r)...(1+r) = PV(1+r)n

Такой метод расчета называется сложными процентами.

Легко заметить, что r - это относительный прирост первоначальной суммы, тогда:

FV = PVЧI

где I = (1+r)- рост (индекс роста) первоначальной суммы за один период. Легко видеть, что данное выражение можно получить просто из определения роста:

I = FV/PV

Для нескольких период будущая сумма рассчитывается как:

FV = PVЧI1ЧI2Ч...ЧIn

Если относительный прирост (процентная ставка r) за период одинакова, то формула превращается в (2.1.7)

FV = PVЧIn

Задача 2.3. 31 декабря 1993 года мы положили в банк 1 000 000 руб. Какую сумму мы должны получить через три года, если депозитные ставки составляли соответственно 50%, 70% и  56,9% годовых в 1994, 1995 и 1996 годах.

Решение:

Iрез. = 1,5Ч1,7Ч1,569 = 4,0 → 1 000 000 Ч 4,0 = 4 000 000

Задача 2.4. Какую сумму мы получим через 20 лет, если 2,5 млн. положили под 7,2% годовых? Ответ округлить до ста тысяч (десятых долей миллиона).

Решение:	I = (1+0,072) = 1,072
S = 2,5*1,07220 = 2,5*4,00 = 10,0

2.1.4 Смешанные проценты.

Если время депозита составило несколько полных периодов и неполный, то количество полных периодов начисления рассчитываются по формуле сложных процентов, а оставшаяся часть - по формуле простых процентов. Такой метод начисления носит название начисление смешанных процентов.

Задача 2.5. Сколько нужно положить в Сбербанк 01.02.2015 под 18% годовых, чтобы к 15.09.2015 получить 10000 руб. из расчета сложных процентов с ежеквартальной капитализацией начиная с 01.02.2015? Выполнить расчеты, округлив до десятков рублей в большую сторону:

Решение:	Ответ находим из уравнения, где 2-ой член - сложные, а 3-ий простые %
10000 = Х(1 + 0,045)2  X = 8958,58960 руб.

Задача 2.6. Вычислить по правилу смешанного процента средний процент с 1 июля 1998 года по 30 июня 2000 года, если капитализация процента совершалась раз в квартал, а процент годовых изменился два раза: с 25% до 21% 1 апреля 1999 года и 1 января 2000 года ставка процента уменьшилась на 5 процентных пунктов. Округлите ответ до сотых процента по обычным правилам математики.