Задание

7167. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной l = 50 см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью v0 он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в в = 3 раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между полом и соломинкой пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Дано: l = 50 см=0,5 м; в = 3; g = 10 м/с2

Найти: v0=?

Решение. Свяжем с неподвижным полом инерциальную систему отсчета. Направим координатную ось ОХ вдоль соломинки в сторону ее второго конца, совместив начало оси с исходным положением кузнечика. В выбранной системе отсчета для системы двух тел «кузнечик + соломинка» можно применять закон сохранения импульса вдоль оси ОХ: поскольку трения между полом и соломинкой нет, сохраняется проекция суммарного импульса на горизонтальную ось ОХ, откуда следует равенство:

где m и М - массы кузнечика и соломинки, u - скорость соломинки относительно пола. Отсюда

Время t0, которое кузнечик проводит в полете, равно

За это время модули перемещения соломинки влево (в отрицательном направлении оси ОХ) и горизонтального перемещения кузнечика вправо (в положительном направлении оси ОХ) равны, соответственно:

По условию эти величины связаны между собой соотношением:

Учитывая, что

находим величину начальной скорости кузнечика:

Эта величина минимальна при

то есть при б=45°. Отсюда получаем:

Подставляя в эту формулу заданные в условии задачи числа и проверяя размерность, находим

Полное решение этой задачи подразумевает анализ полученного ответа. Надо понимать, что скорость кузнечика будет минимальной при максимальном значении sin 2б.

Ответ.