Задачи на переливание

Задачи на переливание

 

Выполнил Буганков Иван

учащийся 6 «в» класса

Муниципального общеобразовательного

учреждения «Лицей № 56»

Ленинского района

города Саратов

Руководитель: Прохорова Светлана

Александровна

Саратов 2019.

Содержание

Введение………………………………………………………… 1-2

ГЛАВА 1.

1.1.Немного истории................................................................. .... 3

1.2. Способы решения задач на переливание..........................  3-4

1.3. Метод рассуждений............................................................... 4-5

1.4. Метод таблиц........................................................................... 5

1.5. Метод бильярда .................................................................... 5-7

ГЛАВА 2.

2.1. Типы задач на переливание, алгоритм их решения............7-9

2.2.Примеры задач на переливание, где участвуют два сосуда,

воду наливают из водопроводного крана (реки), лишнюю

воду выливают.............................................................................9- 11

2.3. Примеры задач, в которых три сосуда и воду выливать

нельзя..........................................................................................11-13

Заключение................................................................................. 14

Список используемой литературы ........................................... 15

Введение

        Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела «Дележи», причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда  в сосуд. Для участия в научно-практической конференции я достаточно быстро определился с выбором темы. Мне всегда было интересно, какими методами пользуются при решении таких задач .

Актуальность данного учебного проекта состоит в том, что результат исследования применения разных методов решения задач на переливания поможет обстоятельно ответить на вопрос, какой способ самый универсальный и простой, какой применим на практике, в жизни, на уроках математики, при решении олимпиадных задач 5-6 классов.

Объект исследования – логические задачи на переливания.

Предмет исследования – методы решения задач на переливания.

Цель исследования: исследовать разные способы решения задач на переливания и определить универсальность одного из них.

Для достижения поставленной цели исследования необходимо было решить следующие задачи:

1. Дать определение задач на переливание.
2. Исследовать, применяют ли школьники различные решения задач на переливание.
3. Выяснить, какие методы решения логических задач на переливание существуют.
4. Сделать выводы.

   На основе анализа научно-методической литературы по проблеме исследования выявить все методы решения задач на переливания;

Использовать все способы для решения задач такого рода;

Провести анализ способов и доказать универсальность одного из способов решения задач на переливания;

  Для того чтобы узнать, знают ли современные школьники методы решения задач на переливание было проведено анкетирование учащихся 6 классов нашей школы.

1) Умеешь ли ты быстро решать задачи на переливания?

а) да (девочки- 79%, мальчики 75%)

б)нет (девочки- 20%, мальчики 20%)

в) частично(девочки- 1%, мальчики 5%)

2) Пользуешься ли системами для легкого решения задачи на переливание?

а) да (девочки- 60%, мальчики 20%)

б)нет (девочки- 20%, мальчики 75%)

в)иногда (девочки- 20%, мальчики 5%)

3) Сложно ли тебе решать задачи на переливание?

-1-

а) да (девочки- 75%, мальчики 50%)

б)нет (девочки- 5%, мальчики 20%)

в) затрудняюсь ответить (девочки- 20%, мальчики 30%)

4) Ты хотел бы узнать систему, для легкого решения задачи?

а) да (девочки- 100%, мальчики 50%)

б)нет (девочки- 0%, мальчики 50%)

Этот опрос показал, что современные школьники не знают способы решения задач на переливание, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

 Задачи на переливание относят к логическим задачам, решение которых не только очень увлекательный, но и полезный способ времяпрепровождения, как для школьников, так и для взрослых.

-2-

ГЛАВА 1.

1.1.Немного истории

Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней. В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: «Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

Одной из самых известных задач подобного рода является задача Симеона Дени Пуассона (1781 – 1840), знаменитого французского математика и физика. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, и определил выбор своей будущей профессии – математик.

1.2. Способы решения задач на переливание.

Задачи на переливание — один из видов старинных задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях.

 Суть решения этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний.

-3-

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

все сосуды без делений;

нельзя переливать жидкости "на глаз";

невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

знаем, что сосуд пуст;

знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость;

в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились;

в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них;

в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

1.3. Метод рассуждений.

Чаще всего используются метод рассуждений решения т. е. описание последовательности действий. Этот способ является самым примитивным, с помощью которого решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Старинная занимательная задача.

Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое должны разделить квас поровну. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой – 3 ведра кваса. Спрашивается, как они могут разделить квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Решение.

Переливаем из 8-ведерного бочонка 5 ведер кваса в 5-ведерный.

Переливаем из 5-ведерного бочонка 3 ведра в 3-ведерный бочонок. 

Переливаем их теперь в 8-ведерный бочонок. Итак, теперь 3-ведерный бочонок пуст, в 8-ведерном находится 6 ведер кваса, а в 5-ведерном находится 2 ведра кваса. Переливаем 2 ведра кваса из 5-ведерного бочонка в 3-ведерный, а потом наливаем 5 ведер из 8-ведерного бочонка в 5-ведерный бочонок. Теперь в 8-веденом 1 ведро кваса, в 5-ведерном - 5, а в 3-ведерном - 2 ведра кваса. 
Доливаем дополна 3-ведерный бочонок из 5-ведерного и переливаем эти 3 ведра в 8-ведерный бочонок.

-4-

В 8-ведерном бочонке стало 4 ведра, так же, как и в 5-ведерном бочонке. Задача решена.

   1.4. Метод таблиц.

Метод таблиц - основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Рассмотрим решение выше указанной задачи способом таблиц. Возможно два решения.

2 решение
	Бочонки
	8 в.	5 в.	3 в.
До переливания	8	0	0
После 1-го переливания	5	0	3
После 2-го переливания	5	3	0
После 3-го переливания	2	3	3
После 4-го переливания	2	5	1
После 5-го переливания	7	0	1
После 6-го переливания	7	1	0
После 7-го переливания	4	1	3
После 8-го переливания	4	4	0

1 решение
	Бочонки
	8 в.	5 в.	3 в.
До переливания	8	0	0
После 1-го переливания	3	5	0
После 2-го переливания	3	2	3
После 3-го переливания	6	2	0
После 4-го переливания	6	0	2
После 5-го переливания	1	5	2
После 6-го переливания	1	4	3
После 7-го переливания	4	4	0

Преимущества этого метода – наглядность, возможность контролировать процесс рассуждения.

1.5. Метод бильярда

Решать задачи на переливание с помощью «умного» шарика предложил Я.И. Перельман в книге «Занимательная геометрия». Для каждого случая предлагалось строить биль­ярдный стол особой конструкции из

-5-

равносторонних треугольников, длины двух сторон которого численно равны объему двух меньших сосудов. Далее, из острого угла этого стола вдоль одной из сторон нужно «запустить» шарик, который по закону «угол падения равен углу отражения» будет сталкиваться с бортами стола, показывая тем самым последовательность переливаний. На бортах стола нанесена шкала, цена деления которой соответствует выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке (тогда задача имеет решение), либо не ударяется (тогда считается, что задача решения не имеет).

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Старинная занимательная задача.

Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое должны разделить квас поровну. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой – 3 ведра кваса. Спрашивается, как они могут разделить квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь стороны 3 единицы и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество кваса в ведрах в 5-ведерном бочонке, а по вертикали – в 3-ведерном бочонке.

Пусть шар находится в точке О и после удара попадает в точку Это означает, что 5-ведерный бочонок наполнен до краев, а 3-ведерный пуст. Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 3 по вертикали. Это означает, что в 5-ведерном бочонке осталось всего 2 ведра кваса, а ведра из него перелили в меньший бочонок. Отразившись упруго от верхнего борта, шар покатится вниз и влево и ударится о нижний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 0 по вертикали.

-6-

Это означает, что в 5-ведерном бочонке осталось 2 ведра кваса, а из 3-ведерного сосуда перелили квас в 8-ведерный бочонок. Отразившись упруго от нижнего борта, шар покатится вверх и влево и ударится о левый борт в точке с координатами 0 по горизонтали и 2 по вертикали. Это означает, из 5-ведерного бочонка вылили 2 ведра кваса в 3-ведерный бочонок. Отразившись упруго от левого борта, шар покатится вправо и ударится о правый борт в точке с координатами 5 по горизонтали и 2 по вертикали. Это означает, в 5-ведерный бочонок налили 5 ведер кваса, а в 3-ведерном бочонке осталось 2 ведра. Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 3 по вертикали. Это означает, из 5-ведерного бочонка вылили 1 ведро кваса в 3-ведерный бочонок, где стало 3 ведра, а в 5-ведерном осталось 4 ведра. Отразившись упруго от верхнего борта, шар покатится вниз и влево и ударится о нижний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в 5-ведерном бочонке осталось 2 ведра кваса, а из 3-ведерного бочонка перелили квас в 8-ведерный бочонок. Задача решена с помощью 7 переливаний. Одновременно с этим заполняем таблицу:

№ переливаний	0	1	2	3	4	5	6	7
8 л	8	3	3	6	6	1	1	4
5 л	0	5	2	2	0	5	4	0
3 л	0	0	3	0	2	2	3	4

Посмотрим, как будет вести себя наш бильярдный шарик, если сначала наполнить 3-ведерный бочонок квасом.

№	8	5	3
0	8	0	0
1	5	0	3
2	5	3	0
3	2	3	3
4	2	5	1
5	7	0	1
6	7	1	0
7	4	1	3
8	4	4	0

Наглядно видно, что данная задача решена в результате 8 переливаний.

ГЛАВА 2.

2.1. Типы задач на переливание, алгоритм их решения

-7-

        Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

«Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

«Переливашка» - задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.

Первый тип задач кажется полегче, второй - сложнее.

В задачах на переливание разрешены следующие операции:

заполнение жидкостью одного сосуда до краев;

переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

   

        При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;

разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;

разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

 

       Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

а) начать переливания с большего сосуда;

б) начать переливания с меньшего сосуда.

  

        Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм:

Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.

Перелить из большей емкости в меньшую емкость.

Вылить жидкость из меньшей емкости.

Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

  

При решении задач второго типа («Переливашка») можно использовать следующий алгоритм:

-8-

1. Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.
2. Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.
3. Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.
5. Если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

2.2.Примеры задач на переливание, где участвуют два сосуда, воду наливают из водопроводного крана (реки), лишнюю воду выливают

1. Как, имея два ведра: емкостью 5 и 9 литров, набрать из реки ровно 3 литра воды?

Решение:

1шаг - набираем 9л и переливаем в 5литровую, остается 4л 
2шаг - 5литровую выливаем и переливаем туда эти 4л 
3 шаг - теперь снова набираем 9л и доливаем из нее в 5литровую, тогда останется 8л 
4 шаг - 5литровую выливаем и отливаем 5л от 8л, останется 3л

Задача решена. В 9-литровом сосуде получили ровно 3л.

2. Как с помощью 2-литровой и 5-литровой банок отмерить ровно 1 литр? 

Решение: Задача решена. В 5-литровом сосуде получили ровно 1л.

3. Есть два кувшина емкостью 5 л и 9 л. Нужно набрать из источника 7 л воды, если можно пользоваться только кувшинами.

а)Решим задачу, наполнив первым действием 5-литровый кувшин. 


б)Решим задачу иначе. Наполним первым действием 9-литровый кувшин.

-9-

Задача решена. В 9-литровом кувшине получили ровно 7л.

4. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана? 

Решение :

Задача решена. В 5-литровом сосуде получили ровно 1л.

5. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

 Решение :

Задача решена. Во фляге получили ровно 4л.

6. Имеются два сосуда вместимостью 3л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

 Решение :

3л	0	3	0	2	2	3
5л	5	2	2	0	5	4

  Задача решена. В 5-литровом сосуде останется ровно 4л.

7. Имеются два сосуда вместимостью 8л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7л воды?

8л	0	5	5	8	0	2	2	7
5 л	5	0	5	2	2	0	5	0

 Решение :

   Задача решена. В 8-литровом сосуде получили ровно 7л.

8. Как, имея два ведра емкостью 4л и 9л, налить из водопроводного крана 6л воды?

9л	9	5	5	1	1	0	9	6
4л	0	4	0	4	0	1	1	4

 Решение :

-10-

   Задача решена. В 9-литровом ведре останется ровно 6л.

9. Как, имея лишь два сосуда вместимостью 5л и 7л, налить из водопроводного крана 6л воды?

7л	7	2	2	0	7	4	4	0	7	6
5л	0	5	0	2	2	5	0	4	6	5

   Решение :

Задача решена. В 7-литровом сосуде останется ровно 6л.

10. Имеются два сосуда вместимостью 17л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13л воды?

 Решение :

17 л	0	5	5	10	10	15	15	17	0	3	3	8	8	13
5 л	5	0	5	0	5	0	5	3	3	0	5	0	5	0

Задача решена. В 17-литровом сосуде останется ровно 13л.

2.3. Примеры задач, в которых три сосуда и воду выливать нельзя

      Воду берут не из водопроводного крана. В таких задачах вода уже есть в каком-то сосуде, например, в самом большом. А маленькими ёмкостями мы будем переливать воду. Выливать воду нельзя. Если необходимо освободить сосуд, то лишнюю воду выливают в другой сосуд. Обычно больший сосуд – это хранилище, откуда берут воду и в него сливают лишнюю. Таблица может быть составлена на три сосуда, а можно обойтись и таблицей на два сосуда. 

  

1. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать? 

Запись решения отражает только два сосуда. В решении покажем только два бидона 5л и 3 л. Выливать молоко будем обратно в 10-литровый бидон. 

1 действие. Из 10-литрового бидона нальем 3-литвовый бидон.

7 л	0	3	3	6	6	7	0	2	2	5
3 л	3	0	3	0	3	2	2	0	3	0

-11-

Запись решения отражает все три сосуда. В решении покажем как изменялось количество молока во всех трех бидонах. Т.е. добавляем еще строку выше для 10-литрового бидона, чтобы следить за количеством молока в нем. Это не сложно: надо следить за тем, чтобы общее количество молока все время было 10 литров. 

1 действие. Из 10-литрового бидона нальем 3-литвовый бидон.

10 л	7	7	4	4	1	1	8	8	5	5
7 л	0	3	3	6	6	7	0	2	2	5
3 л	3	0	3	0	3	2	2	0	3	0

 

Второй способ решения этой задачи. Можно начать с заполнения 7-литрового бидона. Решение получилось короче на два переливания.

10 л	3	3	6	6	9	9	2	2
7 л	7	4	4	1	1	0	7	5
3 л	0	3	0	3	0	1	1	3

2. Двое должны разделить поровну 8 вёдер кваса, находящегося в большом бочонке. Но у них есть ещё только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Решение: 

Разделить квас пополам, т.е. надо получить 4 ведра. Начнем с заполнения 3-ведерного бочонка. Из 8-ведерного будем наполнять бочонки и сливать туда квас, когда нам надо будет освободить сосуд.

 

8 - вед	5	5	2	2	7	7	4	4
5 - вед	0	3	3	5	0	1	1	4
3х- вед	3	0	3	1	1	0	3	0

Задача решена. В 5-ведерном бочонке получилось 4 ведра кваса.

Еще 4 ведра в 8-ведерном бочонке. 
3. В первый сосуд входит 8 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 3л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л?

Решение: 

8 л	8	3	3	5	5	2	2
5 л	0	5	2	0	3	3	5
3 л	0	0	3	3	0	3	1

-12-

Задача решена.В 3-литровом сосуде получился 1 л воды.

4. В первый сосуд входит 12 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 8л. Как разделить воду на две равные части?

Решение:

12 л	12	4	4	9	9	1	1	6
8 л	0	8	3	3	0	8	6	6
5 л	0	0	5	0	3	3	5	0

-13-

Заключение.

В  век новых информационных технологий мы много времени тратим на бессмысленные игры на компьютере. А не лучше ли заняться решением разного типа логических задач, решения которых не требуют сложных математических вычислений?

Ведь задачи на логику развивают в человеке догадливость, сообразительность и интеллект. А мышление – высшая ступень познания человеком действительности. 
     Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. К классу логических задач относятся и задачи на переливания. Задачи на переливание - это не привычные всем со школы математические задачи.

      В данной работе рассматриваются виды задач на переливание, алгоритмы их решения, приводится решение некоторых из них.

    Таким образом, я в своей работе рассмотрел три способа решения задач на переливание.

    Но нельзя сказать однозначно какой способ лучше. Считаю, что владеть всеми способами решения какой-либо задачи лучше, чем одним, т.к. есть выбор. А право выбора остаётся за каждым конкретным человеком.

    Рассматриваемые задачи традиционно встречаются на олимпиадах по математике различного уровня, и, несомненно, данная работа будет отличным материалом для желающих научиться решать данный тип задач.

-14-

Список использованной литературы:

1. Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин . Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988
2. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1994
3. В.Н.Русанов. Математические олимпиады младших школьников М.:Просвещение, 1990
4. Е.П.Коляда. Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся //Информатика и образование. 1996. N1.
5. И.Ф.Шарыгин. Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991

-15-