In der Quantenfeldtheorie stellen wir die Masse m0m_0 als die Masse dar, die das Teilchen im Grenzfall λ→0\lambda \to 0 hätte – eine unmessbare Größe. Auf der anderen Seite ist mm die Inertialmasse eines isolierten Teilchens, die prinzipiell messbar ist und durch die Position des Pols in der Fourier-Transformation der Zwei-Punkt-Funktion (siehe Gleichung 8.39) bestimmt werden kann. Der folgende Abschnitt zeigt, wie wir aus den Feynman-Diagrammen, die in Bezug auf die nackte Masse formuliert sind, die Zwei-Punkt-Funktion in Bezug auf die physikalische Masse rekonstruieren können – dies ist das einfachste Beispiel für die Renormalisation in der Quantenfeldtheorie.

Die relevanten verbundenen Feynman-Diagramme sind in Abbildung 8.9 gezeigt. Wir beginnen mit der Fourier-Transformation der Funktion G(x1,x2)G(x_1, x_2), die in der Form

G(p1,p2)=∫d4x1d4x2e−i(p1x1)ei(p2x2)G(x1,x2)G(p_1, p_2) = \int d^4x_1 d^4x_2 e^{ -i(p_1 x_1)} e^{i(p_2 x_2)} G(x_1, x_2)

geschrieben wird. Dabei beschränken wir uns zunächst auf die ersten Terme in λ\lambda, wie in den Diagrammen (a) und (b) der Abbildung 8.9 dargestellt. Gemäß den Gleichungen (19.31) und (8.24) können wir sofort schreiben:

G(p1,p2)=(2π)4δ(4)(p1−p2)G~(a+b)(p1)G(p_1, p_2) = (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_1 - p_2) \tilde{G}(a+b)(p_1)

wobei die Funktion G~(a+b)(p)\tilde{G}(a+b)(p) auf der Form

G~(a+b)(p)=iλC1p2−m02+O(λ2)\tilde{G}(a+b)(p) = \frac{i\lambda C_1}{p^2 - m_0^2} + O(\lambda^2)

beruht. Hier erscheint die nackte Masse m0m_0. Es fällt auf, dass der Propagator einen doppelten Pol bei m0m_0 aufweist.

Nun führen wir die renormalisierte Masse mm ein, indem wir m02=m2+δm2m_0^2 = m^2 + \delta m^2 setzen. Die Größe δm2\delta m^2 hängt von λ\lambda ab, insbesondere gilt δm2=O(λ)\delta m^2 = O(\lambda), weil m2→m02m^2 \to m_0^2 für λ→0\lambda \to 0. Durch die Verwendung der Relation

1A+ϵ=−1ϵ+1A+…\frac{1}{A + \epsilon} = -\frac{1}{\epsilon} + \frac{1}{A} + \dots

können wir den ersten Term in (8.43) bis zur ersten Ordnung in δm2\delta m^2 expandieren. Dadurch erhalten wir:

G~(a+b)(p)=ip2−m2+δm2(p2−m2)2+O(λ2).\tilde{G}(a+b)(p) = \frac{i}{p^2 - m^2} + \frac{\delta m^2}{(p^2 - m^2)^2} + O(\lambda^2).

Wenn wir uns auf den ersten Term in λ\lambda beschränken und Terme höherer Ordnung in λ\lambda vernachlässigen, können wir m02m_0^2 mit m2m^2 im zweiten Term von (8.43) identifizieren. Insgesamt erhalten wir

G~(a+b)(p)=ip2−m2+δm2−λC1(p2−m2)2+O(λ2).\tilde{G}(a+b)(p) = \frac{i}{p^2 - m^2} + \frac{\delta m^2 - \lambda C_1}{(p^2 - m^2)^2} + O(\lambda^2).

Laut der KL-Darstellung muss die Green's Funktion einen einfachen Pol bei p2=m2p^2 = m^2 haben, wobei mm die physikalische Masse darstellt. Dies fixiert δm2=λC1+O(λ2)\delta m^2 = \lambda C_1 + O(\lambda^2). Bis zu dieser Ordnung erhalten wir dann die Gleichung (8.39) mit Z=1Z = 1 und σ(M2)=0\sigma(M^2) = 0.

Der Schritt zur Bestimmung des Propagators bis zur zweiten Ordnung ist relativ einfach. Die Diagramme in Abbildung 8.9 (c), (d) und (e) entsprechen den Termen

G~c=iC1λp2−m02,G~d=iλ2C2(p2−m02)2,G~e=iλ2F(p2)(p2−m02)2.\tilde{G}_c = \frac{i C_1 \lambda}{p^2 - m_0^2}, \quad \tilde{G}_d = \frac{i \lambda^2 C_2}{(p^2 - m_0^2)^2}, \quad \tilde{G}_e = \frac{i \lambda^2 F(p^2)}{(p^2 - m_0^2)^2}.

In diesen Termen, die bereits von zweiter Ordnung sind, können wir m0m_0 mit mm identifizieren. Die explizite Berechnung von G~e\tilde{G}_e ist jedoch schwieriger und wurde hier noch nicht durchgeführt. Es reicht aus zu wissen, dass die Amplitude, die dem Loop in Diagramm (e) entspricht, als iλ2F(p2)i \lambda^2 F(p^2) geschrieben werden kann, wobei F(p2)F(p^2) eine nicht-triviale Funktion von p2p^2 ist, die bei p2=m2p^2 = m^2 regulär ist. Wir können die Funktion F(p2)F(p^2) folgendermaßen darstellen:

F(p2)=F(m2)+(p2−m2)F′(m2)+(p2−m2)R(p2),F(p^2) = F(m^2) + (p^2 - m^2) F'(m^2) + (p^2 - m^2) R(p^2),

wobei R(p2)R(p^2) eine reguläre Funktion ist, die für p2=m2p^2 = m^2 verschwindet. Wir müssen nun den ersten Term in (8.43) bis zur zweiten Ordnung in ( \delta m^2 \ und den zweiten Term bis zur ersten Ordnung erweitern.

Indem wir alle Terme zusammenführen, erhalten wir schließlich das Ergebnis

G~(p2)=ip2−m2+δm2−λC1−λ2F(m2)(p2−m2)2+O(λ3).\tilde{G}(p^2) = \frac{i}{p^2 - m^2} + \frac{\delta m^2 - \lambda C_1 - \lambda^2 F(m^2)}{(p^2 - m^2)^2} + O(\lambda^3).

Die Green's Funktion ist nun eine Darstellung, die aus einem Polterm und einem regulären Term in p2−m2p^2 - m^2 besteht, da R(m2)=0R(m^2) = 0. Das Ergebnis hat die Form, die in (8.39) angegeben ist, wenn wir die Beziehung −∫λ2R(p2)- \int \lambda^2 R(p^2) identifizieren.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Green's Funktion bei höherer Ordnung auch eine spezielle Struktur entwickelt. Es gibt einen Zweig-Schnitt auf der positiven realen p2p^2-Achse, der bei p2=(3m)2p^2 = (3m)^2 beginnt und bis zu +∞+\infty reicht. Diese Eigenschaft wird durch die Cauchy-Darstellung einer analytischen Funktion beschrieben, wobei die Diskontinuität durch die Spektralfunktion σ(M2)\sigma(M^2) gegeben ist.

Endtext

Anwendungen der Quanten Elektrodynamik (QED): Streuung und Bremsstrahlung

Die Quanten Elektrodynamik (QED) liefert die Grundlage für die Beschreibung der Wechselwirkungen von Elektronen und Photonen und hat sich als äußerst erfolgreich in der Erklärung vieler experimenteller Phänomene erwiesen. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Streuung von Elektronen in einem externen Feld, der Emission von Bremsstrahlung und den damit verbundenen Problemen der Infrarot-Divergenzen sowie der Berechnung von Korrekturen der Energieniveaus von Atom-Elektronen. Diese Konzepte sind nicht nur in theoretischer Hinsicht von Interesse, sondern bestätigen auch die Gültigkeit von QED und der damit verbundenen Quantentheorie von Feldern.

Streuung in einem externen Feld ist eine ideale Darstellung des Streuungsvorgangs eines Elektrons bei einer Kollision mit einem massiven Ziel, typischerweise einem schweren Atomkern. Der Kern kann als ein klassisches elektrisches Feld betrachtet werden, das an einem festen Punkt im Raum lokalisiert ist. Ein ruhender Kern mit der Ladung ZeZe an der Position x=0x=0 kann durch einen klassischen Strom jμ(x)j^\mu(x) beschrieben werden, wobei die Dichte des Stroms ρ(x)\rho(x) gleich der Ladung des Kerns ZeZe ist. Dies ist eine Näherung, bei der die Quantenbeschreibung des Stroms vermieden wird, was uns ermöglicht, das elektromagnetische Feld des Kerns als externes, nicht quantenmechanisches Feld zu behandeln.

Die Wechselwirkung des Elektrons mit diesem klassischen Strom erfolgt über das Lagrange-Formular der elektromagnetischen Wechselwirkung, das sich wie folgt darstellt:

L1=e0(ψˉγμψ)Aμ−jμAμ+δm(ψˉψ)L_1 = e_0 (\bar{\psi} \gamma^\mu \psi) A_\mu - j^\mu A_\mu + \delta m (\bar{\psi} \psi)

Durch diese Erweiterung wird die Wirkung des Photon-Feldes modifiziert, sodass der Term für die Wechselwirkung mit dem externen Strom eingeführt wird. Um den Effekt dieses Stroms zu beschreiben, reicht es aus, die bekannten Feynman-Diagramme zu verwenden, wobei der externe Strom als Quelle für die Wechselwirkung dient. Diese Methode wird oft verwendet, um Phänomene wie die Emission von elektromagnetischen Wellen durch eine Funkantenne oder Synchrotronstrahlung zu modellieren, die durch Elektronen erzeugt werden, die in einem Speicher-Ring zirkulieren.

Im Rahmen der Feynman-Diagramme erfolgt die Berechnung der Wechselwirkung zwischen dem Elektron und dem externen Strom, wobei die neue Term im Lagrangian die Diagramme verändert und zusätzliche Schritte zur Berechnung der Quantenfelder erforderlich macht. Ein klassisches Beispiel für den Fall einer punktuellen Ladung ist das Feynman-Diagramm, das die Wechselwirkung des Elektrons mit einem externen Feld veranschaulicht, wobei die Momente der Elektronen als Eingangs- und Ausgangsgrößen angegeben sind.

Die Berechnung der Streuamplitude in diesem Kontext erfolgt unter der Annahme, dass die externen Felder als klassische Felder behandelt werden, wobei das resultierende S-Matrix-Element für die Streuung durch den externen Strom vollständig bestimmt ist. Dies führt zu einer Formulierung, bei der der Wechselwirkungsterm des externen Feldes die Berechnung der Streuung vereinfacht und die Konsistenz mit den experimentellen Ergebnissen gewährleistet.

Bremsstrahlung und Infrarot-Divergenz

Im Rahmen der QED ist es von grundlegender Bedeutung, dass die Streuung geladener Teilchen in der Regel mit der Emission von Photonen verbunden ist, was zu einem Prozess führt, der als Bremsstrahlung bekannt ist. Bremsstrahlung tritt auf, wenn ein beschleunigtes Elektron ein Photon emittiert, und ist ein Beispiel für die Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen und dem elektromagnetischen Feld. Dies wird durch Feynman-Diagramme illustriert, die die Emission von Photonstrahlung durch das Elektron darstellen.

Ein zentrales Problem, das bei der Untersuchung von Bremsstrahlung auftritt, ist die sogenannte Infrarot-Divergenz. Diese Divergenzen treten auf, wenn die Energie des emittierten Photons gegen null geht, was bedeutet, dass das Photon eine sehr geringe Energie hat. In solchen Fällen müssen spezielle mathematische Techniken angewendet werden, um diese Divergenzen zu behandeln. Ein gängiger Ansatz zur Handhabung von Infrarot-Divergenzen besteht darin, diese Divergenzen durch geeignete Regularisierungs- und Renormalisierungstechniken zu eliminieren.

Die Behandlung der Bremsstrahlung und der Infrarot-Divergenzen ist entscheidend, um die korrekten Korrekturen für die Elektronen-Energielevels und andere relevante Phänomene zu berechnen. Darüber hinaus spielt die Berücksichtigung dieser Effekte eine wichtige Rolle bei der Verfeinerung der Berechnungen der experimentellen Ergebnisse in der QED.

Zusätzliche Überlegungen für den Leser

Es ist entscheidend zu verstehen, dass die Anwendung der QED nicht nur eine theoretische Konstruktion ist, sondern eine präzise Methode zur Beschreibung von experimentellen Phänomenen darstellt. Die Übereinstimmung der berechneten Werte mit den experimentellen Ergebnissen hat das Vertrauen in die QED und die damit verbundene Quantenfeldtheorie gefestigt. Wenn man tiefer in die Thematik eindringt, wird deutlich, wie wichtig die Berücksichtigung von Korrekturen erster Ordnung, wie die Bremsstrahlung und die renormierten Energieniveaus, für die Genauigkeit der Modelle ist. Es ist auch wichtig, die Limitationen der klassischen Annahmen zu verstehen, die in vielen Anwendungen der QED verwendet werden, und wie diese Annahmen auf die Realität angepasst werden müssen, um zu korrekten Ergebnissen zu führen.

Wie der Landau-Gauge die Divergenz in Feynman-Diagrammen beeinflusst

Die Untersuchung der Renormalisierung in Quantenfeldtheorien, insbesondere die Rolle von Feynman-Diagrammen, führt uns oft auf die Bedeutung des Landau-Gauges und die daraus resultierenden Konsequenzen für die Divergenzen und die Berechnung der Beta-Funktion. In dieser Analyse betrachten wir speziell die Wechselwirkungen von Skalar- und Vektorfeldern, wobei ein Fokus auf die unterschiedliche Divergenzbehandlung gelegt wird, wenn der äußere Impuls qq gegen null geht.

Im Fall von Feynman-Diagrammen, die in der Landau-Gauge betrachtet werden, verschwindet der Beitrag des Skalar-Vektor-Versatzes in Diagrammen, bei denen die Schleifen-Momentum-Kontribution mit der Vektorfeldpropagator multipliziert wird. Dies führt dazu, dass die Divergenzordnung des Diagramms um eine Einheit reduziert wird. Dies ist besonders relevant, wenn man Diagramme wie (a) bis (i) in Abbildung F.1 betrachtet. Beispielsweise haben Diagramme (b) und (f) Divergenzen der Ordnung D=2D = 2, tragen jedoch nur einen konstanten Beitrag, der unabhängig vom äußeren Impuls ist. Daher sind diese nur für die Massenerniederung der Skalarfelder von Bedeutung und können im weiteren Verlauf vernachlässigt werden.

Diagramm (d) stellt einen wichtigen Fall dar, da es mit der Vakuumpolarisation in der Quanten-Elektrodynamik (QED) vergleichbar ist. Der Beitrag mit D=2D = 2 ist nicht null, hat jedoch keinen Einfluss auf die renormierte Masse, sondern beeinflusst die Beta-Funktion, ähnlich wie die Wellenfunktionsrenormierung in QED und QCD. Die Ableitung nach dem äußeren Impuls q2q^2 führt zu einem Beitrag mit D=0D = 0, der die Beta-Funktion modifiziert. Das Diagramm (g) hat im Allgemeinen ebenfalls D=2D = 2, zeigt jedoch im Landau-Gauge eine Divergenzordnung von D=0D = 0, was es zur Wellenfunktionsrenormierung beiträgt, ähnlich wie das zuvor genannte Diagramm (d).

Diagramme (c), (e) und (h) hingegen zeigen eine Divergenzordnung von D=0D = 0, wobei der logarithmisch divergente Beitrag in Bezug auf eine äußere Impuls-Skala μ2\mu^2 berechnet wird. Solche divergenten Beiträge sind nur logarithmischer Natur und werden durch den Ausdruck ln⁡(Λ2/μ2)\ln(\Lambda^2/\mu^2) dargestellt, wobei Λ\Lambda eine Trennungsskala darstellt. Die logarithmischen Divergenzen beeinflussen direkt die Beta-Funktion und führen zu einer Änderung in den Kopplungskonstanten.

Ein zentraler Punkt bei der Berechnung der Beta-Funktion ist die Berücksichtigung der verschiedenen Diagramme und ihrer Beiträge zur renormierten Kopplung λ\lambda. Zum Beispiel wird der Beitrag von Diagramm (c) berechnet, indem der entsprechende kombinatorische Faktor FCFC berücksichtigt wird. Dieser Faktor repräsentiert die Anzahl der Möglichkeiten, wie externe Linien mit den Vertices verbunden werden können. Ähnliche Überlegungen gelten für Diagramme (e) und (h), bei denen jeweils spezielle Faktoren und über Kreuz diagrammatische Wechselwirkungen einfließen.

Diagramme wie (d) und (g) führen zu einer Änderung der renormierten Kopplung, die mit einem Faktor von 16π216\pi^2 multipliziert wird. In solchen Diagrammen ist es wichtig, die Wechselwirkung zwischen den verschiedenen Feynman-Diagrammen und deren kombinatorische Faktoren genau zu berücksichtigen. Ein weiterer Schritt in der Berechnung besteht darin, diese Beiträge in die Beta-Funktion einzuführen und so die evolutionären Änderungen der Kopplungskonstanten zu analysieren. Die resultierende Beta-Funktion hängt dabei nicht nur von den Kopplungen der verschiedenen Felder, sondern auch von den spezifischen Eigenschaften der verwendeten Gauges ab.

Die Theorie der Beta-Funktion in Feynman-Diagrammen geht weiter, indem auch die Beiträge von Diagrammen wie (h) und (g) berücksichtigt werden, wobei spezielle Wechselwirkungen der W-Bosonen und anderer Vektorfelder analysiert werden. Die Berechnungen zeigen, dass solche Diagramme in der Landau-Gauge keine Renormierung der Wellenfunktion führen, was ein interessanter Unterschied zur QED ist. Die Anwendung der Landau-Gauge sorgt dafür, dass die entsprechenden Beiträge in den Diagrammen minimal sind und keine zusätzlichen Divergenzen erzeugen.

Neben der spezifischen Berechnung der Beta-Funktion ist es ebenso wichtig, die Rolle der externen Zustände zu verstehen, die in diesen Diagrammen verwendet werden. Wenn man ausschließlich mit Zuständen vom Typ ϕ0\phi_0 arbeitet, müssen die Potenziale, wie sie in Gleichung (F.3) explizit dargestellt sind, auf korrekte Weise berücksichtigt werden. Für Diagramme der ersten Ordnung wird nur der Beitrag V00V00 berücksichtigt, wobei der kombinatorische Faktor wieder entscheidend für die genaue Berechnung ist. Höhere Ordnungskorrekturen, wie sie in Diagramm (c) auftreten, beinhalten jedoch zusätzliche Wechselwirkungen und erfordern eine präzise Berechnung der Integrale und der Feynman-Diagramm-Faktoren.

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Bestimmung der korrekten Feynman-Diagramme unter Berücksichtigung der Wechselwirkungen und der genauen Position der Vertices. Diagramme, die in komplexeren Zusammenhängen mit anderen Diagrammen kombiniert werden, müssen sorgfältig analysiert werden, da sie zur Veränderung der effektiven Kopplungskonstanten und der Beta-Funktion beitragen. Die resultierenden Beiträge zu den Kopplungskonstanten sind nicht nur funktional, sondern hängen von den spezifischen Merkmalen der Theorie und den verwendeten Feldtheorien ab.

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