Kann die beschleunigte Expansion des Universums durch inhomogene Materieverteilungen erklärt werden?

Die beschleunigte Expansion des Universums, die ursprünglich aus Beobachtungen von Typ-Ia-Supernovae abgeleitet wurde, ist ein Phänomen, das auf der Annahme beruht, dass alle Supernovae denselben absoluten Helligkeitswert im Maximum aufweisen. Diese Annahme führt zu der Beobachtung, dass die Helligkeiten der Supernovae nicht mit den Vorhersagen des Friedmann-Modells für den Fall Λ = 0 übereinstimmen. Andere Friedmann-Modelle liefern die beste Übereinstimmung, wenn k = 0 gesetzt wird, wobei 32 % der Energiedichte aus Materie (sowohl sichtbarer als auch dunkler Materie) und 68 % aus „dunkler Energie“ bestehen, welche die Rolle von Λ übernimmt (Planck, 2014). Diese Schlussfolgerung über die beschleunigte Expansion des Universums folgt jedoch aus der Interpretation der Beobachtungen unter der Annahme eines vorab angenommenen Friedmann-Modells und stellt daher keinen objektiv festgestellten Fakt dar.

Das L–T-Modell zeigt, dass das Verhalten der Leuchtweitendistanz DL(z) im L–T-Modell dem der ΛCDM-Modells (Lambda Cold Dark Matter) entspricht, was die Ähnlichkeit zwischen den beiden Modellen bei der Interpretation der beobachteten Daten verdeutlicht. Abbildung 18.17 zeigt den Vergleich der vergangenen Lichtkegel der beiden Modelle für denselben gegenwärtigen zentralen Beobachter und zeigt auch die entsprechenden Big-Bang-Diagramme: das konstante für das ΛCDM-Modell und das numerisch aus (18.199) berechnete tB(r)-Diagramm. Es zeigt sich, dass die tB(r)-Kurve asymptotisch dem konstanten tBF des ΛCDM-Modells näherkommt. Diese Näherung illustriert, wie das L–T-Modell die „beschleunigte Expansion“ im Rahmen einer Inhomogenität der Materieverteilung nachahmen kann.

Es ist entscheidend zu betonen, dass das Problem nicht die beschleunigte Expansion des Universums an sich ist, sondern die Messung der Entfernungen zu den Typ-Ia-Supernovae. Letzteres stellt eine legitime astronomische Aufgabe dar, während die beschleunigte Expansion keine objektiv festgestellte Tatsache ist, sondern eine modellabhängige Interpretation der Beobachtungen, die sich möglicherweise als Illusion herausstellt.

Die inhomogenen Modelle, die hier untersucht wurden, können der beschleunigten Expansion des Universums nicht vollständig entsprechen. Sie sollen jedoch eine Warnung darstellen, dass die Vorstellung von „dunkler Energie“ möglicherweise keinen realen Ursprung hat, ähnlich wie frühere, inzwischen vergessene Ideen wie der Äther oder die kontinuierliche Schöpfung von Materie in Steady-State-Modellen des Universums. Das früheste Papier, das ein inhomogenes Modell zur Nachbildung der beschleunigten Expansion des Universums verwendete, war das von Tomita (2000). In dieser Arbeit wurde eine Konfiguration untersucht, bei der ein Friedmann-Gebiet mit einer Dichte unter dem großskaligen Durchschnitt das Symmetriezentrum umgibt und in ein weiteres Friedmann-Gebiet übergeht, dessen Dichte größer als der Durchschnitt ist. Wegen dieses historischen Vorbildes bezeichnen viele Autoren heute reflexartig die L–T-Modelle, die die beschleunigte Expansion nachahmen, als „Leerraum-Modelle der Beschleunigung“. Diese Bezeichnung ist jedoch irreführend – das für die scheinbare Beschleunigung verantwortliche Element ist eine Inhomogenität in der Massendichteverteilung. Die Präsenz des zentralen Vakuums ist unnötig, wie es in einem expliziten Beispiel von Célérier et al. (2010) gezeigt wurde.

Die Interpretation der Messungen von Entfernungen zu Typ-Ia-Supernovae ist die wirkliche Herausforderung in der modernen Kosmologie. Solange diese Messungen nicht vollständig verstanden sind, bleibt die Diskussion um die „dunkle Energie“ und die beschleunigte Expansion eine modellabhängige Hypothese. Es bleibt zu klären, inwieweit die Interpretation der Beobachtungen von der gewählten theoretischen Struktur abhängt und welche alternative Modelle ebenfalls zu den gleichen Beobachtungen führen könnten.

Wie die Szekeres–Szafron-Geometrien das Verständnis von Raumzeit-Evolution und Geometrie erweitern

Die Szekeres–Szafron-Metriken gehören zu einer Klasse von Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, die spezielle Eigenschaften der Raumzeit beschreiben, besonders in Bezug auf deren Kurvatur und die Entwicklung des Universums. Diese Metriken sind von entscheidender Bedeutung, weil sie die Evolution von Raumzeiten modellieren, die weder sphärische noch andere einfache Symmetrien aufweisen, was sie zu einem nützlichen Werkzeug in der relativistischen Kosmologie macht.

Die Metriken der Szekeres–Szafron-Familie erlauben es, das Verhalten der Geometrie auf einer Zwei-Oberfläche, die durch konstante Werte von t und z gekennzeichnet ist, zu untersuchen. Dies kann durch die stereografische Projektion erfolgen, bei der die Funktionen f(ϑ) und k(z) eine entscheidende Rolle spielen. Je nachdem, wie diese Funktionen gewählt werden, kann die resultierende Fläche entweder die Struktur einer Kugel, eines Euclidean-Planes oder einer zweischaligen Hyperboloide annehmen, was die Vielfalt an möglichen geometrischen Lösungen in diesen Raumzeiten verdeutlicht. Besonders interessant ist dabei, dass diese Geometrien auch die Möglichkeit beinhalten, dass k(z) und 𝒢(z) sich im selben t=const-Slice verändern, wodurch die Geometrie nicht global konstant bleibt, sondern sich lokal verändern kann.

Darüber hinaus wird die Interpretation der stereografischen Projektion durch die Parameter ε weiter verfeinert. Die Fläche kann sphärisch (ε = +1), pseudo-sphärisch (ε = -1) oder planar (ε = 0) sein, wobei ε den grundlegenden Unterschied in der Geometrie dieser Oberflächen darstellt. Diese Differenzierung erlaubt es, den Raum in verschiedene geometrische Kategorien zu unterteilen, die sowohl für theoretische Modelle als auch für praktische Anwendungen in der relativistischen Kosmologie von Bedeutung sind.

Abgesehen von den strukturellen und geometrischen Aspekten, die hier beschrieben wurden, ist es wichtig, dass der Leser auch die Rolle der Zustandsgleichung in diesen Raumzeiten erkennt. Eine der häufig verwendeten Zustandsgleichungen, die in der kosmologischen Forschung Anwendung finden, ist die barotrope Zustandsgleichung, die den Zusammenhang zwischen Energie und Druck in einem Fluid beschreibt. Es ist von entscheidender Bedeutung, diese Gleichung zu integrieren, um die vollständige Dynamik des Systems zu verstehen und somit die Entwicklung der Raumzeit vollständig zu modellieren.

Wie beeinflussen konforme Abbildungen die Riemann-Geometrie?

Die Karte auf einem Atlas stellt nicht nur eine Projektion der Erdoberfläche dar, sondern kann auch als ein Raum betrachtet werden, auf dem zwei verschiedene metrische Strukturen existieren. Die erste ist die euklidische Metrik, die die Flächengeometrie der Karte beschreibt, und die zweite ist die „zurückgeführte Metrik“, die die Krümmung der Erde widerspiegelt. Dies bedeutet, dass ein Navigationssystem, das auf solchen Karten basiert, in gewisser Weise die Metrik einer Kugel auswertet, selbst wenn es auf einer ebenen Fläche dargestellt wird. Der Zusammenhang zwischen der geometrischen Struktur der Erde und den Karten, die wir benutzen, um diese Struktur zu interpretieren, wird durch konforme Abbildungen und verwandte Riemann-Räume deutlich.

Im Allgemeinen führt eine konforme Abbildung dazu, dass die Winkel zwischen Vektoren in beiden Räumen gleich bleiben, jedoch ändern sich die Abstände zwischen den Punkten auf eine bestimmte Weise. Dies bedeutet, dass durch konforme Abbildungen keine Verzerrung der Geometrie hinsichtlich der Winkel auftritt, aber die Maßstäbe der Abstände werden angepasst. Diese Eigenschaft ist besonders nützlich, wenn man mit sehr unterschiedlichen geometrischen Objekten arbeitet, wie etwa bei der Untersuchung von Gravitationsfeldern in der Relativitätstheorie, wo das Gravitationsfeld als eine Art Verzerrung des Raum-Zeit-Kontinuums verstanden wird.

Darüber hinaus hat jede konforme Abbildung eine wichtige Rolle in der Definition der sogenannten „konformen Krümmung“. Der Weyl-Tensor, der in der Riemann-Geometrie eine wichtige Größe darstellt, beschreibt den Teil der Krümmung, der für die Ausbreitung von Gravitationswellen verantwortlich ist. Dieser Tensor bleibt unter einer konformen Abbildung unverändert, was darauf hinweist, dass die „Wellen“ der Krümmung nicht durch die Skalierung der Metrik verändert werden. Der Weyl-Tensor wird durch den Riemann-Tensor bestimmt und enthält die Information über die „freie“ Krümmung eines Raums, die nicht durch die lokale Geometrie (also durch den Ricci-Tensor) beeinflusst wird.

Wichtig zu verstehen ist jedoch, dass der Unterschied zwischen einem „flachen“ Raum und einem „konform flachen“ Raum nicht nur mathematisch, sondern auch physikalisch relevant ist. Ein konform flacher Raum kann Krümmungen und Wellenphänomene in seiner Struktur aufweisen, die durch die Umstrukturierung der Metrik durch eine konforme Abbildung nicht verändert werden. In der Relativitätstheorie, zum Beispiel, wird die Bewegung von Gravitationswellen als Veränderung des Weyl-Tensors beschrieben, und diese Wellen sind in einem konform flachen Raum nicht direkt sichtbar.

Das Verständnis von konformen Abbildungen und dem Weyl-Tensor wird daher nicht nur in der Geometrie, sondern auch in der theoretischen Physik von großer Bedeutung. Sie bieten tiefere Einsichten in die Struktur des Universums und die Art und Weise, wie sich Raum und Zeit unter verschiedenen Bedingungen verhalten.

Wie sieht man einen Lichtstrahl in einem beschleunigten Bezugssystem und welche Konsequenzen hat dies für die Gravitationstheorie?

Dies verdeutlicht einen fundamentalen Sachverhalt: Lichtstrahlen, die im Inertialsystem geradlinig verlaufen, erscheinen in einem beschleunigten System als gekrümmt. Wenn wir nun annehmen, dass das Gravitationsfeld sich analog zu Trägheitsfeldern verhält, muss das Licht auch durch Gravitation abgelenkt werden. Daraus folgt, dass die klassische Vorstellung von Gravitation als Kraft, die Bahnen von Körpern krümmt, unzureichend ist, da die „geraden Linien“ selbst – die Lichtstrahlen – keine unveränderlichen Referenzlinien mehr darstellen.

Damit eröffnet sich ein radikaler neuer Ansatz: Anstatt von einer Gravitationskraft auszugehen, die eine Bahn krümmt, könnte man annehmen, dass die Gravitation die Geometrie des Raumes selbst modifiziert. Die scheinbar gekrümmten Bahnen der Körper wären dann Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit. Diese Sichtweise erfordert, dass die Geometrie des Raumes nicht mehr euklidisch ist. In diesem Zusammenhang wird die Differentialgeometrie zum unverzichtbaren mathematischen Werkzeug, denn sie beschreibt nicht-euklidische Geometrien und bildet damit die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Ein weiterer wichtiger Gedanke ergibt sich bei der Konstruktion paralleler Geraden auf großen Entfernungen in einem flachen Raum. Klassische geometrische Instrumente wie Lineal und Zirkel versagen über astronomische Distanzen. Stattdessen kann man die Bahn eines Lichtstrahls oder eines Projektils als Modell einer Geraden nutzen. Ein Beobachter, der am Punkt A auf einer Geraden p steht, möchte durch einen Punkt B eine parallele Gerade zu p konstruieren. Die Vorgehensweise besteht darin, zunächst die Gerade AB zu bestimmen und dann einen Winkel α zu messen, der zwischen p und AB liegt. Von B aus wird eine Gerade q konstruiert, die im gleichen Winkel α zu AB steht und in derselben Ebene liegt. Diese Konstruktion lässt sich wiederholen, indem man entlang der Strecke in kleinen Schritten parallele Geraden erzeugt, was letztlich zum Konzept des parallelen Transports führt.

Auf gekrümmten Flächen, wie der Erdoberfläche oder anderen Mannigfaltigkeiten, entspricht das Pendant zur Geraden einer Geodäte, also einer Kurve mit minimalem Abstand zwischen zwei Punkten. Die parallele Verschiebung eines Vektors auf einer gekrümmten Fläche entlang einer Geodäte ist definiert so, dass der Winkel zwischen dem Vektor und dem Tangentenvektor der Geodäte konstant bleibt. Für Kurven, die keine Geodäten sind, wird der parallele Transport durch eine Zerlegung in kleine Geodätenabschnitte approximiert.

Die Bedeutung dieses Verfahrens zeigt sich anschaulich auf einer Kugel. Ein Vektor, der parallel entlang verschiedener Pfade zwischen zwei Punkten transportiert wird, kann unterschiedliche Endrichtungen annehmen – ein Beweis dafür, dass die Parallelverschiebung von der gewählten Wegführung abhängt. Dieses Phänomen offenbart die intrinsische Krümmung der Fläche und ist zentral für das Verständnis der geometrischen Interpretation der Gravitation.

Wichtig ist, dass in dieser geometrischen Sichtweise die Gravitation nicht als Kraftfeld im herkömmlichen Sinne betrachtet wird, sondern als eine Eigenschaft der Raumzeit, die durch Massen und Energien verändert wird. Daraus folgt, dass Lichtstrahlen und Materie sich entlang von Geodäten bewegen, die von der gekrümmten Geometrie vorgegeben sind. Dieses Verständnis macht überflüssig, eine unsichtbare „Kraft“ anzunehmen, die Bewegungen erzwingt.

Es ist ebenso bedeutsam, sich klarzumachen, dass das Konzept der Parallelität auf gekrümmten Flächen wesentlich komplexer ist als im flachen Raum. Während im euklidischen Raum die Parallelverschiebung eindeutig und wegunabhängig ist, ist sie in gekrümmten Räumen immer wegabhängig. Dies führt zu Phänomenen wie der Holonomie, bei der ein Vektor nach einer Rundreise entlang einer geschlossenen Kurve verändert zurückkehrt. Solche Effekte sind nicht nur mathematische Kuriositäten, sondern haben physikalische Konsequenzen, etwa im Verhalten von Lichtstrahlen im Gravitationsfeld.

Zusätzlich zeigt sich, dass zur Beschreibung der Realität auf kosmologischer Skala eine Verallgemeinerung der klassischen Begriffe notwendig ist. Die Differentialgeometrie erlaubt die Einführung von Metriken, die lokale Längen- und Winkelaussagen auf gekrümmten Räumen präzisieren. Die Dynamik dieser Metrik – also der Geometrie der Raumzeit – wird dann durch die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben.

Die Überlegungen legen nahe, dass Raum und Zeit nicht als starre Hintergrundgrößen existieren, sondern dynamische Größen sind, die durch Energie und Masse geformt und verändert werden. Die Bewegungen von Licht und Materie sind keine Folge von Kräften im klassischen Sinne, sondern folgen aus der Geometrie der Raumzeit selbst. Daraus folgt eine fundamentale Verbindung zwischen Geometrie und Physik, die unser Weltbild grundlegend verändert.