Wie entstehen alternative Geometrien und was sagen sie über die Natur des Raumes?

Die klassische euklidische Geometrie basiert auf fünf Axiomen, wobei das Parallelenaxiom seit Jahrhunderten im Zentrum zahlreicher Debatten steht. Es besagt, dass es zu jeder Geraden l und jedem Punkt P außerhalb dieser Geraden genau eine Gerade gibt, die durch P verläuft und l nicht schneidet. Diese scheinbar offensichtliche Annahme ließ sich nicht aus den anderen Axiomen ableiten und war somit Kandidat für alternative Formulierungen.

Wird das Parallelenaxiom durch die Aussage ersetzt, dass es unendlich viele Geraden durch P gibt, die l nicht schneiden, entsteht eine konsistente Geometrie, die sogenannte hyperbolische Geometrie. In ihr divergieren parallele Linien, und die Winkelsumme eines Dreiecks ist stets kleiner als 180°. Diese Geometrie wurde unter anderem durch Modelle wie das Poincaré-Halbraummodell und die pseudosphärische Fläche formalisiert. Die hyperbolische Geometrie ist in sich widerspruchsfrei und findet Anwendung in Bereichen wie der Relativitätstheorie und der Kosmologie.

Die entgegengesetzte Modifikation, nämlich dass durch P keine Gerade existiert, die l nicht schneidet – also dass es gar keine Parallelen gibt –, führt zunächst zu einem Widerspruch mit der absoluten Geometrie, die bereits die Existenz paralleler Linien voraussetzt. Um eine konsistente Geometrie ohne Parallelen zu konstruieren, müssen andere Axiome, insbesondere das zweite Postulat Euklids, modifiziert werden. Statt zu fordern, dass eine Strecke beliebig verlängerbar sei, wird angenommen, dass Linien unbegrenzt, aber nicht unendlich fortsetzbar sind. Diese subtile, aber fundamentale Anpassung bildet die Grundlage der elliptischen Geometrie, wie sie in Riemanns Arbeiten formuliert wurde.

Ein natürliches Modell elliptischer Geometrie ist die Kugeloberfläche: Große Kreise (wie Äquator oder Meridiane) gelten als Geraden, und gegenüberliegende Punkte werden identifiziert. Die Summe der Winkel in einem Dreieck auf der Kugel übersteigt stets 180°, was deutlich macht, dass der euklidische Raum nur eine lokale Approximation der Realität darstellt – wie auf der Erdoberfläche, wo in kleinen Maßstäben die Geometrie euklidisch erscheint, global jedoch nicht.

Die Konstruktion dieser nicht-euklidischen Geometrien zeigt, dass geometrische Wahrheit nicht universal ist, sondern axiomatisch bedingt. Was innerhalb eines Axiomensystems zwingend wahr ist, kann in einem anderen System vollständig unzutreffend sein. Die Geometrie verliert dadurch ihren Status als bloße Beschreibung des physischen Raumes und wird zu einer formalen Sprache, deren Konsistenz und innere Logik wichtiger sind als ihre intuitive Plausibilität.

Im 20. Jahrhundert verschob sich das Verständnis mathematischer Beweise zusätzlich durch den Einsatz von Computern. Beweise, die aufgrund ihrer Komplexität für den Menschen unüberprüfbar sind, wurden dennoch akzeptiert, sofern sie formallogisch korrekt waren. Das bekannteste Beispiel hierfür ist der Beweis des Vierfarben-Satzes durch Appel und Haken im Jahr 1976, der zeigte, dass zur Färbung jeder Landkarte vier Farben genügen, um angrenzende Regionen verschieden zu färben. Die anfängliche Skepsis gegenüber computerbasierten Beweisen wich einer neuen Akzeptanz: Die formale Korrektheit stand über der menschlichen Nachvollziehbarkeit.

Die Entwicklung gipfelte in der computergestützten Verifikation eines der ältesten ungelösten Probleme der Mathematik: Fermats letzter Satz. Die Aussage, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen für die Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ bei n > 2 gibt, beschäftigte Mathematiker über drei Jahrh

Wie funktionieren künstliche neuronale Netzwerke und was sind ihre Anwendungsgebiete?

Neuronale Netzwerke, ein zentrales Konzept im Bereich des maschinellen Lernens, basieren auf biologischen Prozessen, die im menschlichen Gehirn zu finden sind. Sie bestehen aus verschiedenen Arten von Neuronen, die miteinander verbunden sind und Informationen durch das Netzwerk weiterleiten. In biologischen Systemen unterscheidet man drei Haupttypen von Neuronen: sensorische Neuronen, die Informationen von den Sinnesorganen zum Gehirn leiten, motorische Neuronen, die Signale vom Gehirn zu Muskeln und Drüsen senden, und Interneuronen, die als Vermittler zwischen anderen Neuronen fungieren. Diese Strukturen bilden das neurobiologische Modell des Aktionspotentials, das entsteht, wenn sich das Membranpotenzial eines Neurons kritisch verändert.

Das erste künstliche Neuron wurde 1957 von Frank Rosenblatt als Perzeptronmodell vorgestellt. Ein Perzeptron besteht aus einem einzigen künstlichen Neuron mit anpassbaren Gewichtungen und einem Schwellenwert. Die Funktionsweise des Perzeptrons lässt sich mathematisch als eine lineare Kombination der Eingabewerte, gewichtet durch bestimmte Parameter, formulieren. Trotz der Einfachheit dieser Struktur ermöglichen sie das Erlernen von intelligentem Verhalten, das für den Menschen auf den ersten Blick schwer verständlich erscheint.

Ein Perzeptron funktioniert nach der Grundformel:

o = \begin{cases} 1 & \text{wenn} \sum_{i=1}^{n} x_i w_i + b > \theta \\ 0 & \text{sonst}