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Renormierung bietet eine Lösung für das Problem der Divergenzen, die in der Berechnung von Feynman-Diagrammen auftreten, die geschlossene Schleifen enthalten. Es handelt sich jedoch um ein allgemeines Konzept, das selbst in Abwesenheit von Divergenzen relevant wird. Der Grund für die Notwendigkeit der Renormierung liegt in der Existenz von Wechselwirkungen, was bedeutet, dass die Massen, die in der Lagrange-Dichte erscheinen, nicht mit den Massen der Partikel übereinstimmen, die von den verschiedenen Feldern beschrieben werden. Auch sind die Felder selbst nicht "gut normalisiert", wie es sich durch die Präsenz der Z-Faktoren in den Beiträgen der Einzelpartikelzustände zu den relevanten Propagatoren deutlich zeigt.
In der Feldtheorie stellt das Auftreten von Divergenzen die Norm dar, doch es können zwei grundlegend unterschiedliche Situationen auftreten. Die interessanteste davon sind renormierbare Theorien, zu denen unter anderem die Quantenelektrodynamik (QED) und allgemein die Standardtheorie der fundamentalen Wechselwirkungen gehören. Auf der anderen Seite gibt es nicht-renormierbare Theorien, wie zum Beispiel die Fermi-Theorie der schwachen Wechselwirkungen. In einer renormierbaren Theorie treten Divergenzen nur auf, wenn man versucht, Beziehungen zwischen den Größen herzustellen, die in der Lagrange-Dichte erscheinen, wie etwa die Masse und die Ladung und den entsprechenden physikalischen Größen und . In solchen Theorien können die Divergenzen "unter den Teppich gekehrt" werden, indem die Ergebnisse in Bezug auf physikalisch beobachtbare Größen ausgedrückt werden.
Wenn man beispielsweise die Elektronenmasse betrachtet, so wird die Massekorrektur , die im vorherigen Kapitel eingeführt wurde, in der Störungstheorie divergent. Es ist jedoch möglich, die Störungstheorie so umzugestalten, dass der -Term genau durch ein entsprechendes Gegenstück eliminiert wird, sodass er zum Beispiel nicht in der Berechnung der S-Matrix-Elemente erscheint. Ein Beispiel für eine nicht-renormierbare Theorie ist die Fermi-Theorie der schwachen Wechselwirkungen. In einer nicht-renormierbaren Theorie treten Divergenzen in der Berechnung jeder physikalischen Größe auf, beispielsweise bei der Berechnung jedes S-Matrix-Elements. In jedem Fall erscheinen die Divergenzen in Integralen über virtuelle Partikelmomente, die bis unendlich reichen.
Hinsichtlich der Bedeutung dieser Divergenzen können zwei Hypothesen aufgestellt werden: Die erste besagt, dass diese Divergenzen ein Charakteristikum der perturbativen Methode sind, die in einem hypothetischen nicht-perturbativen Ansatz nicht auftreten würde. Die zweite Hypothese ist, dass die Theorie nur eine erste Näherung der physikalischen Realität darstellt und nicht für extrem hohe Momente gültig ist, die aufgrund des Unschärfeprinzips mit extrem kurzen Distanzen korrespondieren. Im Gegensatz dazu hängen für konvergente Integrale die Ergebnisse vom Verhalten der Integranden (und damit vom Verhalten der Theorie, auf die sich die Integrale beziehen) bei endlich hohen Momenten ab. In einer renormierbaren Theorie sollten die Ergebnisse der perturbativen Berechnung, nachdem die Divergenzen durch eine Neudefinition der Theorieparameter beseitigt wurden, nur vom Verhalten der Theorie bei endlichen Momenten (d.h. bei endlichen Distanzen) abhängen und können auch dann eine gute Näherung liefern, wenn die Theorie im unendlichen Momentum-Limit ihre Gültigkeit verliert.
Ein Beispiel für diese Vorgehensweise ist die leichte Diskrepanz zwischen dem experimentell gemessenen Wert des anomalen magnetischen Moments des Myons und der theoretischen Vorhersage, die unter Verwendung des Standardmodells berechnet wurde. Diese Diskrepanz könnte ein Hinweis auf die Existenz neuer physikalischer Phänomene im TeV-Energiebereich sein, die durch Experimente am LHC erforscht werden könnten.
Die Methode zur Beseitigung der Divergenzen durch die Neudefinition einiger Parameter der Theorie (wie Masse, elektrische Ladung usw.) stellt das dar, was als Renormierung bezeichnet wird, und ist eine Prozedur, die mit Vorsicht zu handhaben ist. Die Manipulation von mathematisch divergierenden Größen ist problematisch und sollte eindeutig vermieden werden. Eine Methode, solche problematischen Manipulationen zu umgehen, ist die Regularisierung der Theorie. Die Idee ist einfach: Wenn die Theorie ist, die von Interesse ist (z.B. QED), dann wird eine Familie von Theorien konstruiert, die von einem Parameter abhängen, sodass:
-
Im Grenzfall gilt .
-
besitzt alle "wichtigen" Eigenschaften von .
-
Für hat ( T(\eta) \ keine Divergenzen.
In diesem Fall wird als regularisierte Version von bezeichnet. In betreffen die für die Renormierung notwendigen Manipulationen nur endliche Größen, die zulässig sind. Erst nachdem die Renormierung durchgeführt wurde, wird das Limit genommen. Da die Renormierung alle potenziellen Divergenzen verbirgt, ist das Ergebnis nach der Regularisierung endlich.
Die Methode, die tatsächlich verwendet wird, ist die der "dimensionalen Regularisierung". Einfach ausgedrückt bedeutet dies, dass wir QED als durch die Menge der Feynman-Diagramme beschrieben betrachten, die jeden Prozess in Bezug auf die Ordnung in beschreiben, sowie durch die Regeln, die es ermöglichen, jedes Diagramm zu berechnen. Bei der Berechnung von Diagrammen mit geschlossenen Schleifen erscheinen Integrale, die logarithmisch divergent sind, d.h. Integrale der Form:
Diese Integrale wären in einem Raum mit weniger als vier Dimensionen nicht divergent, zum Beispiel in drei Dimensionen, wo wir statt nur hätten. Die dimensionale Regularisierung besteht darin, eine Theorie zu betrachten, die durch die gleichen Diagramme wie QED beschrieben wird, jedoch mit dem Unterschied, dass alle Integrale der oben genannten Form nicht in vier Dimensionen, sondern in -Dimensionen durchgeführt werden. Dies kann als eine analytische Fortsetzung der Anzahl der räumlichen Dimensionen betrachtet werden. Für ist die Theorie frei von Divergenzen. Nachdem die Renormierung durchgeführt wurde, kann das Limit genommen werden.
Ein interessantes Merkmal der dimensionalen Regularisierung ist, dass sie die Gültigkeit fundamentaler Beziehungen wie der Ward-Identität nicht stört. Auch wenn es für QED alternative Regularisierungsmethoden gibt, ist die dimensionale Regularisierung die einzige Methode, die eine perturbative Behandlung von Theorien mit nicht-Abelianer Eichsymmetrie, wie sie beispielsweise in der vereinheitlichten Beschreibung der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkungen des Standardmodells vorkommt, ermöglicht.
Die Divergenzen, die in den Integralen für Momente auftreten, werden als ultraviolette Divergenzen bezeichnet. In QED erscheint jedoch eine zweite Art von Divergenz, die sogenannte Infrarot-Divergenz, wenn das Photonmomentum, entweder real (ausgestrahltes Photon) oder virtuell (Propagator), gegen null tendiert. Infrarot-Divergenzen haben eine sehr präzise physikalische Bedeutung: Die Emission elektromagnetischer Wellen mit einem Energie-Spektrum , das für gegen einen konstanten Wert tendiert, ist bereits auf der klassischen Ebene mit jedem Prozess assoziiert, bei dem ein geladenes Teilchen abrupt seine Richtung ändert. Da diese Strahlung aus Photonen mit der Energie besteht, variiert die spektrale Dichte der Anzahl der Photonen wie und tendiert gegen unendlich, wenn .
Wie beeinflusst die Masse des Higgs-Bosons die Stabilität der Theorie?
Die Wechselwirkung des skalareren Feldes mit den Vektorbosonen reduziert sich gemäß der Theorie auf den sogenannten Seagull-Term. In diesem Kontext bleibt das Photon, das mit dem erhaltenen elektromagnetischen Strom gekoppelt ist, masselos und interagiert nicht direkt mit dem σ-Feld. Ein fundamentaler Aspekt der Theorie ist, dass die Wechselwirkung zwischen dem Higgs-Feld und den Vektorbosonen durch den Minimal-Satz (minimal substitution) in der Lagrange-Dichte beschrieben werden kann. Die Kopplungskonstanten, die die Wechselwirkungen von W- und Z-Bosonen regeln, können mit Bezug auf die Masse des Higgs-Bosons bestimmt werden. Dies führt zu einer wichtigen Einsicht: Das Verhältnis der Kopplungskonstanten hängt entscheidend von der Masse des Higgs-Bosons und der Glashow-Weinberg-Salam-Winkel ab, der die Felder W³ und B in die Massen-Eigenzustände überführt.
Das Higgs-Boson hat entscheidende Auswirkungen auf die Stabilität der Theorie. Insbesondere wird die Massenbestimmung durch den sogenannten Fermi-Konstanten in Zusammenhang mit der Masse des W-Bosons getroffen. Dies führt zu einer qualitativen Bestimmung der Kopplungskonstanten und deren Einfluss auf die Theorie der elektroschwachen Wechselwirkungen. Es ergibt sich eine kritische Betrachtung des Higgs-Bosons, da die Kopplung konstanten wie g und g′, die die Wechselwirkungen der transversalen Komponenten der Vektorbosonen betreffen, mit der Masse des Higgs-Bosons in Verbindung stehen.
Im Rahmen der Hochenergiephysik muss jedoch auch der Grenzfall eines masselosen Feldes betrachtet werden, wobei die spontane Symmetriebrechung verschwindet und die Theorie auf Yang-Mills- und Yukawa-Wechselwirkungen masseloser Skalar- und Fermionen reduziert wird. In dieser Masselosen Theorie ist das Higgs-Boson, das die longitudinale Komponente der Vektorbosonen trägt, nach dem Prinzip des unitären Gauges als eigenständiges Feld beschrieben. In diesem Zusammenhang wird deutlich, dass die Langzeitkomponente des W-Bosons bei hohem Impulsübertrag zu einem Wechselwirkungsmechanismus führt, der dem eines massiven Higgs-Bosons ähnelt, während die transversalen Komponenten nicht direkt mit der Masse des Higgs-Bosons gekoppelt sind.
Wichtige Überlegungen zum Higgs-Boson sind zudem die Grenzwerte der Masse des Higgs-Bosons. Die Berechnungen des Beta-Functions der elektroschwachen Kopplungskonstanten bis hin zur Zweitschleifen-Annäherung (NL) zeigen, dass für einen bestimmten Wertebereich der Kopplungskonstanten das Auftreten eines Landau-Punkts vermieden wird. Dies gibt Aufschluss über obere und untere Grenzwerte der Higgs-Boson-Masse, die unter Berücksichtigung des Top-Quark-Masses und anderer Parameter im Standardmodell berechnet werden können.
Wenn die Kopplungskonstante λ, die mit der Masse des Higgs-Bosons zusammenhängt, einen kritischen Wert überschreitet, könnte dies zur Instabilität der Theorie führen. Dies wird in der Theorie als Landau-Punkt bezeichnet, ein Punkt an dem die Kopplungskonstante divergiert. In der Praxis führt dies zu einer Obergrenze der Higgs-Boson-Masse, um die Stabilität der Theorie zu gewährleisten. In der Standardtheorie wurde ein Oberwert von etwa 150 GeV für die Higgs-Masse erhalten, basierend auf der Annahme, dass λ nicht bei niedrigen Energien eine Landau-Singularität erreicht. Der Wert kann sich jedoch ändern, abhängig von der Anzahl der Quark- und Lepton-Generationen, die in das Modell einfließen.
Diese theoretischen Überlegungen und Berechnungen sind nicht nur relevant für die Standardtheorie, sondern auch für die experimentelle Suche nach dem Higgs-Boson. Tatsächlich führte die Entdeckung des Higgs-Bosons am Large Hadron Collider (LHC) zu einer Bestätigung der theoretischen Vorhersagen, was wiederum die Bedeutung der Masse des Higgs-Bosons und seine Rolle im Standardmodell unterstreicht.
In der Praxis ist die genaue Bestimmung der Masse des Higgs-Bosons ein wichtiger Schritt zur Validierung der Theorie. Aktuelle Werte, wie etwa die beobachtete Masse von etwa 125 GeV, stimmen mit den theoretischen Erwartungen überein, jedoch können höhere-order-Korrekturen zu kleineren Abweichungen führen. Die präzisere Messung und die Berücksichtigung weiterer Phänomene könnten dazu beitragen, das Verständnis von Higgs-Boson-Wechselwirkungen und deren Auswirkungen auf die Stabilität des Standardmodells weiter zu vertiefen.