Wie Transformationen von Variablen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen beeinflussen

Zwei Zufallsvariablen $x$ und $y$ werden als unabhängig oder orthogonal bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert für eine der Variablen zu beobachten, unabhängig von der anderen ist. Dies bedeutet, dass die bedingten Verteilungen den marginalen Verteilungen entsprechen: $f_x(x|y) = f_x(x)$ und $f_y(y|x) = f_y(y)$ . Die Unabhängigkeit tritt nur ein, wenn die gemeinsame Verteilung $f(x, y)$ als Produkt der Randverteilungen zerfällt, also $f(x, y) = f_x(x) f_y(y)$ . Offensichtlich können korrelierte Variablen nicht unabhängig sein.

Ein anschauliches Beispiel für korrelierte Variablen zeigt sich in einem Messfehler im $xy$ -Koordinatensystem, der einer normalen Verteilung in Polar-Koordinaten $r$ und $\varphi$ folgt. In diesem Fall sind die Fehler in den Polar-Koordinaten unabhängig, jedoch die entsprechenden kartesischen Koordinaten sind negativ korreliert, was auf den ersten Blick widersprüchlich erscheinen könnte. Es wird deutlich, dass Unabhängigkeit nur dann vorliegt, wenn auch die Transformation in andere Koordinaten oder Variablen korrekt durchgeführt wird.

Ein weiteres Beispiel betrifft abhängige Variablen mit einem Korrelationskoeffizienten von null. Eine Verteilung $f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{x^2 + y^2}{2}}$ beschreibt eine Situation, in der die bedingte Verteilung $f_y(y|x)$ von $x$ abhängt, obwohl der Korrelationskoeffizient null ist. Dies unterstreicht, dass die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen nicht nur durch den Korrelationskoeffizienten charakterisiert wird, sondern auch durch die Art und Weise, wie die Wahrscheinlichkeitsdichte verteilt ist.

In der Praxis ist es oft notwendig, die Verteilung von Zufallsvariablen zu transformieren, um sie in eine für die Analyse besser handhabbare Form zu bringen. Dies geschieht häufig mit Hilfe der sogenannten Transformation von Variablen, die in der multivariaten Statistik eine zentrale Rolle spielt. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit $f(x, y)$ in eine andere Koordinatenbasis überführt, etwa von kartesischen in polare Koordinaten. Bei einer Transformation in Polar-Koordinaten wird der Jacobian der Transformation berücksichtigt, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte korrekt angepasst wird.

Ein praktisches Beispiel hierfür ist die Transformation einer zweidimensionalen Normalverteilung in Polar-Koordinaten. Wenn die Verteilung $f(x, y) = \frac{1}{2\pi} e^{ -\frac{x^2 + y^2}{2}}$ in die Polar-Koordinaten $x = r \cos\varphi$ und $y = r \sin\varphi$ überführt wird, resultiert dies in einer neuen Verteilung $g(r, \varphi)$ , bei der sich die Verteilung in den beiden Variablen $r$ und $\varphi$ in Produktform zerlegt. Die Randverteilungen der neuen Variablen $r$ und $\varphi$ sind dabei ebenfalls unabhängig.

Eine häufige Herausforderung in der Statistik besteht darin, die Anzahl der Variablen zu reduzieren, um die Komplexität des Modells zu verringern. Hierzu wird oft eine Transformation auf eine neue Variable $u(x, y)$ angewendet, wobei die ursprünglichen Variablen durch eine geeignete Wahl der Transformation vereinfacht werden. Die Verteilung der neuen Variable kann dann durch Integration der gemeinsamen Verteilung über die nicht verwendeten Variablen erhalten werden. In vielen Fällen ist es hilfreich, eine zusätzliche Variable $v = v(x, y)$ einzuführen, um die Transformation zu erleichtern. Der so entstehende Prozess ist als Faltung (Convolution) bekannt, wobei die Randverteilung durch ein Faltungsintegral berechnet wird.

Die Reduktion der Variablen ist in vielen Fällen erforderlich, wenn es darum geht, eine spezifische Verteilung aus einer gegebenen gemeinsamen Verteilung abzuleiten. Ein Beispiel dafür ist die Berechnung der Verteilung der Differenz zwischen zwei gemessenen Zeiten $t_1$ und $t_2$ , die einer gleichmäßigen Verteilung folgen. Auch hier kann die Transformation der Variablen und die anschließende Berechnung der marginalen Verteilung die Analyse erheblich vereinfachen.

Die Idee, mit Transformationen von Variablen zu arbeiten, ist nicht nur theoretisch von Interesse, sondern auch praktisch, insbesondere in experimentellen Situationen, in denen die Verteilungen komplexer Größen analysiert werden müssen. Ein weiteres Beispiel bezieht sich auf den Quotienten zweier normalverteilter Variablen. Diese Verteilung führt zu einer Cauchy-Verteilung, die aufgrund ihrer langen Tails wichtige Implikationen für die Unsicherheitsabschätzungen in experimentellen Messungen hat, bei denen der Nenner der Verhältnisausdrücke kleine Werte annehmen kann.

Wichtig ist zu verstehen, dass die Transformation von Variablen in den meisten Fällen nicht zu einfachen analytischen Ausdrücken für die resultierenden Verteilungen führt. Häufig ist eine numerische Lösung, etwa durch Monte-Carlo-Simulationen, erforderlich, um präzise Ergebnisse zu erhalten. Diese numerischen Methoden werden später im Buch ausführlich behandelt.

Die Berechnung der Verteilungen durch Transformationen wird auch oft verwendet, um neue Zufallsvariablen zu erzeugen, insbesondere in der Computergenerierung von Zufallszahlen. Durch die Umwandlung gleichmäßig verteilter Zufallszahlen in eine gewünschte Verteilung, etwa durch die Inversion der kumulierten Verteilungsfunktion, können die benötigten Verteilungen effizient simuliert werden. Dies ist besonders nützlich in der numerischen Simulation von physikalischen Systemen und Experimenten.

Wie die Faltung und das Unfolding die Rekonstruktion von Verteilungen beeinflussen

In der statistischen Literatur werden die Schwankungen als Rauschen bezeichnet. Ziel der Analyse ist es, die wahre Histogrammverteilung zu rekonstruieren, die durch das Unfolding-Verfahren bestimmt werden soll. Es gibt dabei verschiedene mathematische Ansätze, um die Verzerrungen durch das experimentelle Setup zu korrigieren und die tatsächliche Verteilung aus den beobachteten Daten zu schätzen. Eine der wichtigsten mathematischen Beziehungen in diesem Kontext ist die Interaktion zwischen den beobachteten Ereignissen und der wahren Verteilung, die durch die sogenannte Antwortmatrix $A$ modelliert wird.

Die Antwortmatrix $A_{ij}$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein Ereignis aus dem wahren Histogramm (bin $j$ ) in ein beobachtetes Histogramm (bin $i$ ) verschoben wird. Diese Matrix ist entscheidend, da sie den Zusammenhang zwischen den beobachteten und den wahren Verteilungen abbildet. Um das Unfolding korrekt durchzuführen, muss die Matrix $A$ eine hohe Rangbewertung haben, was bedeutet, dass ihre Spalten linear unabhängig sind. Sind die Spalten von $A$ linear abhängig, würde das Unfolding unbestimmt werden. In solchen Fällen ist es oft notwendig, die Bins zu kombinieren, um diese Ambiguität zu vermeiden.

Ein weiteres wichtiges Kriterium für das Unfolding ist, dass die beobachteten Daten nur aus den $M$ wahren Bins stammen dürfen. Wenn Ereignisse aus anderen Quellen als den wahren Bins in das beobachtete Histogramm gelangen, kann dies die Rekonstruktion stark verzerren. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Ränder des wahren Histogramms nur geringe Ereigniszahlen enthalten und somit die Effizienz für diese Bins niedrig ist. In der Praxis bedeutet dies oft, dass Simulationen die Spanne des wahren Histogramms einschränken, um dieses Problem zu umgehen.

Ein kritischer Punkt bei der Anwendung des Unfolding-Verfahrens ist die Qualität der Matrix $A$ . In komplexen experimentellen Setups wird diese Matrix durch Monte-Carlo-Simulationen erzeugt, wobei Ereignisse entsprechend einer angenommenen wahren Verteilung generiert werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass eine unbegrenzt große Anzahl von Monte-Carlo-Ereignissen verfügbar ist, sodass die statistischen Schwankungen der Matrixelemente vernachlässigt werden können. In der Praxis ist jedoch die Matrix $A$ von der wahren Verteilung abhängig, was zu Herausforderungen führt, da diese Verteilung meist nicht bekannt ist.

Die größte Schwierigkeit bei der Rekonstruktion der wahren Verteilung entsteht, wenn die beobachteten Bins sehr schmal im Vergleich zur Auflösung des Experiments sind. In solchen Fällen ist die Matrix schlecht konditioniert, was bedeutet, dass ihre Inverse oder Pseudo-Inverse große Komponenten enthält. Dies führt zu einer erheblichen Verzerrung in der Rekonstruktion der wahren Verteilung. Ein einfaches Beispiel zeigt dies: Zwei unterschiedliche Ursprungsverteilungen, die durch eine Gaußsche Faltung geglättet werden, sind praktisch ununterscheidbar. Diese Faltung führt zu einem erheblichen Informationsverlust, der besonders die Rekonstruktion von Verteilungen mit scharfen Strukturen erschwert.

Die naive Lösung des Unfoldings, bei der die Matrix $A$ einfach invertiert wird, führt zu nicht akzeptablen Ergebnissen. Dies zeigt sich besonders deutlich bei einer einfachen Inversion des Datenvektors, bei der die Rekonstruktion starke Schwankungen zeigt, die in der Realität nicht vorhanden sind. Um diese Instabilitäten zu beheben, wird oft eine Regularisierung angewendet, die eine Glättung der Rekonstruktion ermöglicht und so zu einem realistischeren Ergebnis führt. Der Regularisierungsprozess kann entweder durch eine reduzierte Anzahl an Bins oder durch eine zusätzliche Glättung erreicht werden.

Ein alternativer Ansatz zur Histogrammdarstellung der Verteilung ist die Approximation der Verteilung durch eine lineare Kombination von Funktionen. Diese Funktionen $B_i(x)$ sind normalisierte Funktionen, die als Basisfunktionen dienen. Anstatt die wahre Verteilung $f(x)$ als Histogramm darzustellen, kann man sie als eine Summe der Basisfunktionen darstellen. Diese Methode ermöglicht eine glattere Rekonstruktion der wahren Verteilung, da die Basisfunktionen eine kontinuierliche Approximation bieten. Bei dieser Methode handelt es sich jedoch immer noch um eine Approximation, da die wahre Funktion $f(x)$ nicht exakt durch die Basisfunktionen beschrieben werden kann.

Im Vergleich zur Histogrammdarstellung hat die Verwendung von Basisfunktionen wie B-Splines den Vorteil, dass die resultierende Funktion glatter ist und eine genauere Annäherung an die wahre Verteilung ermöglicht. Allerdings erschwert diese glattere Darstellung den direkten Vergleich mit Vorhersagen, da die Basisfunktionen eine gewisse Flexibilität aufweisen, die es schwieriger macht, die Resultate mit anderen Datensätzen oder theoretischen Modellen zu kombinieren. Im Gegensatz dazu ist die Histogrammdarstellung eine genauere Darstellung der Daten, da sie die Verteilung direkt in den einzelnen Bins beschreibt.

Ein weiteres wichtiges Konzept im Unfolding-Prozess ist die Anwendung von kleineren Fehlern und der Least-Squares-Lösung. Wenn die wahre Verteilung hochfrequente Komponenten enthält, die durch die Faltung mit der Antwortmatrix stark abgeschwächt werden, kann die Rekonstruktion dieser hochfrequenten Teile problematisch werden. In solchen Fällen ist die Verwendung von Techniken wie der Eigenvektordecomposition nützlich, um diese hochfrequenten Komponenten zu isolieren und so eine genauere Rekonstruktion der wahren Verteilung zu ermöglichen. Dies erfordert jedoch eine sorgfältige Analyse der Antwortmatrix und der enthaltenen Fehler.

Die Korrektur und Rekonstruktion von Verteilungen durch Unfolding ist also ein komplexer Prozess, der zahlreiche mathematische und statistische Techniken erfordert. Besonders wichtig ist dabei die Wahl der richtigen Methodik für die Regularisierung und die Handhabung der Antwortmatrix, um eine präzise und stabile Rekonstruktion zu gewährleisten. Nur durch diese sorgfältige Analyse kann ein realistisches Bild der wahren Verteilung gewonnen werden, das nicht durch experimentelle Fehler oder ungenaue Modellannahmen verzerrt wird.

Wie das Least-Square-Verfahren in der Fehleranalyse und Entfaltung von Daten angewendet wird

Das Least-Square-Verfahren (Methode der kleinsten Quadrate) ist ein zentrales Konzept in der statistischen Analyse und spielt eine bedeutende Rolle bei der Entfaltung von Daten, insbesondere in Fällen, in denen Messdaten durch statistische Schwankungen und Unsicherheiten beeinflusst werden. Es wird verwendet, um die beste Schätzung für ein Modell zu finden, indem die Differenz zwischen den beobachteten und den modellierten Werten minimiert wird. Dies geschieht durch die Minimierung der sogenannten χ²-Statistik, welche die Güte der Anpassung beschreibt.

In der einfachen Form, für eine quadratische Matrix $A$ mit $M = N$ , ergibt sich die Lösung für den Parametervektor $\theta$ direkt durch Matrixinversion:

\hat{\theta} = A^{ -1}d

In diesem Fall ist die Fehlermatrix $V_{\theta} = A V (A^{ -1})^T$ , welche durch Fehlerpropagation abgeleitet wird. Wird jedoch kein Glätten (Smearing) vorgenommen, ist die Matrix $A$ diagonal und beschreibt nur die Akzeptanzverluste. Aus praktischen Gründen wird jedoch oft ein Fall mit $M \leq N$ gewählt, da die Methode für $M = N$ nicht immer zu optimalen Ergebnissen führt. In solchen Fällen wird die Fehlerbehandlung durch das Einfügen einer Gewichtungsmatrix $C = V^{ -1}$ , der Inversen der Fehler- oder Kovarianzmatrix $V$ , vorgenommen.

Für den Fall, dass die Daten einer Poisson-Verteilung folgen, die aufgrund einer hohen Statistik durch eine Normalverteilung approximiert werden kann, vereinfacht sich das Least-Square-Verfahren weiter. Der Nenner der Gleichung kann dann durch $d_i$ approximiert werden, was zu einer Vereinfachung in der Berechnung führt. Diese Formulierung ermöglicht es, das Least-Square-Minimum durch einfache lineare Matrixberechnungen zu bestimmen.

Die Transformation der Daten erfolgt dann wie folgt:

d \rightarrow b = A^T C d

A \rightarrow Q = A^T C A

Dabei ist $Q$ die Least-Square-Matrix, und die erwarteten Werte von $b$ und $\theta$ lassen sich durch die Beziehungen $E(b) = Q \theta$ und $\hat{\theta} = Q^{ -1} b$ berechnen. Diese Umformulierung erlaubt es, die Lösung effizient zu berechnen, wobei $Q$ eine quadratische Matrix ist, die invertierbar ist, falls die Lösung existiert.

Ein wesentlicher Aspekt des Least-Square-Verfahrens besteht in der Eigenvektorzerlegung der Matrix $Q$ . Diese Zerlegung hilft, das Verhalten der Lösung und die Ursachen der Schwankungen in der Schätzung besser zu verstehen. Die Matrix $Q$ kann als Produkt einer diagonalen Matrix $\Lambda$ , die die Eigenwerte enthält, und einer Matrix $U$ , deren Spalten die Eigenvektoren von $Q$ sind, geschrieben werden:

Q = U \Lambda U^{ -1}

Die Eigenvektoren $u_i$ entsprechen den Eigenwerten $\lambda_i$ und bilden eine orthogonale Basis, in der die Lösung $\theta$ als eine Linearkombination dieser Eigenvektoren dargestellt werden kann:

\theta = \sum_{i=1}^{M} a_i u_i

Die Amplituden $a_i$ der Eigenvektoren sind unkorreliert, und die Norm $||\theta||^2$ der Lösung wird durch die Summe der Quadrate der Amplituden $a_i^2$ bestimmt.

Im Fall einer sehr schwachen Signifikanz der Eigenvektoren mit kleinen Eigenwerten kann es zu einer erheblichen Verzerrung kommen, wenn diese Komponenten in die Lösung aufgenommen werden. Eigenvektoren mit kleinen Eigenwerten, die sich nahe am Rauschpegel befinden, können durch statistische Schwankungen verstärkt werden, was zu unerwünschten Oszillationen in der rekonstituierten Verteilung führt.

Die Effektivität der Parameter, die aus der Entfaltung extrahiert werden können, ist durch die Eigenwerte von $Q$ limitiert. Wenn die Eigenwerte unter einen bestimmten Schwellenwert fallen, sind die entsprechenden Parameter in der Lösung nicht mehr signifikant. In solchen Fällen kann die effektive Anzahl der Parameter $N_{\text{eff}}$ definiert werden, wobei nur diejenigen Parameter berücksichtigt werden, deren Eigenwerte über diesem Schwellenwert liegen. In vielen Fällen zeigt sich, dass nur eine begrenzte Anzahl an Parametern zuverlässig bestimmt werden kann, auch wenn die Daten eine größere Anzahl von Bins aufweisen.

Besonders wichtig ist auch die Erkenntnis, dass eine Erhöhung der statistischen Anzahl der Ereignisse in einem Experiment nicht automatisch zu einer besseren Auflösung führt, wenn die experimentelle Auflösung (Smearing) schlecht ist. In solchen Fällen sind die Ergebnisse der Entfaltung stark abhängig von der präzisen Kenntnis der Antwortmatrix, was zu weniger verlässlichen Schätzungen führt.

Eine wesentliche Schlussfolgerung aus dieser Analyse ist, dass das Least-Square-Verfahren, auch wenn es ein nützliches Werkzeug zur Fehleranalyse und Datenanpassung darstellt, nicht in jedem Fall die optimale Lösung liefert. Insbesondere bei schwacher Auflösung und kleinen Eigenwerten muss mit Vorsicht vorgegangen werden, da das Verfahren stark auf die Wahl der Gewichtungsmatrix und die Qualität der Antwortmatrix angewiesen ist.

Wie man durch Gradientensuche lokale Minima in der Parameteranpassung überwindet

Die Methode der Gradientenabstiegsverfahren ist in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften von entscheidender Bedeutung, insbesondere bei der Optimierung von Parametern. Diese Methode, die auch in der Aktualisierung der Ausrichtung von Tracking-Detektoren Anwendung findet, ist jedoch nicht unabhängig von den Skalen der Parameter. Ein entscheidender Punkt ist, dass der Verlauf des Gradientenpfades, abhängig von der Wahl der Maßeinheit – zum Beispiel Meter oder Millimeter, Stunden oder Sekunden – variiert. In Bereichen mit flachem Parameterraum kann die Konvergenz der Methode langsamer erfolgen. In engeren Tälern können zusätzlich Oszillationen auftreten, die das genaue Minimieren erschweren. Eine zu große Wahl des Parameters α (Schrittweite) führt dazu, dass diese Oszillationen die Suche nach einem Minimum erschweren.

Es gibt verschiedene Ansätze, um diese Probleme zu reduzieren. Die Schrittweite und die Richtung des Gradienten können teilweise von den Ergebnissen vorheriger Schritte abhängen. Wenn sich die Funktion in aufeinanderfolgenden Schritten nur wenig verändert, wird α erhöht. Um Oszillationen in einem Tal zu vermeiden, kann der Gradientenvektor in Schritt i eine Mischung aus dem Gradienten in Schritt i−1 und i enthalten:

\Delta \lambda_i = \alpha \left( \nabla_\lambda f(\lambda_i) + 0.5 \nabla_\lambda f(\lambda_{i-1}) \right)

Auf diese Weise kann die Methode auch die Oszillationen in der Nähe des Minimums erkennen und durch eine Verringerung von α eliminieren. Dieser Ansatz führt zu einer stabileren Konvergenz und ermöglicht die genauere Bestimmung der Parameter.

Ein weiteres Konzept, das bei der Optimierung von Parametern häufig zur Anwendung kommt, ist das stochastische Abkühlen. Diese Technik basiert auf einem physikalischen Prinzip, bei dem ein System, das auf den absoluten Nullpunkt abgekühlt wird, theoretisch in einem energetischen Minimum verweilt. Wird das System jedoch zu schnell abgekühlt, kann es in einem lokalen Minimum „gefangen“ bleiben. Wird es jedoch langsamer abgekühlt, hat es eine größere Wahrscheinlichkeit, das absolute Minimum zu erreichen. In Bezug auf die Optimierung bedeutet dies, dass eine Erhöhung der Temperatur die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass auch Schritte in die falsche Richtung akzeptiert werden, was den Algorithmus aus lokalen Minima herausholen kann. Diese Technik wird als stochastisches Abkühlen bezeichnet und ist besonders hilfreich bei der Suche nach globalen Minima. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein schlechterer Schritt akzeptiert wird, hängt von der Temperatur T ab und ist gegeben durch die Formel:

P(\Delta f) = \frac{1}{1 + e^{\Delta f / T}}

Dabei stellt Δf die Änderung der Funktionswerte dar, die nach einem Schritt erzielt wurde, und T die Temperatur, die die Stärke der Auswirkung steuert. Durch sukzessive Reduktion von T kann schließlich das absolute Minimum erreicht werden.

Die Methoden, die in der Gradientenabstiegsverfahren und im stochastischen Abkühlen enthalten sind, sind nicht nur von theoretischem Interesse, sondern finden praktische Anwendung in zahlreichen Bereichen, von der Parametrierung von Modellen in der Physik bis hin zur Optimierung von Maschinen für maschinelles Lernen und künstliche Intelligenz.

Die Lineare Regression mit Einschränkungen stellt eine weitere nützliche Technik dar, die in Kombination mit den beschriebenen Methoden eingesetzt werden kann. Hierbei werden Messungen, die an bekannten Orten x vorgenommen wurden, durch ein lineares Modell beschrieben, wobei die Parameter θ durch ein System von linearen Beziehungen beschrieben werden. Um zusätzliche physikalische oder mathematische Einschränkungen zu berücksichtigen, kann dieses Modell durch die Einführung von Lagrange-Multiplikatoren modifiziert werden. Dadurch wird ein optimierter Parameteransatz unter Berücksichtigung der Einschränkungen gefunden, was zu einer verbesserten Genauigkeit und einer reduzierten Fehlerwahrscheinlichkeit führt. Die resultierende Schätzung der Parameter ist dabei linear und unverzerrt, was in vielen praktischen Anwendungen vorteilhaft ist.

Neben diesen Techniken spielt auch die Polynomialapproximation eine zentrale Rolle bei der Fehleranalyse und der Verbesserung der Anpassung von Messdaten. Der Fehler der Expansionskoeffizienten bei der Verwendung orthogonaler Polynome ist ein wichtiges Konzept, um die Qualität der Anpassung zu bewerten. Wenn die Messfehler gleichmäßig sind, können die Gewichte auf einfache Weise als 1/N angenommen werden, wobei N die Anzahl der Messpunkte ist. Die mathematische Form der orthogonalen Polynome lässt sich dann nach bestimmten Regeln bestimmen, die in vielen Handbüchern detailliert beschrieben werden. Eine genaue Berechnung der Fehler dieser Expansionskoeffizienten hilft dabei, die Genauigkeit der Modellierung weiter zu verbessern.

Besondere Beachtung verdienen auch B-Splines, die bei der Annäherung an komplexe Funktionen nützlich sind. Lineare, quadratische und kubische B-Splines bieten verschiedene Möglichkeiten, Funktionen zu approximieren und gleichzeitig die Flexibilität zu wahren, mit der die Parameter angepasst werden können. Sie sind besonders nützlich, um unregelmäßige oder stückweise gegebene Daten zu modellieren und dabei die Anpassung zu optimieren, ohne die Rechenleistung unnötig zu erhöhen.

Insgesamt erfordern diese Techniken eine präzise Wahl der Parameter und eine gründliche Fehleranalyse, um eine möglichst genaue und robuste Anpassung der Modelle zu erreichen. Besonders die Kombination aus stochastischen Methoden und linearen Verfahren bietet eine mächtige Grundlage für die Optimierung in vielen verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik.

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