Wie werden die Regularitätsbedingungen am Ursprung der Szekeres-Raumzeiten formuliert und welche Konsequenzen ergeben sich daraus?

Die Szekeres-Lösungen, als Verallgemeinerungen der Lemaitre–Tolman-Modelle, erlauben eine genaue Beschreibung inhomogener kosmologischer Räume ohne Symmetrien. Im Fokus stehen hierbei insbesondere die Bedingungen, unter denen ein „Ursprung“ existiert — analog zum Mittelpunkt in den symmetrischen L–T-Modellen, jedoch nicht notwendigerweise gegeben für alle Szekeres-Raumzeiten. Modelle wie Datt–Ruban oder Kantowski–Sachs besitzen beispielsweise keinen solchen Ursprung. Die physikalische Relevanz eines Ursprungs ergibt sich durch die Forderung nach einer wohldefinierten, regulären Geometrie mit endlicher Energiedichte und endlichen Krümmungsinvarianten.

Die dynamische Entwicklung wird über die Funktion Φ(t,z) beschrieben, welche die Ausdehnung der konstant-z-Sphären charakterisiert. Diese Funktion erfüllt die Evolutiongleichung

\Phi_{,tt} = -\frac{M}{\Phi^2},

wobei $M(z)$ die aktive gravitative Masse innerhalb der Koordinatensphäre z darstellt. Die geometrische Krümmung wird durch die Funktion $k(z)$ bestimmt, welche auch die Art der dynamischen Lösung klassifiziert: hyperbolisch (k<0), parabolisch (k=0) oder elliptisch (k>0). Entscheidend ist dabei, dass an einem Ursprung $z=0$ folgende Grenzwerte gelten müssen:

\lim_{z \to 0} M(z) = 0, \quad \lim_{z \to 0} k(z) = 0,

wodurch die Geometrie nahe dem Ursprung glatt und frei von Singularitäten bleibt.

Der wichtigste Aspekt der Regularität betrifft die Energiedichte $\kappa \epsilon$ und die Skalare des Riemannschen Tensors. Diese Größen müssen endlich bleiben, was zu Bedingungen an die Ableitungen der Funktionen $M(z), k(z)$ und insbesondere an die Querschnittsfunktionen $\mathcal{E}(x,y,z)$ führt. So muss gelten:

0 < \lim_{z \to 0} \kappa \epsilon(z) < \infty,

und die Krümmungskomponenten

\mathcal{B}_1 = \frac{M,z - 3 M \mathcal{E},z/\mathcal{E}}{\Phi^3}, \quad \mathcal{B}_2 = \frac{\kappa \epsilon}{2},

müssen ebenfalls begrenzt sein. Daraus folgt, dass

\lim_{z \to 0} \frac{M,z}{\Phi^2 \Phi,z} = \text{endlich und positiv},

und

\lim_{z \to 0} \frac{\Phi^2 \Phi,z}{M,z} = \text{endlich und positiv}.

Die Einhaltung dieser Bedingungen garantiert, dass die Metrik glatt und die physikalischen Größen wohl definiert bleiben.

Der Verlauf von $\Phi(t,z)$ wird durch den Parametrisierungstyp (hyperbolisch, elliptisch oder parabolisch) bestimmt, wobei für alle Fälle die gleichen Grundregeln zur Regularität am Ursprung gelten. Für $k > 0$ (elliptischer Fall) muss die Funktion des „Big Bang“-Zeitschnitts $t_B(z)$ hinreichend differenzierbar sein und eine Einschränkung an ihre Ableitung $t_{B,z}$ besteht, um negative Energiedichten zu vermeiden, insbesondere gegen Ende der elliptischen Entwicklung (Big Crunch). Für $k < 0$ (hyperbolischer Fall) ist diese Einschränkung weniger streng, da keine negativen Energiedichten auftreten.

Außerdem muss die räumliche Geometrie so beschaffen sein, dass die Änderung des richtigen Radius $\mathcal{R}$ bezüglich der Flächenradiusfunktion $\Phi$ endlich bleibt, was strengere Bedingungen an die Funktion $\mathcal{E}(x,y,z)$ und deren Ableitungen stellt. Konkret gilt für alle $x,y$ -Koordinaten nahe dem Ursprung, dass die Quotienten der Ableitungen von $M, S, P, Q$ bezüglich z begrenzt sein müssen, was eine gewisse Glattheit der inhomogenen Strukturen nahe dem Ursprung garantiert.

Zusammenfassend gelten im Grenzfall $z \to 0$ Näherungen der Form

M \sim \Phi^3, \quad |k| \sim \Phi^2, \quad S, P, Q \sim \Phi^n, \quad n \geq 0,

die die Skalierung der Massen- und Krümmungsfunktionen sowie der Inhomogenitätsparameter beschreiben und für die Regularität essentiell sind.

Die Bedingung

\frac{\mathcal{E},z}{\mathcal{E}} \leq \frac{M,z}{3M},

die sich später aus weiteren Regularitäts- und Überlappungsvermeidungsbedingungen ergibt, verbindet die Radialvariation der Inhomogenität mit der Massenverteilung. Diese Relation ist fundamental, um sogenannte „Shell-Crossings“ zu vermeiden, bei denen sich Materieschalen überlagern und physikalische Singularitäten entstehen.

Die vollständige Analyse dieser Regularitätsbedingungen zeigt, dass die Szekeres-Raumzeiten trotz fehlender Symmetrien ein äußerst reichhaltiges, aber gleichzeitig streng kontrolliertes Verhalten nahe dem Ursprung zeigen. Die Einhaltung der genannten Bedingungen gewährleistet eine physikalisch konsistente Modellierung inhomogener kosmologischer Räume, in denen eine „Zentralstelle“ ohne Singularitäten existiert.

Wichtig ist, dass diese Regularitätsbedingungen nicht nur mathematische Anforderungen sind, sondern die physikalische Konsistenz des Modells sichern. Insbesondere verhindern sie unphysikalische Divergenzen in der Dichte oder Krümmung, die andernfalls die Aussagekraft des Modells einschränken würden. Zudem sind sie grundlegend, um numerische Simulationen der Szekeres-Raumzeiten stabil und realistisch durchzuführen, da Abweichungen von den Bedingungen schnell zu Recheninstabilitäten und nicht-physikalischen Ergebnissen führen.

Wann ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit in eine flache Mannigfaltigkeit einbettbar?

Die Einbettung einer n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit $V_n$ in eine höherdimensionale, pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit $U_N$ erfordert eine exakte Analyse der geometrischen Bedingungen, die erfüllt sein müssen. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen sind durch die klassischen Gleichungen von Gauss, Codazzi und Ricci formuliert. Für den Fall, dass $N > n+1$ , müssen diese Gleichungen durch zusätzliche Integrabilitätsbedingungen ergänzt werden. Diese entstehen als Kompatibilitätsbedingungen der zweiten Ableitungen der Einbettungsfunktionen und betreffen insbesondere die Krümmung und die Struktur der Tangential- sowie Normalbündel der eingebetteten Fläche.

Die vollständige Bedingung, dass $V_n$ in $U_N$ eingebettet werden kann, reduziert sich auf eine Kombination der Gleichungen (7.89), (7.90) und (7.91), wobei insbesondere die antisymmetrischen Eigenschaften der Verbindungsterme von fundamentaler Bedeutung sind. Die Eliminierung der zweiten Ableitungen der Einbettungsfunktionen $Y^A$ führt auf Gleichungen, die aus Projektionen auf die Tangential- und Normalräume bestehen. Interessanterweise zeigt sich, dass die Projektion auf den Tangentialraum trivial ist; die gesamte Bedingung wird vollständig durch die Projektion auf den Normalraum repräsentiert.

Für den Spezialfall $N = n+1$ , also die Einbettung als Hypersphäre, vereinfachen sich die Gleichungen erheblich. In diesem Fall verschwinden viele Terme aufgrund antisymmetrischer Eigenschaften automatisch. Die Gleichungen von Gauss und Codazzi nehmen eine besonders transparente Form an. Die Krümmung von $V_n$ kann dann direkt aus der Krümmung des umgebenden Raumes und der zweiten Fundamentalform abgelesen werden:

R_{\delta\alpha\beta\gamma}(g) = R_{QMNP}(G) Y^Q_{,\delta} Y^M_{,\alpha} Y^N_{,\beta} Y^P_{,\gamma} + \varepsilon \left(\Omega_{\alpha\gamma} \Omega_{\delta\beta} - \Omega_{\alpha\beta} \Omega_{\delta\gamma} \right),

\Omega_{\alpha\beta;\gamma} - \Omega_{\alpha\gamma;\beta} = -R_{QMNP}(G) X^Q Y^M_{,\alpha} Y^N_{,\beta} Y^P_{,\gamma}.

In speziell angepassten Koordinaten, in denen die Koordinaten von $U_{n+1}$ so gewählt werden, dass sie entlang der Normalenrichtungen zu $V_n$ verlaufen, können diese Ausdrücke weiter vereinfacht werden. Insbesondere wird die zweite Fundamentalform dann als negative Kovariantableitung der Normalenkomponente dargestellt:

\Omega_{\alpha\beta} = -X_{\alpha;\beta}.

Obwohl diese Darstellung korrekt ist, ist sie nicht kovariant und somit nur in diesen Koordinaten gültig. Ihre Verwendung als Definition der zweiten Fundamentalform kann zu Missverständnissen führen.

Ein besonders interessanter Spezialfall ist die Einbettung einer Raumzeit $V_n$ in einen flachen Raum höherer Dimension. Wird der umgebende Raum als flach angenommen (d.h. $R_{ABCD}(G) = 0$ ), dann reduzieren sich die Gleichungen zu einem System partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die Einbettungsfunktionen $Y^A$ . Die Anzahl der Gleichungen beträgt $\frac{n(n+1)}{2}$ , während die Anzahl der unbekannten Funktionen $Y^A$ von $N$ abhängt. Ein naiver Zählansatz legt nahe, dass $N = \frac{n(n+1)}{2}$ eine minimale Dimension liefert, bei der eine Lösung existieren kann. Für $n = 4$ ergibt dies $N = 10$ .

Doch dies ist nur eine grobe Abschätzung. Die Signatur der Metrik $G_{AB}$ spielt eine entscheidende Rolle: Ist $G_{AB}$ positiv definit, während ( g_{\alpha\beta}_

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