Wie die Kosmologische Konstante das Universum beeinflusst: Ein genauer Blick auf Einstein's Gleichungen

beschrieben wird, wobei $R = \sqrt{\frac{c^2}{ -\Lambda}}$ ist und $\rho$ die durchschnittliche Massendichte des Universums darstellt. In dieser Lösung führt ein negativer Wert von $\Lambda$ zu einer kosmologischen Abstoßung, die die gravitative Anziehungskraft kompensiert und das Universum in einem statischen Zustand hält – jedoch instabil, wie später in der Literatur diskutiert.

Heute ist die kosmologische Konstante besonders bei Teilchenphysikern populär, obwohl sie unter Spezialisten der Allgemeinen Relativitätstheorie eher weniger Beachtung findet. Beobachtungen der Helligkeit entfernter Supernovae legen sogar nahe, dass der Wert von $\Lambda$ negativ sein könnte, was eine beschleunigte Expansion des Universums nahelegt. Der Wert von $\Lambda$ ist jedoch äußerst klein, etwa kleiner als $10^{ -50} \, \text{cm}^{ -2}$, sodass seine Wirkung auf kleineren Skalen, wie im Sonnensystem, vernachlässigbar ist.

Ein konkretes Beispiel für eine exakte Lösung der Einsteinschen Gleichungen findet sich in der Bianchi-Typ-I-Metrik, bei der das Modell eines Universums mit Staub als Quelle verwendet wird. Diese Lösung demonstriert, wie spezielle Annahmen über die Symmetrie des Universums (in diesem Fall die Bianchi-I-Algebra) und das Fehlen einer kosmologischen Konstante eine einfache, aber tiefgehende Beschreibung des frühen Universums ermöglichen.

Die Schwierigkeit, allgemeine Lösungen für die Einsteinschen Gleichungen zu finden, liegt in ihrer Nichtlinearität. Während die Superposition von Lösungen in der klassischen Mathematik oft zu neuen Lösungen führt, ist dies bei den Einsteinschen Gleichungen nicht der Fall. Stattdessen muss jede Lösung individuell behandelt werden, was die Suche nach einer allgemeingültigen Formel erschwert. Dennoch gibt es eine Vielzahl von Lösungen, die für besondere Situationen von Interesse sind – beispielsweise bei symmetrischen Verteilungen von Materie oder bei speziellen Eigenschaften des Weyl-Tensors.

Ein Beispiel für eine exakte Lösung dieser Gleichungen ist das Modell eines Bianchi-Typ-I-Universums mit Staub als Quelle. Diese Lösung geht von einer homogenen Raumzeit aus, die die Symmetriegruppe der Bianchi-Typ-I-Algebra aufweist. In einem solchen Modell zeigt sich, dass das Universum unter bestimmten Bedingungen dynamisch und dennoch stabil sein kann, was die Bedeutung solcher speziellen Lösungen für die Kosmologie unterstreicht.

Abschließend lässt sich sagen, dass die kosmologische Konstante und ihre Auswirkungen auf die Einsteinschen Gleichungen eine Schlüsselrolle im Verständnis des Universums spielen. Obwohl sie ursprünglich als „Fehler“ betrachtet wurde, hat sie sich als entscheidend für das moderne Bild des expandierenden Universums erwiesen. Die aktuellen Beobachtungen der Supernovae und die Entdeckung der beschleunigten Expansion des Universums haben die Bedeutung der kosmologischen Konstante in der modernen Kosmologie und Teilchenphysik weiter verstärkt.

Wie die Allgemeinen Relativitätstheorie die Bewegung der Planeten beschreibt

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird, ebenso wie in Newtons Theorie, angenommen, dass die Planeten in ihrer Bewegung auf den Umlaufbahnen als Punktmassen agieren und ihre eigenen Gravitationsfelder im Vergleich zum Gravitationsfeld der Sonne vernachlässigt werden können. Diese beiden Annahmen widersprechen jedoch grundsätzlich einander. Das Gravitationsfeld einer Punktmasse ist an der Position der Masse singular und daher stärker als jedes äußere Feld. In Newtons Theorie wird dieses Problem dadurch gelöst, dass man feststellt, dass der Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers denselben Verlauf wie ein Punktkörper ohne Selbstgravitation folgen würde. Am Schwerpunkt des Körpers verschwindet das eigene Gravitationsfeld. In der Relativitätstheorie gibt es noch keine allgemein anerkannte Definition des Schwerpunkts, obwohl an diesem Problem weiterhin gearbeitet wird (siehe z. B. Dixon, 2015). Wenn wir also die Umlaufbahnen von Punktkörpern in der Relativitätstheorie betrachten, erweitern wir die Theorie in ein Gebiet, für das sie noch nicht vollständig ausgearbeitet wurde. Nichtsdestotrotz stimmen die Ergebnisse mit den Beobachtungstests überein.

Wir nehmen an, dass das Gravitationsfeld der Sonne sphärisch symmetrisch ist, dass der Raum um die Sonne keine elektromagnetischen Felder enthält und dass die kosmologische Konstante null ist. Das bedeutet, dass der Raumzeit durch die metrische Form (14.40)–(14.42) beschrieben wird. Die Umlaufbahnen der Planeten sollten in dieser Raumzeit timelike Geodäten sein und damit Lösungen der Gleichung (5.14), wobei die Ableitung D/ds entlang der Geodäte berechnet wird. Durch Kontrahieren von (5.14) mit gαβ d(xβ/ds) und unter Verwendung von (5.14), erhalten wir das Resultat

Dies bedeutet, dass die Größe ℓ = gαβ (dxα/ds)(dxβ/ds) entlang jeder Geodäte konstant bleibt. Insbesondere bedeutet dies, dass ihr Vorzeichen sich während der Bewegung nicht ändern kann; eine Geodäte ist somit timelike (ℓ > 0), null (ℓ = 0) oder spacelike (ℓ < 0) entlang ihrer gesamten Länge. Der affine Parameter s ist bis zu inhomogenen linearen Transformationen bestimmt, sodass für timelike Geodäten s so skaliert werden kann, dass

$$\frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds} = 1.$$

Dieser affine Parameter ist s = c × (die physikalische Zeit), wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Auf der Umlaufbahn wollen wir die physikalischen Einheiten verwenden, sodass unsere Zeitkoordinate in der folgenden Darstellung ct ist.

Die Christoffelsymbole für die Metrik (14.40)–(14.42) lauten:

Die Geodäten-Gleichungen können dann formuliert werden als

$$\frac{d^2 t}{ds^2} + \frac{2m}{r^2} \frac{dt}{ds} = 0,$$

Ein weiteres wichtiges Konzept in diesem Zusammenhang ist der Erhaltungswert des Drehimpulses J0, der sich aus der Gleichung für die Geodäten ergibt und durch

$$\frac{d\varphi}{ds} = \frac{J_0}{r^2 \sin^2 \theta}$$

ausgedrückt wird. Es zeigt sich, dass der Winkel $\varphi$ der Planet auf einer Umlaufbahn konstant bleibt, was einen wichtigen Aspekt der Planetenbewegung in einem sphärisch symmetrischen Gravitationsfeld darstellt.

Wenn wir den spezifischen Fall eines Planeten betrachten, der um die Sonne kreist, erhalten wir das Ergebnis, dass die radiale Bewegung des Planeten durch die Beziehung

bestimmt wird, wobei $\sigma = 1/r$ die Kehrwertvariable der Planetenposition ist. Wenn man diesen Ausdruck bis zur ersten Ordnung in einem kleinen Parameter $\alpha$ löst, erhält man ein Näherungsergebnis, das den Zusammenhang zwischen der Planetenbewegung und der Raumzeitkrümmung der Sonne beschreibt. Dieser Begriff ist eine Erweiterung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und zeigt, wie die Planetenbewegung durch die relativistische Theorie eine Abweichung von der klassischen Theorie erfährt, was insbesondere durch die Präzession des Perihels von Planeten und die Ablenkung von Licht durch Gravitationsfelder sichtbar wird.

Wie beeinflusst die Anfangsverteilung von Dichte und Geschwindigkeit die Entwicklung kosmischer Strukturen?

Alle Herleitungen, die hier diskutiert werden, finden sich detailliert in Krasiński und Hellaby (2004a). Mithilfe der beschriebenen Methoden wurden numerische Entwicklungen verschiedener Anfangskonfigurationen – definiert zum Zeitpunkt der letzten Streuung – simuliert, die zu heutigen Modellen von Galaxienhaufen, Voids und Galaxien mit zentralen Schwarzen Löchern führen (Krasiński und Hellaby, 2002; 2004; 2006; Bolejko et al., 2010). Auffällig ist, dass die Durchmesser der initial gestörten Regionen in Geschwindigkeit oder Dichte kleiner sind als die Winkelauflösung der beobachteten Anisotropien der kosmischen Hintergrundstrahlung (CMB).

Berechnungen basierend auf dem ΛCDM-Modell bestätigen, dass eine Differenz von ca. 300 Jahren durchaus in den Grenzen der durch die CMB-Anisotropien vorgegebenen Werte liegt. Bolejko et al. (2010) weisen darauf hin, dass die Amplitude der Anfangsgeschwindigkeitsstörung, die nötig ist, um aus einer homogenen Dichteverteilung einen Galaxienhaufen zu entwickeln, nahe am Rand der durch Beobachtungen erlaubten Werte liegt. Dagegen müsste die Dichteamplitude, die aus einer homogenen Anfangsgeschwindigkeitsverteilung denselben Endzustand erzeugt, um drei Größenordnungen größer sein als die beobachteten Werte. Daraus folgt, dass Geschwindigkeitsstörungen wesentlich effizienter Strukturen generieren als Dichtestörungen. Die Anfangs-Dichteverteilung allein bestimmt nicht das Endergebnis der Strukturentwicklung; die Verteilung der Anfangsgeschwindigkeiten kann das initiale Setup nahezu vollständig überlagern.

In den Friedmann–Robertson–Walker-(FRW)-Modellen ist die Geschwindigkeitsverteilung starr mit der Dichteverteilung über das Hubble-Gesetz verbunden und besitzt keinen separaten Einfluss. Die hier vorgestellte Methode, bei der Dichte- und Geschwindigkeitsverteilungen zu verschiedenen Zeiten spezifiziert werden, ist jedoch komplex und bislang nicht vollständig gelöst. Die Form des optimalen Geschwindigkeitsprofils, das den Beobachtungen am besten entspricht, bleibt unklar.

Das Thema der Beeinflussung planetarer Bahnen durch die kosmische Expansion wurde erstmals formal korrekt von Einstein und Straus (1945, 1946) untersucht. Sie zeigten, dass die Schwarzschild-Lösung – die das Gravitationsfeld eines punktförmigen Massezentrums beschreibt – in das kosmologische Friedmann-Modell eingebettet werden kann, ohne dass planetare Bahnen durch die Expansion des Universums beeinflusst werden. Eine wesentliche Voraussetzung für diese Erkenntnis ist die Wahl eines unveränderlichen Maßstabs („Standardlineal“), an dem Bahnen gemessen werden können. Frühere Arbeiten unterschätzten diese Problematik oft.

Mathematisch entspricht die Schwarzschild-Masse im Zentrum dem durch die Friedmann-Masse innerhalb eines bestimmten Radius entfernten Volumen. Die Koordinaten beider Lösungen stimmen an der Übergangsfläche überein, sodass die Randbedingungen einheitlich erfüllt sind. Die Größe des „Schwarzschild-Vakuols“ expandiert im Einklang mit dem Universum, die inneren Bahnen bleiben jedoch stabil. Dies zeigt, dass auf skalen von Planetensystemen die kosmische Expansion keine merkliche Auswirkung hat.

Die Erkenntnisse verdeutlichen, dass kosmische Strukturen und deren Entwicklung vielschichtig von der Verteilung der Anfangsgeschwindigkeiten und Dichten abhängen. Dabei stellt sich heraus, dass Geschwindigkeitsstörungen oft den entscheidenden Einfluss ausüben können und das traditionelle Bild, das stark auf Dichteschwankungen fokussiert, ergänzt werden muss.

Wichtig ist, dass das Verständnis kosmischer Entwicklung nicht nur von statischen Anfangsbedingungen, sondern vor allem von dynamischen Anfangsgeschwindigkeiten geprägt wird. Die Beziehung zwischen lokalen Anfangszuständen und der großskaligen Entwicklung bleibt komplex und sensitiv gegenüber kleinsten Variationen in den Anfangsparametern. Die Interpretation kosmologischer Beobachtungen und Modelle erfordert deshalb eine sorgfältige Analyse beider Größen – Dichte und Geschwindigkeit – in ihrem Zusammenspiel.