Статистический подход

Сибирский федеральный университет

Кафедра общей физики Института фундаментальной подготовки

ОБЩАЯ ФИЗИКА

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ЗАДАЧИ

Пояснение

Представлен план занятий по курсу Молекулярная физика, который читается на инженерно-физическом факультете ИИФиРЭ СФУ во 2-ом семестре обучения. В сборник для прорешивания на семинарах вошли задачи, заимствованные из курсов , Р. Кубо, , задачников , а также и . Некоторые задачи существенно переформулированы.

Красноярск 2011

Содержание

Пояснение. 1

Содержание. 2

Примерные Темы семинаров. 3

Часть 1. Статистический подход. 3

Часть 2. Термодинамический подход. 3

Учебно-методическое обеспечение раздела "Молекулярная физика" 3

Основная литература. 3

Дополнительная литература. 3

В сети. 3

Часть 1. Статистика. 4

1. Механистическое введение. 4

1.1. Шины.. 4

1.2. Механическое давление. 4

1.3. Механическое давление в цилиндре. 4

1.4. Механическое давление в сфере. 4

2. Идеальный газ. 4

2.1. Подобие в газе. 4

2.2. Сжатие газа. 4

2.3. Авария на подлодке. 4

2.4. Пипетка. 4

2.5. Пробка. 4

2.6. Колебания газа. 4

3. Динамика молекул. 5

3.1. Внутреннее движение тумана. 5

3.2. Подобие скоростей. 5

3.3. Легкий газ быстрее. 5

3.4. Дробь молекул по стене. 5

3.5. Давление и поглощение. 5

3.6. Сила сопротивления. 5

3.7. Вращение молекулы.. 5

4. Теплоемкость, политропы и изопроцессы.. 5

4.1. Теплоемкость воздуха. 5

4.2.Удельные и молярные теплоемкости. 5

4.3. Теплоемкость молекулы.. 5

4.4. Теплоемкость опоры.. 5

4.5. Изотерма и адиабата. 5

4.6. Изотерма и изобара. 6

4.7. Политропа. 6

4.8. Политропа и изотерма. 6

4.9. Газ и пружина. 6

4.10. Когда теплоемкость отрицательна?. 6

4.11. Теплоемкости по Дебаю 6

5. Вероятности. 6

5.1. Биномиальное распределение. 6

5.2. Распределение Пуассона. 6

5.3. Распределение Максвелла. 7

5.4. Полная скорость. 7

5.5. Самая быстрая молекула. 7

6. Распределение Максвелла-Больцмана. 7

6.1. Скорость атомов. 7

6.2. А в городе и шум и пыль и стук карет. 7

6.3. Состав атмосферы.. 7

6.4. Центрифуга. 7

6.5. Характерные скорости * 7

7. Броуновское движение. 7

7.1. Масса инфузории. 7

7.2. Флуктуации зеркала. 7

7.3. Диаметр молекулы.. 7

7.4. Свободный пробег в смеси. 7

7.5. Опыт Перрена. 8

8. Контрольная работа 1. 8

часть 2: Термодинамика. 8

9. Первое начало термодинамики. 8

9.1. Внутренняя энергия воздуха. 8

9.2. Обогрев. 8

9.3. Техника безопасности. 8

9.4. Процессов много, а внутренняя энергия одна. 8

9.5.Амортизация. 8

9.6.Частные производные. 8

9.7.Работа сжатия воды.. 8

10. Цикл Карно, второе начало термодинамики. 9

10.1. Паутина. 9

10.2. КПД.. 9

10.3. p, V-круг. 9

10.4. Что важнее, нагреватель или холодильник?. 9

10.5. Опыт Дарлинга * 9

10.6. Вечно пьющая птичка * 10

10.7. Цикл Карно в холодной воде * 10

11. Температура, энтропия. 10

11.1. Градус Делиля. 10

11.2. Замерзание ртути. 10

11.3. Градусники. 11

11.4. КИЭ.. 11

11.5. Холодильник. 11

11.6. Кондиционер. 11

11.7. Энтропия кристалла * 11

12. Термодинамические потенциалы.. 11

13.1. Последовательность нагревания и сжатия. 11

13.2. Энтальпия. 11

13.3. Термодинамические функции идеального газа. 11

13.4. Закон Гесса. 11

13.5. Термодинамика пружины.. 12

13.6. Термодинамика резины.. 12

13.7. Уравнение Кирхгофа * 12

13.8. Нагрев конденсатора * 12

13.9. Втягивание диэлектрика *. 12

13.10. Придавим севшую батарейку *. 12

13.11. Испарение капли. 12

13. Реальный газ. 12

14.1. Несколько молей реального газа. 12

14.2. Критические параметры.. 12

14.3. Приведенные параметры.. 13

14. Эффект Джоуля-Томсона. 13

14.1. Внутренняя энергия реального газа. 13

14.2. Дросселирование воздуха. 13

15.2. На перевале холодно. 13

15.2. Тяга. 13

15.3. Реактивная сила. 13

15.4. Реактивное топливо. 13

15.5. Пучок ксенона. 13

15.6. Изменение скорости звука с температурой. 13

15.7. Работа в бегущей волне *. 13

15. Фазовые переходы.. 13

15.1. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса * 13

15.9. Насыщенный пар. 13

15.9. Уравнение Гельмгольца * 14

15.10. Теплота испарения * 14

15.11. Работа и теплота испарения. 14

15.12. Водяной пар при сгорании водорода. 14

Аномальные вещества * 14

15.13. Тройная точка воды * 14

15.14. Сплав * 14

16. Явления переноса. 14

16.1. Подобие в остывании. 14

16.2. Сцепление по воздуху. 14

16.3. Газопровод. 15

17. Контрольная работа 2. 15

Письменный опрос. 15

Примерные Темы семинаров

Часть 1. Статистический подход

1.  Кинетическая теория идеальных газов.

2.  Уравнение состояния идеального газа.
Изопроцессы в газах

3.  Первое начало термодинамики.

4.  Теплоёмкость.

5.  Число степеней свободы

6.  Распределение Больцмана

7.  Распределение Максвелла

8.  Контрольная работа

Часть 2. Термодинамический подход

9.  Циклические процессы.

10.  Тепловые машины и их эффективность. Цикл Карно

11.  Второе начало термодинамики. Энтропия

12.  Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критические параметры и критическое состояние вещества

13.  Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса. Эффект Джоуля - Томсона

14.  Фазовые переходы.
Уравнение Клапейрона-Клаузиуса.

15.  Явления переноса

16.  Контрольная работа

Учебно-методическое обеспечение раздела "Молекулярная физика"

Основная литература

·  . Термодинамика. М.:Высш. Шк., 1991

·  . Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1990.

·  Р. Кубо. Термодинамика. М.:Мир, 1970

·  Физика макросистем. Основные законы. М.: Наука, 2001.

·  , . Молекулярная физика. М.: Наука, 1976.

·  . Молекулярная физика. М.: Высшая школа, 1987.

·  Сборник задач по общему курсу физики. Т.2. Под ред. . М.: Наука. 2006.

·  Задачи по общей физике. М.: Наука, 1982.

Дополнительная литература

·  Ф. Рейф. Статистическая физика. Берклеевский курс физики. Т. 5. М.: Наука, 1986.

·  Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 4. Кинетика. Теплота. Звук. М.: Мир, 1977.

·  . Курс общей физики. Т. 1. М.: Наука, 1986.

·  Р. Пенроуз, Новый ум короля: о компьютерах, мышлении и законах физики 2003

·  М. Льоцци, История физики, М.:Мир, 1970, 464 с.

·  , , и др. Задачи по физике. 2-е изд., Наука, 1988, 416 c.

·  , Решение задач по физике. Общие методы ВШ, 1986, 129 c.

·  , Физика: справочные материалы 1991, 368 c.

·  . Опорные конспекты 10-11 кл. 1991, 34 листа.

В сети

·  http://edu. *****/ Физический факультет. Основы термодинамика и молекулярная физика. Кодовое слово: billiard

·  http://www. /mathphysics. html – управляемые модели физических явлений

·  http:/// – красивые 3Д-мультики по физике

·  http://tube. *****/browse/2 – советские учебные фильмы с сайта СФУ

·  http://nanoreisen. org/ – наглядная нанофизика. Мультики о работе компьютера, светодиода, структуре ДНК.

·  http://www. *****/ – наглядные этюды. «Почему канализационный люк круглый, а не квадратрный?»

·  http://www. dimensions-math. org – четвертое измерение, смотрят даже дети (все видео на рутрэкере)

·  http://**/Section. aspx/Show/27517 – Роснанофорум, ноябрь 2010. Презентации и видеозаписи докладов.

·  http://my. *****/community/material_science/journal – обзоры новых материалов ( и др)

·  http://***** – Учебные фильмы по физике и химии (703 фильма), Физика - коллекция Audioкурсов

·  http:// – Powers of ten – масштабы мира; «Жидкий азот опасно, не повторять!» демонстрации НГУ, ; Walter Lewin – курсы по физике в Массачусетском технологическом (на четком английском языке)

·  Моделирование в физике: Заработало (game); (freeware); Interactive Physics, MatLab – для инженеров.

Часть 1. Статистика

1. Механистическое введение

1.1. Шины

Почему нагревается насос при накачивании шины?

1.2. Механическое давление

На чаще весов прыгает N шариков массы m каждый. Какова средняя сила, действующая на чашу весов, если скорость шариков по модулю не меняется? Увеличивается или уменьшается эта сила, если после удара скорость каждого шарика уменьшается?

1.3. Механическое давление в цилиндре

В цилиндре под поршнем массы М прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, N шариков массы m каждый (N>>1). Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно h. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать?

1.4. Механическое давление в сфере

Внутри сферы радиуса R со скоростью v движется частица массы m, упруго ударяясь о ее стенки. Скорость частицы образует угол a с радиусом, проведенным в точку удара. Какова по модулю средняя сила, действующая со стороны стенок сферы на частицу? Какова средняя сила, действующая на единицу площади сферы, если в единице объема содержится N таких частиц? Частицы между собой не сталкиваются.

2. Идеальный газ

2.1. Подобие в газе

Объем газа уменьшили в два раза, а температуру увеличили в полтора раза. Во сколько раз увеличилось давление газа?

2.2. Сжатие газа

Чтобы изотермически уменьшить объем газа в цилиндре с поршнем в n раз, на поршень поместили груз массы m. Какой массы груз следует добавить, чтобы объем газа изотермически уменьшился еще в k раз?

2.3. Авария на подлодке

Баллон вместимости 50 л наполнили воздухом при 27°С до давления 10 МПа. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если вытеснение производится на глубине 40 м? Температура воздуха после расширения 3 °С.

2.4. Пипетка

На какую глубину в жидкость плотности r надо погрузить открытую трубку длины L, чтобы, закрыв верхнее отверстие, вынуть столбик жидкости высоты L/2? Атмосферное давление Р.

2.5. Пробка

Давление воздуха внутри бутылки равно 0,1 МПа при температуре 7 °С. На сколько нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 10 Н. Сечение пробки 2 см2.

2.6. Колебания газа

Найдите период малых колебаний поршня массы m, разделяющего гладкий цилиндрический сосуд сечения S на две части длины l каждая. По обе стороны от поршня находится газ при давлении Р0 и температуре Т0. Решите задачу в предположении, что при колебании поршня температура газа не меняется. Как изменится ответ в случае адиабатических колебаний?

3. Динамика молекул

3.1. Внутреннее движение тумана

Оцените среднюю кинетическую энергию и среднеквадратичную скорость частичек тумана диаметра 10 мкм, находящихся в воздухе при температуре 5 °С.

3.2. Подобие скоростей

Во сколько раз различаются среднеквадратичные скорости двух частичек, совершающих броуновское движение в капле воды, если их массы различаются в четыре раза?

3.3. Легкий газ быстрее

В секции 1 сосуда находится смесь гелия с водородом. Парциальное давление водорода и гелия одинаково. В секции 2 сосуда вакуум. На короткое время в перегородке открывают отверстие A. Определите отношение давления гелия к давлению водорода в секции 2.

3.4. Дробь молекул по стене

Оцените число молекул воздуха, попадающих на 1 см2 стены вашей комнаты в 1 с, и импульс, переданный ими стене.

3.5. Давление и поглощение

Во сколько раз изменится давление газа, если половина молекул, ударяющихся о стенку, вдруг начнет поглощаться ею?

3.6. Сила сопротивления

В разреженном газе с постоянной скоростью v движется шар радиуса r. Число молекул в единице объема газа n, масса молекулы m, тепловые скорости молекул значительно меньше скорости шара. Оцените силу сопротивления, действующую на шар.

3.7. Вращение молекулы

Найти значения средней энергии , приходящейся, согласно классической теории газов, на одну степень свободы вращательного движения молекулы газа при t = 27°C. Найти значения средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при этих условиях. Момент инерции молекулы кислорода вокруг оси, перпендикулярной к оси симметрии молекулы,.

4. Теплоемкость, политропы и изопроцессы

4.1. Теплоемкость воздуха

Вычислить удельную теплоемкость воздуха при постоянном объеме, считая его смесью кислорода О2 и азота N2 с отношением масс компонентов 23:77. Удельная теплоемкость газообразного кислорода при постоянном объеме равна 0,158 кал/(г град), а газообразного азота 0,176 кал/(г град).

4.2.Удельные и молярные теплоемкости

Удельные теплоемкости кобальта и золота соответственно и . Определить их молярные теплоемкости в единицах , если моль кобальта весит 58,9 грамма, а моль золота — 197,0 грамма.

4.3. Теплоемкость молекулы

Определить молярные теплоемкости соединений NaCl, , , считая их идеальными твердыми телами.

4.4. Теплоемкость опоры

Два одинаковых металлических шара имеют одинаковую температуру. Один подвешен на нерастяжимой нити, другой лежит на несжимаемом основании. Шары адиабатно изолированы в соответствующих точках соприкосновения с нитью и горизонтальным основанием. Теплоемкость какого шара больше и почему? Усилится ли различие теплоемкостей, если шары будут полые; если у них увеличить радиус; если их заменить резиновыми шарами, наполненными газом?

4.5. Изотерма и адиабата

Объясните, почему расширение газа при постоянной температуре (изотермическое расширение) возможно только при подведении к газу тепла.

4.6. Изотерма и изобара

Объем газа увеличился в два раза: один раз изотермически, другой раз изобарически. В каком из этих двух случаев газ совершит бóльшую работу?

4.7. Политропа

Цилиндр ABCD, закрытый сверху и открытый снизу, прикреплен к стенке бассейна, заполненного водой. В верхней части цилиндра КВСМ находится 1 моль гелия, отделенный от воды поршнем (ВК = 2h). Гелий нагревают, пропуская ток по спирали. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы поршень опустился на расстояние h, AK > h? Массой поршня, трением и теплопроводностью пренебречь. Бассейн широкий. Плотность воды r, сечение цилиндра S.

4.8. Политропа и изотерма

Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся по закону

а) PV2 = const,

б) P2V = const,

в) P/V = const?

Определите теплоемкость в этих процессах.

4.9. Газ и пружина

Найдите теплоемкость системы, состоящей из перекрытого поршнем сосуда с одноатомным газом (параметры газа Р0, V0, T0). Поршень удерживается пружиной. Слева от поршня вакуум. Если газ откачать, поршень соприкоснется с правой стенкой сосуда, а пружина будет не деформирована. Теплоемкостями сосуда, поршня и пружины пренебречь.

4.10. Когда теплоемкость отрицательна?

На плоскости с координатными осями V, p (рис.) через некоторую точку А проведены изотерма Т и адиабата S идеального газа. Показать, что политропные процессы (кривые DAD' и ЕАЕ') происходят при отрицательной и положительной теплоемкости соответственно.

4.11. Теплоемкости по Дебаю [*]

При низкой температуре по закону Дебая теплоемкость СV пропорциональна кубу термодинамической температуры: CV = aT3. Показать, что разность теплоемкостей Cp - CV кристаллов при T®0 К пропорциональна седьмой степени температуры.

5. Вероятности

5.1. Биномиальное распределение

В сосуде находятся 5 молекул газа. Мысленно разобьем сосуд на две равные части. Каждая из молекул может находиться в выделенной половине объема или не находиться в ней. Рассмотреть "макроскопическое" состояние, когда m молекул газа находятся в выделенной половине сосуда, и найти число микроскопических состояний Гm, с помощью которых оно реализуется. Принять m равным 0, 1, 2, 3, 4, 5. Определить также общее число микросостояний Г0 и частоту реализации всех рассмотренных «макросостояний». Термин «макроскопическое состояние» здесь использован условно, поскольку в системе всего 5 частиц, и она, строго говоря, не является статистической. По этой же причине вместо «вероятность» употребляется термин «частота». Проверьте выполнение условия нормировки вероятности.

5.2. Распределение Пуассона

Уровень технологии, используемый фирмой Кодак, при производстве фотопленки, гарантирует вероятность брака не выше 10-2 процентов. Каждый сотый житель города с миллионным населением раз в месяц покупает пленку Кодак. Рассчитать вероятность того, что в данном городе за месяц продадут m бракованных фотопленок Кодак (m = 0, 1, 2, 4, 10). Построить график Р(m).

5.3. Распределение Максвелла

Сколько частиц в моле водорода имеют компоненту скорости в выбранном направлении от 500 м/с до 502 м/с, если температура водорода t = 27°С.

5.4. Полная скорость

Сколько частиц в моле водорода имеют скорость от 500 м/с до 502 м/с, если температура водорода t = 27°С.

5.5. Самая быстрая молекула

Оцените, какую скорость имеет самая быстрая молекула в комнате.

6. Распределение Максвелла-Больцмана

6.1. Скорость атомов

Источник атомов серебра создает узкий ленточный пучок, который попадает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Устройство начинает вращаться с угловой скоростью w = 100 p рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол j =0,1 p рад от первоначального положения.

6.2. А в городе и шум и пыль и стук карет

На высоте 30 м над поверхностью Земли в 1 см3 воздуха содержится примерно 102 пылинок, а у самой поверхности - примерно 105. Определите среднюю массу пылинки и оцените ее размер, предполагая, что плотность пылинки 1,5 г/см3. Температура воздуха 27 °С.

6.3. Состав атмосферы

У поверхности Земли молекул гелия почти в 105 раз, а водорода почти в 106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул гелия будет равно числу молекул азота? Водорода? Принять среднюю температуру атмосферы равной 0 °С.

6.4. Центрифуга

Для определения относительных молекулярных масс коллоидальных частиц исследуют распределение их концентрации в поле центробежной силы, возникающей при вращении центрифуги. Найти относительную молекулярную массу коллоидальных частиц, если известно, что отношение их концентраций в местах, расположенных от оси центрифуги на расстояниях , равно . Плотности частиц - , растворителя - . Угловая скорость вращения центрифуги

6.5. Характерные скорости *

Получить выражения для наиболее вероятной, средней и среднеквадратичной скоростей распределения Максвелла.

7. Броуновское движение

7.1. Масса инфузории

Оцените массу инфузории, на направленное движение которой со скоростью 1 мкм/с слабо влияет тепловое движение.

7.2. Флуктуации зеркала

Зеркальце гальванометра подвешено на кварцевой нити. На зеркальце падает узкий параллельный луч света и, отражаясь от него, попадает на экран, расположенный на расстоянии 20 м от зеркальца. Температура воздуха 300 К. Оцените, на сколько увеличится радиус светового пятна на экране в результате теплового движения зеркальца, если повороте зеркальца на угол j на него со стороны нити действует момент сил М = - kj, где k = 1,38×10-15 Н×м. Как изменится ответ, если температуру воздуха понизить до 100 К?

7.3. Диаметр молекулы

При атмосферном давлении и температуре 0 °С длина свободного пробега молекулы водорода равна 0,1 мкм. Оцените диаметр этой молекулы.

7.4. Свободный пробег в смеси

В сосуде находится смесь двух газов. В единице объема смеси содержится n1 молекул одного и n2 молекул другого газа. Радиусы молекул соответственно R1 и R2. Оцените длину свободного пробега молекул этих газов.

7.5. Опыт Перрена

Для определения числа Авогадро Перрен измерял распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение числа частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстояние l=30 мкм, равно 2,08. Плотности частиц = 1,194 г/, воды =1 г/. Радиусы частиц r = 0,212 мкм. На основании этих данных вычислить число Авогадро. Температура воды t=18°C.

8. Контрольная работа 1

часть 2: Термодинамика

9. Первое начало термодинамики

9.1. Внутренняя энергия воздуха

Чему равна при нормальных условиях внутренняя энергия 1 см3 воздуха? 1 кг воздуха?

9.2. Обогрев

Воздух в комнате объемом V нагрели от температуры Т0 до Т при атмосферном давлении P0. Как изменилась внутренняя энергия воздуха внутри комнаты?

9.3. Техника безопасности

Оцените скорость вылета пули из патрона, брошенного в костер.

9.4. Процессов много, а внутренняя энергия одна

Переход идеального газа из начального состояния (р1, V1, T1) в конечное состояние (р2, V2, T2) совершается с помощью трех квазистатических процессов, изображенных на диаграмме фиг. 10: а) 1A2, б) 1B2 и в) 1DC2. Чем определяется возрастание внутренней энергии при переходе 1 ® 2? Определить также для каждого процесса работу, совершаемую системой, и передаваемое тепло. Удельную теплоемкость считать постоянной.

9.5.Амортизация

Поршень массы М, замыкающий объем V0 одноатомного газа при давлении Р0 и температуре Т0, движется со скоростью u. Определите температуру и объем газа при максимальном сжатии. Система теплоизолирована, теплоемкостями поршня и сосуда пренебречь.

9.6.Частные производные

Для ртути при 0 °С и атмосферном давлении коэффициент расширения равен a=1,8 10-4 °С-1, изотермический модуль всестороннего сжатия К = 2,56 105 атм. Найти термический коэффициент давления b, который определяется как отношение увеличения давления тела при нагревании на 1 °С к давлению Р0 при 0 °С при условии, что объем тела поддерживается постоянным.

9.7.Работа сжатия воды

При 25° С объем воды V определяется выражением V = 18,066 — 0,000715 р + 0, р2 см3/моль для давлений р от 0 до 1000 атм, а =0,0045 + 0,0000014 р см3/(град моль). Определить работу, необходимую для сжатия 1 моля воды от 1 до 1000 атм при 25° С и найти возрастание ее внутренней энергии.

10. Цикл Карно,
второе начало термодинамики

10.1. Паутина

Один моль газа участвует в процессе, график которого изображен на Р, V-диаграмме. Участки 1-2 и 3-4 графика - отрезки прямых, продолжения которых проходят через начало координат, а кривые 1-4 и 2-3 - изотермы. Нарисуйте график этого процесса на Т, V-диаграмме. Найдите объем V3, если известны объемы V1 и V2 = V4.

10.2. КПД

Доказать приводимые ниже выражения для КПД трех циклов, используемых в двигателях внутреннего сгорания. Рабочим веществом является идеальный газ:

а) цикл Отто , g = Cp/CV

б) цикл Джоуля

в) цикл Дизеля

При этом считать, что теплоемкости постоянны.

цикл Отто

цикл Джоуля

цикл Дизеля

10.3. p, V-круг

Циклический процесс представлен в координатах (p,V) в форме окружности с центром в точке (p0,V0), максимальный объем и давление равны соответственно Vmax и pmax. Изобразить на графике и найти количественно работу расширения, сжатия, работу за цикл.

10.4. Что важнее, нагреватель или холодильник?

В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на ∆Т или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

10.5. Опыт Дарлинга *

На горячую песчаную баню ставится высокий химический стакан, на дно которого налит слой анилина, а сверху почти до краев вода. Через некоторое время капля анилина поднимается к свободной поверхности воды, совершая работу против сил тяжести, а потом снова падает на дно Этот процесс будет повторяться до тех пор, пока баня нагревается. Как объяснить такое движение капли? Не противоречит ли оно второму началу о невозможности периодического совершения работы при использовании теплоты только одного источника?

10.6. Вечно пьющая птичка *

Красивую наглядную иллюстрацию второго начала термодинамики дает детская игрушка «Птичка Хоттабыча». Она представляет собой стеклянную, наглухо запаянную фигурную ампулу на металлической оси. Ампула наполнена легко испаряющейся жидкостью. В равновесии ствол птички отклонен на несколько градусов от вертикали. Головка и клюв покрыты тонким слоем ваты. Если немного увлажнить головку, опустив, например, клюв в стаканчик с водой, то птичка после этого будет сама непрерывно «пить» воду из стаканчика. Объяснить такое «поведение» птички.

10.7. Цикл Карно в холодной воде *

Рассмотрим цикл Карно с водой в качестве рабочего вещества. Температуры теплоотдатчика и теплоприемника равны соответственно 6 и 2 °С: при 6 °С вода изотермически расширяется, а при 2 °С—изотермически сжимается. Вследствие аномального поведения воды при t < 4 °С при обеих температурах будет подводиться теплота и полностью превращаться в работу, что находится в противоречии со вторым началом. Как разрешить это противоречие?

11. Температура, энтропия

11.1. Градус Делиля

-Петербургской Академии наук И. Н. Делиль в 1733 г. описал свою термометрическую шкалу. В качестве термометрического тела он применял ртуть и принимал за нуль температуры температуру кипящей воды. Объем ртути при этой точке он делил на частей (большой термометр) и намалый) и наносил соответственные деления на шкалу; оказалось, что ртуть маленького термометра в тающем льде опустилась до 150-го деления. Найти выражения для перевода градусов Делиля (малый термометр) в градусы Цельсия.

11.2. Замерзание ртути

-Петербургской Академии наук И. Брауну 25 декабря 1759 г. впервые удалось заморозить ртуть при морозе на улице в 199 °D (т. е. по шкале Делиля, см. предыдущую задачу). Об этом Б. Н. Меншуткин в своей книге «М. В. Ломоносов» пишет: «Погруженный в холодильную смесь ртутный термометр был разбит, и Браун впервые получил шарик твердой ртути. Она оказалась мягкой, как свинец, и похожей на полированное серебро. 26 декабря опыты продолжались уже вместе с Ломоносовым; мороз все крепчал и к 10 часам утра 26 декабря достиг 212 °D... В холодную смесь из снега, крепкой водки (азотной кислоты) и купоросного масла (серной кислоты) был помещен ртутный термометр. Дальнейший ход опытов Ломоносов описывает так: «Не сомневаясь, что она уже замерзла, вскоре ударил я по шарику медным, при том бывшим циркулом, от чего тотчас стеклянная скорлупа расшиблась, и от ртутной пули отскочила, которая осталась с хвостиком бывшия в трубке термометра достальные ртути, наподобие чистой серебряной проволоки, которая как мягкой металл свободно нагибалась, будучи толщиною в четверть линии. Ударив по ртутной пуле после того обухом, почувствовал я, что она имеет твердость, как свинец или олово. От первого удара, даже до четвертого, стискивалась она без седин, а от пятого, шестого и седьмого удара появились щели... И так перестав больше ртуть ковать, резать стал ножом, и по времени около 20 минут стала она походить на амальгаму или на тесто, и вскоре получила потерянную свою жидкость, то есть растопилась при таком великом морозе в 208 градусов»». Найдите из опытов М. В. Ломоносова температуру замерзания ртути в градусах Цельсия.

11.3. Градусники

Два совершенно одинаковых термометра наполнены при О °С равными по объему количествами ртути и толуола. Найти отношение длины l деления, соответствующего 1 градусу, на шкале ртутного термометра, к длине l’ деления на шкале толуолового термометра. Коэффициент объемного расширения ртути a, толуола – a’, коэффициент линейного расширения стекла b.

11.4. КИЭ

Тепловую машину, работавшую по циклу Карно с КПД η=10%, используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее коэффициент использования энергии (КИЭ).

11.5. Холодильник

Сделайте оценку (сверху) коэффициента использования энергии бытового холодильника, если температура морозильной камеры -20˚С. Как изменяется температура в комнате, если в ней включают холодильник с открытой дверцей?

11.6. Кондиционер

В помещении необходимо поддерживать температуру 25˚С, когда температура наружного воздуха 35˚С. Обеспечит ли требуемую температуру кондиционер, который при работе по циклу Карно в качестве тепловой машины имеет η=5%; на основе теоремы Карно оценить коэффициент использования энергии данной машины.

11.7. Энтропия кристалла *

При очень низких температурах молярная теплоемкость кристаллов С μ=aT3, где а – постоянная. Найти: а) удельную энтропию кристалла как функцию температуры в этой области; б) рассчитать удельную внутреннюю энергию кристалла при Т=100˚К.

12. Термодинамические потенциалы

12.1. Последовательность нагревания и сжатия

В первом опыте сосуд с идеальным одноатомным газом (параметры газа Р0, V0, T0) адиабатически сжали, совершив работу А, а затем изохорически нагрели, затратив теплоту Q. В другом опыте тот же газ сначала изохорически нагрели, приложив то же тепло Q, а затем адиабатически сжали, затратив ту же работу A. Отличается ли внутренняя энергия в конечных состояниях? Отличаются ли конечные состояния газа в опытах? Изобразите процессы на PV-диаграмме.

12.2. Энтальпия

Доказать справедливость следующих двух положений, поясняющих физический смысл понятия энтальпии: а) Энтальпия системы равна сумме внутренних энергий системы и источника работы, который оказывает на систему давление р, равное однородному давлению р внутри системы. б) Если изменение состояния системы происходит при постоянном давлении р(е), причем как до, так и после перехода она находится в состоянии теплового равновесия, то поглощенное системой количество тепла равно возрастанию энтальпии независимо от того, является ли изменение обратимым или необратимым.

12.3. Термодинамические функции
идеального газа

Найти энтальпию, свободную энергию и свободную энтальпию для моля одноатомного идеального газа.

12.4. Закон Гесса

По закону Гесса, тепловой эффект химической реакции, протекающей при постоянном давлении, или при постоянном объеме, не зависит от промежуточных реакций, а определяется лишь начальным и конечным состоянием реагирующих веществ. Следовательно, с химическими уравнениями можно обращаться как с обычными алгебраическими уравнениями, где химические символы обозначают энтальпии (или внутренние энергии, когда реакция идет при постоянном объеме). Для большей определенности принято заключать химический символ твердого вещества в квадратные, жидкого — в круглые и газообразного — в фигурные скобки. Так, [Н2О], (Н2O) и {Н2О} означают энтальпии соответственно моля льда, жидкой воды и водяного пара.

Известна теплота полного сгорания твердого углерода

[С] + {О2} = {СО2} + 394 кДж,

а также теплота сгорания окиси углерода в двуокись:

{СО} + ½ {О2} = {СО2} + 283 кДж.

Рассчитайте теплоту Q образования газообразной окиси углерода из твердого углерода и кислорода.

[С] + {О2} = {СО} + Q.

Эта теплота не может быть непосредственно измерена, потому что углерод никогда не сгорает целиком в окись углерода, а всегда с образованием некоторого количества двуокиси.

12.5. Термодинамика пружины

Имеется упругая пружина, подчиняющаяся закону Гука: при постоянной температуре удлинение х пропорционально натяжению X. Константа пропорциональности (упругая постоянная) к является функцией температуры. Найти свободную энергию F, внутреннюю энергию U и энтропию S как функции х. Тепловым расширением пренебречь.

12.6. Термодинамика резины

Путем измерения натяжения X резиновой ленты, растянутой до фиксированной длины l, найдено, что X = AT, где А (>0) — постоянная, зависящая только от длины l, a T — абсолютная температура. Показать, что внутренняя энергия U такой резиновой ленты является функцией только температуры, а энтропия ее S уменьшается с увеличением длины.

12.7. Уравнение Кирхгофа *

Теплота Q реакции, протекающей при постоянном объеме или при постоянном давлении, зависит от температуры. Определить и . Найти изменение теплоты сгорания моля водорода в воду при повышении температуры на 1 °С.

12.8. Нагрев конденсатора *

Диэлектрик с зависящей от температуры диэлектрической проницаемостью e(Т) помещен между пластинами плоского конденсатора, соединенного с батареей, являющейся источником постоянной э. д.с. (фиг.). Исследовать теплоемкость в случае замкнутой цепи и ее поведение при размыкании. Объем диэлектрика предполагается неизменным. Определить количество тепла, выделяющееся в конденсаторе, при квазистатическом возрастании разности потенциалов от 0 до U.

12.9. Втягивание диэлектрика *

Объяснить, почему диэлектрик втягивается в конденсатор, если ввести его между пластинами конденсатора, как показано на фиг.

12.10. Придавим севшую батарейку *

Найти зависимость электродвижущей силы обратимого гальванического элемента от внешнего давления.

12.11. Испарение капли *

Определить зависимость давления насыщенного пара над каплей от радиуса капли. Показать, что очень маленькая заряженная капля будет расти не только в пересыщенном паре, но даже в паре, не достигшем насыщения.

13. Реальный газ

13.1. Несколько молей реального газа

Записать уравнение Ван-дер-Ваальса для газа, содержащего молей.

13.2. Критические параметры

Рассчитать критические параметры pk, Vk, Tk уравнения Ван-дер-Ваальса.

13.3. Приведенные параметры

Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных параметрах

, , ,

т. е. таких параметрах, когда за единицы приняты критическая температура, критическое давление и критический объем моля газа.

14. Эффект Джоуля-Томсона

14.1. Внутренняя энергия реального газа

Два теплоизолированных баллона соединены между собой трубкой с вентилем. В одном баллоне объемом V1 = 10 л находится v=2,5 моль углекислого газа. Второй баллон объемом V2 = 100 л откачан до высокого вакуума. Вентиль открыли, и газ расширился. Считая газ ван-дер-ваальсовским, найти приращение его температуры.

U = CVT-a/VM; ΔT = - νa V2(γ – 1)/RV1(V1 + V2) = -3.0К

14.2. Дросселирование воздуха

Адиабатное расширение воздуха дросселированием производят при температуре Т=27˚С и перепаде давлений p=1атм=105Па; постоянные Ван-дер-Ваальса a = 0,139 Н·м4/моль2, b=3,9·10-5 м3/моль и Сp=29,3Дж/мольК. Определить понижение температуры воздуха при его дросселировании.

14.3. На перевале холодно

Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высотой 1 км. Принимая, что воздух, поднимаясь в атмосфере, расширяется как идеальный газ, оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор.

14.4. Тяга

Фабричная труба высоты 50 м выносит дым при температуре 60°С. Определите перепад давления в трубе, обеспечивающий тягу. Температура воздуха –10°С, плотность воздуха 1,29 кг/м3.

14.5. Реактивная сила

В сосуде находится газ под давлением Р. В стенке сосуда имеется отверстие площади s, размеры которого малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Определите реактивную силу, испытываемую сосудом при истечении газа в вакуумное пространство.

14.6. Реактивное топливо

Определите максимальную скорость истечения газа из сопла ракеты, если тяга ракеты создается в результате реакций:

а) 2Н2 + О2 = 2Н2О + 483 кДж/моль;

б) 2А1 + 3/2 О2 = А12О3 + 1,65 МДж/моль;

в) Be + ½ О2 = ВеО + 610 кДж/моль.

14.7. Пучок ксенона

Экспериментатору нужен пучок атомов ксенона, скорость которых равна 1 км/с. Атомная масса ксенона 131.

а. При какой температуре газа, адиабатически истекающего в вакуум, можно получить такой пучок?

б. Какую скорость могут приобрести атомы ксенона при истечении в вакуум смеси водорода и малого количества ксенона, находящихся при комнатной температуре?

14.8. Изменение скорости звука с температурой

Найти адиабатическую сжимаемость kад идеального газа при квазистатическом адиабатическом сжатии. Скорость звука определяется соотношением с = (r — плотность). Считая, что дифференцирование производится при адиабатическом изменении, вычислить скорость звука в воздухе при 1 атм и 0° С и найти ее зависимость от температуры.

14.9. Работа в бегущей волне *

Вдоль струны слева направо распространяются поперечные волны частоты n с амплитудой а. Натяжение струны равно Т. Определить работу, производимую за период частью струны, расположенной слева от некоторой точки на струне, над частью, расположенной справа от этой точки

15. Фазовые переходы

15.1. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса *

Методом циклов установить зависимость давления насыщенного пара от температуры.

dp/dT=q12/T/(V'2 – V'1)

15.2. Насыщенный пар

Вода со своим насыщенным паром находится в сосуде объемом V = 6,0 л при температуре 250°С и давлении 40 атм. Удельный объем пара при этих условиях V'П = 50 л/кг. Масса воды с паром m = 5,0 кг. Найти массу и объем пара.

mП = (V – mV'Ж)(V'П – V'Ж) = 20 г, VП = 1,0л.

15.3. Уравнение Гельмгольца *

Методом циклов найти зависимость э. д.с. гальванического элемента от температуры.

15.4. Теплота испарения *

При стремлении температуры фазового перехода «жидкость – пар» к критической температуре Тк удельная теплота испарения (конденсации) стремится к нулю. Объяснить это свойство с помощью уравнения Клапейрона-Клаузиуса.

15.5. Работа и теплота испарения

Вычислить работу испарения моля воды при переходе ее в пар при 100 °С и нормальном давлении. Определить также количество теплоты, сообщаемое при этом воде. Теплота парообразования воды: 2258 Дж/г.

15.6. Водяной пар при сгорании водорода

Количество теплоты, выделяющееся при образовании воды из элементов, равно Q1 = 287 кДж/моль, а теплота испарения воды равна Q2 = 40 кДж/моль. Определите количество теплоты, которое необходимо при образовании водяного пара из элементов.

Аномальные вещества *

Так выглядит диаграмма состояний обычных веществ, при переходе которых из твердой фазы в жидкую, объем увеличивается, а плотность уменьшается. Как выглядит диаграмма для аномальных веществ, уменьшающих свой объем при плавлении, таких как вода, чугун?

15.7. Тройная точка воды *

При давлении р = 609.2 Па и температуре t=0,01 °С лед, вода и ее пар могут в любых количествах находиться в равновесии и переходить друг в друга. При изотермическом сжатии такой системы давление не изменяется, но часть пара переходит в жидкость, а выделяющаяся при этом теплота может быть или использована на одновременное плавление льда, или отдана термостату. Вычислить массу льда, который должен быть расплавлен при таком образовании 1 г воды из пара и льда, для того чтобы этот изобарно-изотермический процесс сжатия был адиабатным.

15.8. Сплав *

На рисунке представлена фазовая диаграмма системы Сu—Ag. Жидкой фазе соответствует область выше кривой АЕВ, справа от ACF находится область a-фазы твердого раствора, а слева от BDG — область b-фазы твердого раствора. Тройная точка Е называется эвтектической. а) Как будет вести себя раствор при охлаждении, если первоначально он находился в жидком состоянии, соответствующем точке К на рисунке? б) Что будет происходить при нагревании твердого раствора, если первоначально он находился в состоянии, отвечающем точке Н (a-фаза)?

16. Явления переноса

16.1. Подобие в остывании

В разреженном газе нагретое тело остывает за время t. За какое время остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры увеличить в n раз?

16.2. Сцепление по воздуху

Определить, на какой угол j повернётся диск, подвешенный на упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см. вращается второй такой же диск с угловой скоростью w = 50 рад/с. Радиус дисков R = 10 см, модуль кручения нити f = 100 дин×с/см. Краевыми эффектами пренебречь. Движение воздуха между дисками считать ламинарным.

Как изменится результат в сильно разреженном воздухе с P = 10-4 мм. рт. ст., когда l молекул воздуха велика по сравнению с расстоянием между дисками. Для упрощения расчёта считать, что все молекулы движутся с одинаковыми по абсолютному значению скоростями, равными средней скорости молекул воздуха V = 450 м/с.

16.3. Газопровод

Определить расход массы газа Q при стационарном изотермическом пуазейлевом течении его вдоль цилиндрической трубы длины l и радиуса r, на концах которой поддерживается давление P1 и P2 (P1 > P2). Во сколько раз увеличится расход, если диаметр трубы увеличится в два раза?

17. Контрольная работа 2

Письменный опрос

Часть 1. Статистика

Статистический подход
к описанию молекулярных явлений

·  Масса и размер молекулы.

·  Число Авогадро. Объем Авогадро.

Идеальный газ

·  Главное положение МКТ. Основное уравнение МКТ.

·  Флуктуация

·  Уравнение Клапейрона-Менделеева

·  Количество атомов в молекуле газа; число степеней свободы; теплоемкости.

·  Теорема о равнораспределении энергии.

·  Закон Дюлонга и Пти.

Вероятность

·  Две монетки упали на стол. Вероятность ОО, ОР, РР?

·  Сравните квадрат среднего и среднее квадрата.

·  Бугорок вероятности. Абсцисса – непрерывная случайная величина, ордината – ?

·  Вероятность того, что непрерывная случайная величина равна среднему значению

·  Формула, название, автор распр-я: Биномиальное, редких, нормальное – Бернулли, Пуассон и Гаусс.

·  20 человек были вызваны к доске 20 раз. Что вероятнее: ни разу, один раз, два раза?

·  Макроскопические и микроскопические состояния системы.

·  Постулаты равновероятности и эргодичности.

·  Принцип Больцмана – статистическая интерпретация второго начала термодинамики.

Распределение молекул газа по скоростям

·  Принцип детального равновесия.

·  Распределение Максвелла по компонентам скоростей и по модулю скорости.

·  Нарисуйте горку серебра в опыте Штерна 1920г.

·  Что больше? Наивероятнейшая, средняя или среднеквадратичная скорости молекул газа.

·  На сколько порядков отличается скорость самой быстрой молекулы в комнате от средней скорости?

·  Вероятность скорости убывает по гиперболе, параболе, экспоненциально или логарифмически?

Распределение молекул во внешнем потенциальном поле

·  Распределение Гиббса, Больцмана, Максвелла, Барометрическое. Случайная величина распределения?

Броуновское движение

·  В непроветриваемом помещении испарившаяся молекула воды за 1 минуту перемещается на 1 см. Каково перемещение молекулы за час?

·  Изменение среды: концентрация ув4р, Т ув4р, лазером сечение ув4р. Длина свободного пробега ум4р, константа, ум4р.

·  Осень, лес, одно дерево на сотку. Деревья в сосняке в 2 раза толще, чем в березняке. Во сколько раз дальше видно партизана? В смешанном лесу?

·  Формула Эйнштейна-Смолуховского (для броуновского перемещения).

·  Что нашел Перрен? (постоянную Больцмана и число Авогадро).

Часть 2. Статистика

Школьные знания

·  Нулевое, первое, второе и третье начала термодинамики.

·  Самая низкая температура по Цельсию

·  Что в комнате летает быстрее, молекулы азота или кислорода? Порядок величины этих скоростей.

Термодинамический подход
к описанию молекулярных явлений

·  Нулевое начало термодинамики

·  Величины, описывающие механическое, тепловое и химическое взаимодействия

·  Учебник, который вы читали: Фамилия автора, название параграфа, смысл прочитанного (не читал)

Первое начало термодинамики

·  Что больше, килокалория, или килоджоуль?

·  Чем отличаются d и δ.

·  Первое начало термодинамики.

·  Термическое и калорическое уравнения состояния. Пример идеального газа.

·  Величина: P V T S U A Q C H, скорость молекулы, плотность, концентрация. Является ли функцией состояния, интенсивной величиной

Теплоемкость

·  Что такое теплоемкость. Что такое сжимаемость

·  Упорядочите по величине теплоемкости по изотерме, изохоре, изобаре, адиабате.

·  Уравнение Майера.

·  Уравнение Пуассона (адиабаты).

Второе начало термодинамики

·  Диаграммы циклов Отто, Дизеля, Карно

·  Цикл в двигателе легкового автомобиля.

·  Второе начало термодинамики.

·  Теоремы Карно

Температура и энтропия

·  Виды термометров: медицинский, бытовой, термопара, идеальная термодин. шкала температур Кельвина. Рабочее вещество?

·  Шкалы температур

·  Неравенство Клаузиуса

Термодинамические функции и равновесие

·  Внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия и свободная энтальпия (потенциал Гиббса).

·  Соотношение Гиббса. Соотношения Максвелла.

·  Принцип Ле-Шателье—Брауна.

·  Третье начало термодинамики (теорема Нернста).

Реальные газы и жидкости

·  Нарисуйте потенциал Линнарда - Джонса.

·  Уравнение Ван-дер-Ваальса.

·  Нарисуйте изотермы Ван-дер-Ваальса

·  Правило Максвелла; правило рычага.

·  Критическое состояние

·  Перечислите методы получения низких температур (Эффект Джоуля-Томсона. Ожижитель Капицы. Адиабатическое размагничивание и лазерное охлаждение).

Поверхностные явления в жидкостях

·  Изобразите зависимость поверхностного натяжения от температуры.

·  Давление под выпуклой поверхностью жидкости сравните с атмосферным.

·  Формула Лапласа

·  Принцип минимальности поверхности

·  Частичное и полное смачивание и несмачивание. Растворимость.

Фазовые переходы первого и второго рода

·  Перечислите агрегатные состояния, другие термодинамические фазы

·  Уравнение Клапейрона-Клаузиуса.

·  Нарисуйте тройную точку.

·  Примеры фазовых переходов первого и второго рода

·  Нарисуйте на диаграмме метастабильные состояния

Твердые тела

·  Перечислите симметрии кристаллов.

·  Нарисуйте элементы точечной симметрии (ось симметрии, плоскость симметрии, центр инверсии, инверсионная ось симметрии, зеркально-поворотная ось симметрии).

[*] Задача повышенной трудности.