Парабола спешит на помощь

Муниципальное казённое образовательное учреждение

«Чебаклинская средняя общеобразовательная школа»

Работу выполнил:

Хайржанов Асильбек

Ученик 9 класса

МКОУ «Чебаклинская СОШ»

Руководитель:

Учитель математики

МКОУ «Чебаклинская СОШ»

Чебаклы 2013

Содержание

Введение --

Глава 1. Построение параболы

1.1  Парабола – график квадратичной функции5-8

1.2 Парабола – геометрическое место точек

1.3 Преобразования графиков функций-19

Глава 2. Решение задач

2.1 Решение задач с помощью графика квадратичной функции20-28

2.2 Рисуем графиками

Заключение30

Литература31

Введение

На первый взгляд, понятие не ново,

И не всегда подумаешь о том,

Как важно будет в жизни это слово

И сколько смысла будет в слове том!

И Кушнир, Л. Финкельштейн. «Ода функции»,

Даны: точка О и окружность С, лежащая в плоскости, не проходящей через точку О. Пусть прямая линия, бесконечная в обе стороны (как и полагается в геометрии), движется так, что она все время проходит через О и через одну из точек окружности С. При этом движении прямая описывает поверхность, состоящую из двух раструбов (полостей). Это — коническая поверхность. Если ее пересекать различными плоскостями, тоже не проходящими через точку О, то в сечении получаются кривые линии, называемые коническими сечениями. Их три типа: эллипс, гипербола и парабола. Они были известны еще в Древней Греции. Их открыл некий Менехм около 360 года до нашей эры, а до нас они дошли по замечательному сочинению выдающегося математика Аполлония, написанному примерно 200 лет спустя.

Одна из этих кривых, которая особенно меня заинтересовала – это парабола.

Вы, наверно, видели, какие яркие и ровные пучки све­та бросают в небо мощные прожекторы. Автомобильные фары и карманный фонарик также дают ровный пучок света. Это достигается применением параболического отражателя. Форму параболы принимает струя воды, бьющая из шланга, по параболе летит мяч или камень. Все эти процессы и многие другие можно описать с помощью уравнения квадратичной функции, графиком которой является парабола.

Задачи с параметрами на квадратичную функцию и задачи, сводящиеся к квадратичным функциям, очень популярны на экзаменах в вузы, ЕГЭ, школьных олимпиадах разного уровня. Квадратичная функция является одной из главных в школьной математике, для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от учащегося требуется четкое понимание и знание всех этих свойств. При этом задач на квадратичную функцию очень много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

Проблема нашего исследования, таким образом, состоит в следующем – выяснить, как можно с помощью параболы решать более сложные задачи.

Объект исследования – парабола

Предмет исследования – способы построения парабол и применение парабол при решении задач.

Проблема, объект и предмет исследования определили тему нашего исследования  «Парабола спешит на помощь ».

Цель  – изучение и систематизация всех полученных знаний о параболе и применение параболы для решения задач.

Задачи исследования:

ü  Изучить разные способы построения параболы и виды преобразований графиков.

ü  Рассмотреть примеры построения графиков сложных функций.

ü  Решить задачи разных типов с помощью параболы.

ü  Научиться строить графики с помощью программы «AGrapherSetup».

Методы исследования:  анализ, синтез, обобщение

Глава 1. Построение параболы

Задачи:

·  Рассмотреть разные способы построения параболы.

·  Изучить преобразования графиков функций.

·  Научиться строить графики сложных функций с помощью преобразований.

1.2  Парабола – график квадратичной функции

Графиком квадратичной функции y= ax² +bx+c является квадратичная парабола.

При построении графика необходимо обращать на старший коэффициент а.

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) - это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции y=f(x)  с осью ОХ, нужно решить уравнение  f(x)=0.

Квадратное уравнение может иметь разное количество корней в зависимости от Д, следовательно, расположение графика может быть разным.

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы  с осью OY.

научной деятельности приходится, примерно, на 210 годы до нашей эры. Трактат Аполлония, озаглавленный „Конические сечения" (Коника), прославил его имя навсегда, и обеспечил ему в истории математики почетное звание „Великого Геометра".

На уроках мы познакомились с параболой, как графиком квадратичной функции. Научились строить параболу через расчет вершины и некоторых точек, принадлежащих графику функции у=ах2 + bх + с. Рассмотрим два других способа построения параболы, которые не требуют математических вычислений, то есть рассмотрим способы построение параболы при помощи линейки, треугольника, нити, кнопок, а также с помощью построения касательных к параболе.

Способ№1. Построение параболы при заданном фокусе и директрисе d..

Определение: Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F, где прямая d  называется директрисой, а точка F – фокусом параболы.

1.  Зададим прямую d и точку F, не принадлежащую этой прямой.

2.  Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой – к вершине меньшего угла треугольника.

3. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее меньший катет треугольника.

4. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету.

5. Будем перемещать треугольник и прижимать карандаш к катету так, чтобы нить оставалась натянутой. Карандаш будет вычерчивать параболу

Вывод: Парабола является геометрическим местом точек равноудаленных от F фокуса параболы и прямой d.

Способ №2. Построение параболы, путем задания касательных.

Определение: Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку, и не перпендикулярна ее директрисе называется касательной.

Возникает вопрос:

Можно ли при помощи касательных задать параболу?

1.  Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отложим около большей его стороны точку F.

2.  Сложим лист так, чтобы точка F совмещалась с любой точкой на этой большей стороне.

3.  Зафиксируем сгиб.

4.  Разогнем бумагу и по сгибу прочертим прямую линию.

5.  Согнем бумагу, и снова совместим точку F с другой точкой на большей стороне. Зафиксируем сгиб.

6.  Прочертим линию в месте сгиба.

7.  Эту процедуру повторим несколько раз. В результате должна получиться похожая картинка

Вывод: В результате сгибов листа мы получили множество прямых, которые являются касательными к параболе. Граница участков этих сгибов будут иметь форму параболы.

Обобщим способы построения параболы с помощью таблицы.

	График квадратичной функции у=ах2 +b х + с.	Парабола как геометрическое место точек.
Построение параболы	Построение параболы по точкам через расчет координат точек, принадлежащих графику функции у=ах2 +b х + с.	Построение параболы с помощью линейки и треугольника, как кривой.
Понятие вершины параболы	Вершина параболы это точка, в которой функция меняет свое поведение, т. е. возрастание меняется на убывание и наоборот. Вершина параболы рассчитывается по формуле: х0 = - b/2a; у0 = (4ас – b2)/4а или у0= у(х0 )	Вершина параболы это точка, принадлежащая самой параболе и её оси.
Понятие оси параболы	Ось параболы – это прямая параллельная оси ОУ и проходящая через вершину параболы.	Ось параболы – это прямая проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе.

Итак, параболу можно задать не только как множество точек, удовлетворяющих графику квадратичной функции, но и как результат геометрического места точек равноудаленных от F-фокуса параболы и прямой d, а также с помощью множества касательных к параболе. При построении графика необходимо знать смысл коэффициентов уравнения параболы.

1.3 Преобразования графиков функций

Общий вид функции	Преобразования
	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на  единиц ü  вправо, если ; ü  влево, если .
	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на  единиц ü  вверх, если , ü  вниз, если .
	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
	ü  При  — сжатие графика к оси ординат в  раз, ü  при  — растяжение графика от оси ординат в  раз.
	ü  При  — растяжение графика от оси абсцисс в  раз, ü  при  — cжатие графика к оси абсцисс в  раз.
	ü  При  — график остаётся без изменений, ü  при  — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
	ü  При  — график остаётся без изменений, ü  при  — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Рассмотрим подробно, как выполняются преобразования графиков на примерах.

Параллельный перенос

Параллельный перенос по оси Ох.

Параллельный перенос графика функ­ции у = ах2 вдоль оси х на |m|

(вправо при m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)2.

Построим график функции y = 2(x + 2)² и y = 2(x – 2)².

y = 2x² сдвиг на 2 единицы влево →

y = 2(x + 2)².

y = 2x² сдвиг на 2 единицы вправо →

y = 2(x – 2)².

y = 2x²

y = 2(x + 2)²

y = 2(x – 2)²

Параллельный перенос по оси Оy.

Параллельный перенос графика функции у = ах² вдоль оси у на |n|

(вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = ах² + n.

Построим график функции y = - x² + 2 и

y = - x² - 2.

y = - x² сдвиг на 2 единицы вверх→ y = - x² + 2.

y = - x² сдвиг на 2 единицы вниз→ y = - x² - 2.

y = - x²

y = - x² + 2

y = - x² - 2

Построение графика функции y = a(x – m)² + n.

Для построения графика функции y = a(x – m)² + n надо сдвинуть график функции y = ax² вдоль оси абсцисс на отрезок m, а затем сдвинуть вдоль оси ординат на отрезок n; следовательно, графиком функции y = ax² + bx + c является такая же парабола, как у = ах², но сдвинутая так, что её вершина находится в точке А(m;n), где m = x0, n = y0

Рассмотрим на примере

y = 2x²+4x+3

находим x0 = -1, y0= 1

Перепишем уравнение функции в другом виде y = 2 (x+1)² +1

Построим график данной функции, используя сдвиги вдоль осей координат.

Симметричные преобразования

График функции y = f(-x) получается с помощью симметричного преобразования графика функции y = f(x) относительно оси Оу, при этом точка пересечения с осью Оу остается неизменной.

------ y(x)=2x²+4x-5

y(-x)=2(-x)²+4(-x)-5

График функции y = - f(x) получается с помощью симметричного преобразования графика функции y = f(x) относительно оси х, при этом точка пересечения с осью х остается неизменной

------ y(x)=2x²+4x-5

-y(x)=-(2x²+4x-5)

Сжатие (растяжение) графиков

Сжатие: График функции y = f(kx) (k > 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f(x) вдоль оси Оx в k раз.

y(x)=2x²+4x-5

y(2x)=2(2x)²+4(2x)-5

Растяжение: График функции y=f(kx)

(1 >k > 0) получается с помощью растяжения графика функции y = f(x) вдоль оси Oх в 1/k раз.

------- y(x)=2x²+4x-5

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ­­­y(0.3x)=2(0.3x)²+4(0.3x)-5

При этом в обоих случаях точки пересечения графика с осью Oу остаются неизменными.

График функции у = kf(x) получается из графика функции у = f(x) растяжением или сжатием вдоль оси Oy:

при k > 1 происходит растяжение графика,

------ y(x)=2x²+4x-5

2y(x)=2(2x²+4x-5)

при 0 < k < 1 - сжатие графика.

------ y(x)=2x²+4x-5

0,3y(x)=0,3(2x²+4x-5)

При этом в обоих случаях точки пересечения графика с осью Ox остаются неизменными

Преобразования графиков, содержащих знак модуля

y=|f(x)|

Пусть требуется построить график функции у = |f(х)|.
Вспомним определение модуля величины х:

Из определения модуля следует алгоритм построения графика

Сначала мы строим график функции у = f(х). Та часть графика функции у = f(х), которая расположена в верхней полуплоскости сохраняется, а та часть, которая расположена в нижней полуплоскости, отображается симметрично относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Получившаяся в верхней полуплоскости кривая является искомым графиком функции у = |f(х)|

------ y(x)=2 x²+4x-5

|y(x)|=│2x²+4x-5│

у =f|(х)|

Правило построения графика функции у =f|(х)|.

Сначала мы строим график функции у = f(х).

Ту часть графика функции у = f(х), которая расположена в правой полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ординат, получим график.

------- y(x)=2 x²+4x-5

y(|x|)=2│x│²+4│x│-5

Построим график функции y=-0.3|3x²+4|x|-5|+3

у=3x²+4x-5	у=3x²+4│x│-5	у=│3x²+4│x│-5 │

y= 0.3|3x²+4| x |-5|	y=-0.3|3x²+4| x |-5|

Выводы:

В этой главе я повторил построение параболы как графика квадратичной функции, а также разобрал геометрические способы построения параболы. Изученные мною преобразования графиков позволят в дальнейшем выполнять построение графиков сложных функций.

Глава 2. Решение задач

Задачи:

разобрать разные типы задач, встречающиеся на ГИА, в которых используется парабола; нарисовать рисунки с помощью программы «AGrapherSetup».

2.1 Решение задач с помощью графика квадратичной функции.

Задания из Открытого банка данных:

№1

Задание 12 (№ 000) График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке? Варианты ответа 1. 2. 3. 4.

Так как ветви параболы направлены вверх, то ответы № 4,2 не рассматриваем. График пересекает ось Оу в точке (0;2) то ответом на вопрос может быть № 1,3. По графику определяем нули функции: -1,-2 подставляем данные числа в уравнение под №1

У(-1)=1+3+2=6, следовательно, №1 не является ответом.

Ответом будет №3.

№2

Ответ: №2

Очевидно, что на рисунке построен график функции y=x² путём сдвигов вдоль осей координат.

№3

По графику определяем значения коэффициентов а и с, а=1, с=3 и координаты вершины параболы (-1;2) Подставляем данные значения в уравнение.

2=1(-1)²+b(-1)+3, в=2

Ответ №3

№4 (Задание №23, ГИА 2011)

Построить график функции

При каких m прямая имеет с графиком этой функции две общие точки?

Решение:

Построим графики функций y= x² -4x -1 и у=-х²+4х-1.

Найдём координаты вершин парабол (2;-5) и (2;3).

Перепишем уравнения в другом виде y=(x-2)²-5 и у=(х-2)² +3

Построим графики с помощью сдвигов графика у=х²

Оставляем части парабол с учётом условия х≥4 и х<4, получаем график

у=-1

При прямая имеет с графиком две общие точки.

Ответ: при

№5 (Задание №17, ГИА 2010)

При каких значениях а график функции у=х²-4ах+1 симметричен относительно прямой х=1? Постройте график функции при этих значениях а.

Решение: прямая х=1 является осью симметрии графика, а так как ось симметрии проходит через вершину параболы, то х0=1

Подставляем число 1 в формулу х0=-b/2а, получаем 1=4а/2 , 1=2а, а=0,5

Получается у=х²-2х+1, у=(х-1)² Строим график сдвигом параболы у=х² на 1 единицу вправо вдоль оси Ох

№6 (Задание №21, ГИА 2011)

Построить график функции у= |х²-2х-3 |. Сколько общих точек может имеет данный график с прямой у= m?

Решение: Построим график функции у= х²-2х-3

Найдём координаты вершины параболы: х0=2/2=1, у0=1-2-3=-4, (1;-4)

Запишем уравнение в другом виде: у=(х-1)²-4

Построим график у=х² со сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вниз.

у=m, m>4

y=0

y=m, 0<m<4

у=4

Используя правило построения с модулем, отобразим симметрично нижнюю часть графика относительно оси Ох.

Ответ: при m= 0 и m>4 две общих точки;

при m=4 три общих точки;

при 0<m<4 четыре общих точки;

при m<0 общих точек нет.

№7 (из ГИА 2012)

Построить график функции

y=1-

Решение:

Преобразуем функцию y=1-=1-=1-|x²-2|

Строим график у=х², со сдвигом на 2 единицы вниз, с учётом модуля отображаем симметрично нижнюю часть графика относительно оси Ох

Симметрично отображаем график относительно оси Ох и сдвигаем на 1 единицу вверх.

№8 (демоверсия ГИА 2013, задание №23)

Построить график функции и определите, при каких значениях параметра р прямая у=р имеет с графиком одну общую точку.

Решение:

Найдём область определения функции х≠3 и х≠-2

Преобразуем числитель дроби

х²=t , t²-13t+36=0 ,t1=4 и t2=9

t²-13t+36=(t-4)(t-9)

=

у=6

Найдём нули функции х=2 и х=-3

Координаты вершины параболы

(-0,5;-6,25)

у=-4

Строим график функции у=х²+х-6 с учётом области определения

у=-6,25

у(-2)=-4, у(3)=6. на рисунке эти точки будут «выколотые»

у=6

Прямые у=6, у=-4, у=-6.25 имеют с графиком одну общую точку

Ответ: при р=-4, р=-6,25

№9 из [2]

Найти все значения а, при которых уравнение (а+4х-х²-1)(а+1-|х-2|)=0

имеет ровно три корня?

Произведение двух множителей равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Рассмотрим совокупность равенств

Преобразуем совокупность равенств

у2=х²-4х+1

у1=|х-2|-1

у=а, а=-1

Построим графики правых частей уравнения

Левая часть равна а, значит графиком является прямая у=а. Выясним с помощью графиков, в каком случаем прямая у=а будет иметь с обоими графиками три общих точки. Очевидно, что это возможно при а =-1

Ответ: при а= -1

№10 из [3]

Доказать, что уравнение (а-x²+2|x|+9)(a+|5+|x²-4||)=0 имеет не менее двух действительных корней для каждого действительного параметра а.

Произведение двух множителей равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Рассмотрим совокупность равенств

Преобразуем совокупность равенств

Построим графики правых частей совокупности, используя рассмотренные в первой главе преобразования. Левая часть равна а, значит графиком является прямая у=а.

2 корня

Выясним с помощью графиков, что прямая у=а будет иметь с обоими графиками не менее двух общих точек (две или больше). При a>5 и a < -10 два корня, при -10<a<-5 более двух корней

у=х²-2|х|-9

у=-|5+|х²-4| |

2.2 Рисуем графиками

Название графика	Интервал
y=0.2x²	-5 ≤ x ≤ 5
y=-0.2(|x|-5)²+5	-5 ≤ x ≤ 5
y=-0.2x²	-5 ≤ x ≤ 5
y=0.2(|x|-5)²-5	-5 ≤ x ≤ 5
y=-0.7x²+5	-1.75 ≤ x ≤ 1.75
y=0.7x²-5	-1.75 ≤ x ≤ 1.75
x=0.7y²-5	-1.75 ≤ y ≤ 1.75
x=-0.7y²+5	-1.75 ≤ y ≤ 1.75
y=-0.08x²+7	-5 ≤ x ≤ 5
y=0.08x²-7	-5 ≤ x ≤ 5
x=0.08y²-7	-5 ≤ y ≤ 5
x=0.08y²+7	-5 ≤ y ≤ 5	Узор для вышивки

Название графика	Интервал
Y=0.18x²+1.8	-3≤ x ≤3
Y=0.18x²+5.1	-3≤ x ≤3
Y=3.5(x+2)²+6.9	-3≤ x ≤-1.25
Y=5(x-2)²+7.7	1.25≤ x ≤2.9
Y=1.6(x+1.5)²+3.5	-2≤ x ≤-1
Y=1.6(x-1.5)²+3.5	1≤ x ≤2
Y=1.6(x-1.5)²+4.3	1≤ x ≤2
Y=0.7x²+2.3	-1.2≤ x ≤1.2
Y=1.5x²-3	-1.9≤ x ≤1.9
Y=2(x+1.2)²-2	-2.7≤ x ≤-1
Y=2(x-1.2)²-2	1≤ x ≤2.7
Y=2(x-0.8)²-2.5	0.4≤ x ≤2.22
Y=2(x+0.8)²-2.5	-2.22≤ x ≤-0.4
Y=2(x+1.5)²+0.8	-3≤ x ≤-1.55
Y=2(x+1.6)²+1.5	-3.2≤ x ≤-1.5
Y=2(x-1.5)²+0.8	1.55≤ x ≤3
Y=2(x-1.6)²+1.5	1.5≤ x ≤3.2
Y=2(x+3)²-3.6	-3.5≤ x ≤-2.5
Y=2(x-3)²-3.6	2.5≤ x ≤3.5
Y=2(x-2.5)²-6.8	1.8≤ x ≤3.25
Y=2(x+ 2.5)²-6.8	-3.2≤ x ≤-1.8	Инопланетянин

Рисунки выполнены с помощью программы «AGrapherSetup»

Заключение

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому.

Д. Пойа

Меня заинтересовала тема «Построение параболы», и я углубил свои знания о ней. Эта тема позволила мне расширить мое представление о параболе.

Добиваясь поставленной цели, я решил следующие задачи:

ü  повторил из школьного курса алгебры алгоритм построения параболы;

ü  научился строить параболу практическим путём, рассматривая её как геометрическое место точек;

ü  разобрал разные способы преобразования графиков, что позволило мне решить более сложные задачи;

ü  научился строить графики с помощью программы «AGrapherSetup»

Я думаю, что полученные мною знания еще не раз будут использованы не только на уроках математики, но при изучении других предметов, а также пригодятся мне в жизни. Эта работа научила меня правильно пользоваться дополнительной литературой, работать в программе для построения графиков, делать отбор нужного материала, работать с ним и просто решать довольно сложные задачи.

Думаю, что моя работа поможет мне при подготовке к экзаменам и в дальнейшем при обучении в старшей школе, а некоторые задания могут быть использованы и при подготовке для поступления в вуз.

Литература

1.  Математика.9 класс. Подготовка к ГИА – 2012.Учебно – методическое пособие /Под ред. , . Ростов-на–Дону: Легион – М, 2011.

2.  Математика.9 класс. Подготовка к ГИА – 2011.Учебно – методическое пособие /Под ред. , . Ростов–на–Дону: Легион – М, 2010.

3.  Математика.9 класс. Подготовка к ГИА – 2010.Учебно – методическое пособие /Под ред. , . Ростов–на–Дону: Легион – М, 2009.

4.  Квадратичная функция и её применение: Кн. для учащихся.- М.: Просвещение, 1995.

5.  Геометрия и искусство, «Мир», М., 1979 г.

6.  Шарыгин курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса сред. шк.-М.: Просвещение, 1989.

7.  Журнал «Квант», №2, 1971 г.

Интернет ресурсы:

программа «AGrapherSetup»

http://ru. wikipedia. org