Исследовательская работа по математике по теме: “Диофантовы уравнения, типы и способы решения»

Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Исследовательская работа по математике по теме:

“Диофантовы уравнения, типы и способы решения»

Предметная область: математика

Работу выполнила:Хомякова Ольга, ученица 10 класса

Учитель:, учитель математики

Образовательное учреждение:

МБОУ средняя школа №4 с углубленным изучением отдельных предметов

Брянск 2014

Содержание

1. Введение-3

2.Основная часть.---5

1.Историческая справка-----5

2.Виды диофантовых уравнений и их классификация

3. Диофантовые уравнения в части С ЕГЭ-13

4. Практическое применение теории диофантовых ур-ний -16

Заключение

5. Литература

Введение

Актуальность исследования:

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, но, например, в заданиях группы С6 в ЕГЭ встречаются уравнения 2-ой степени. Также с этими заданиями я сталкивалась в математических олимпиадах. Я заинтересовалась этой темой для того, чтобы успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Помимо этого, меня заинтересовала практическая направленность области этой темы.

Предметная областью моего исследования является математика.

Объект работы - диофантовы уравнения, типы и способы их решения.

Цель работы:

1. Повысить уровень математической культуры;

2. Развить в себе навыки исследовательской деятельности в области математики;

3. Научиться самой и научить других решать диофантовы уравнения эффективными методами;

4. Применять эти методы решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях;

5. Классифицировать методы решений дифференциальных уравнений;

6. Составить сборник задач с решениями в помощь ученикам нашей школы.

Задачи:

1. изучить исторические корни;

2. научиться пользоваться научной литературой, строить графики в современных компьютерных программах, быстро и грамотно находить информацию в интернете;

3. исследовать методы решения задач, приводимых к уравнениям первой степени с двумя переменными, выбрав самые удобные и простые;

4. научиться решать задачи из повседневной жизни, вступительных экзаменов в ВУЗы экономического направления и олимпиадных заданий, применив изученные ранее методы;

5. разработать методическое пособие для всех интересующихся (подобрать или самим составить задачи с экономическим содержанием, приводящие к решению уравнений с двумя переменными).

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, противопоставление, ранжирование, прогнозирование, наблюдение.

Гипотеза: изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по способам решения можно успешно справиться с решением текстовых задач, задач с практическим содержанием и с частью заданий С6 ЕГЭ.

Этапы работы:

1. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме;

2. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений;

3. Попытка их классификации;

4. Поиск практической значимости данной темы.

Основая часть.

1.Историческая справка.

Диофант( вероятно 3 в. н. э. – древнегреческий математик из Александрии)

Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, у которых отыскиваются целые или рациональные решения.

Эти уравнения названы по имени Диофанта ( вероятно 3 в. н. э. – древнегреческий математик из Александрии), изучавшего такие уравнения.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам неизвестно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Достаточно решить уравнение первой степени с одним неизвестным – и мы узнаем, что Диофант прожил 84 года.

Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в “Арифметику”, стиль и содержание этих книг резко отличается от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по “Началам” Евклида, его “Данным”, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. “Арифметика”, несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными. Число неизвестных диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, и поэтому иногда их называют неопределенными.

Диофантовы уравнения впервые обстоятельно исследовались в книге Диофанта “Арифметика”. Такие уравнения имеют некоторые особенности:

1. Они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными коэффициентами.

2. Требуется найти только целые, часто натуральные решения.

2. Определение, виды диофантовых уравнений и способы их решений.

Итак, диофантовым уравнением для целочисленных переменных х1 , х2, …, хn называется уравнение, которое может быть приведено к виду

P(x1, x2, …, xn)=0

Где Р - некоторый многочлен от указанных переменных с целыми коэффициентами.

Простейшим диофантовым уравнением является уравнение вида ax+by=c, где a и b – целые взаимно простые числа. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное число решений: если x0 и y0 – одно решение, то числа x= x0+bn и y= y0-an ( где n- любое целое число) также будут решениями, которыми исчерпывается вся совокупность решений.

Виды диофантовых уравнений:

1.Однородные уравнения:

Пример 1:

Итак, я предлагаю рассмотреть решение следующего уравнения:

8x+9y=43

Так как 8 и 9 взаимно простые числа, т. е. наибольший общий делитель 8 и 9 равен 1 то решение существует. Одно из решений найдем подбором:

x0=2, y0=3. Остальные решения вычисляются по формулам:

x= x0+bn

y= y0-an

Отсюда х=2+9n, y=3-8n, n принадлежит Z.

Если наибольший общий делитель d коэффициентов а и b больше 1, а свободный член с не делится на d, то уравнение ах + by = c не имеет решений в целых числах.

Пример 2:

А теперь рассмотрим линейное диофантово уравнение, которое не имеет целых решений:

5x+35y=17

Для доказательства того, что это уравнение не имеет целых решений, необходимо вынести за скобки общий множитель 5, получим 5(x+7y)=17. Тогда левая часть уравнения делится на 5, а правая часть на 5 не делится. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Любое уравнение ах + by = с, где НОД(а, b) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах.

Задача 1:

К диофантовому уравнению приводит и такая задача:

На покупку нескольких открыток по 11 рублей и конвертов по 13 рублей потратили всего 61 рубль. Сколько купили открыток?

Давайте обозначим число открыток через х, а число конвертов через y, то задача сводится к уравнению 11x +13y=61. Очевидно, что по условию задачи здесь пригодны лишь целые положительные числа. Методом подбора найдем такие числа. Данное уравнение имеет только одно такое решение: x=2, y=3.

Еще в Древнем Вавилоне родилась задача о построении прямоугольного треугольника с попарно соизмеримыми сторонами. Соизмеримость сторон означает, что найдется такой масштаб, в котором катеты и гипотенуза будут выражаться натуральными числами x и y, но тогда:

x^2+y^2=z^2.

Таким образом, вавилонская задача сводится к задаче построения всех троек натуральных чисел x, y, z удовлетворяющих предыдущему уравнению. Пифагорейцы нашли способ построения всех его решений. Но, возможно, этот способ был найден еще раньше в Вавилоне и Индии. Так или иначе, решения (x, y, z) уравнения x^2+y^2=z^2 принято называть пифагоровыми тройками: x=2n+1; y=2n(n+1); z=2n^2+2n+1, n принадлежит Z. Примеры пифагорейских троек: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13.

Однако эти формулы не дают возможности найти все пифагорейские тройки чисел, имеющие выбранное исходное число. Формулы Пифагора и Платона и их различные модификации дают только частные решения. Приведем еще примеры пифагорейских троек чисел, которые нельзя получить по указанным формулам: 72, 65, 97; 72, 320, 328.

Эти и другие пифагорейские тройки чисел дает вавилонская клинописная табличка, относимая к эпохе гг. до н. э. Метод вавилонян дает возможность найти все пифагорейские тройки, содержащие выбранные исходные числа.

Известный в теории диофантовых уравнений является проблема Ферма ( Пьер Ферма ( ) – французский математик). Эта проблема носит название великой теоремы Ферма.

Теорема:

Для любого натурального числа n>2 уравнение x^n+y^n=z^n не имеет решений в целых положительных числах x, y, z.

Она была сформулирована Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта “Арифметика”. Общее доказательство получил английский математик Уайлс в 1995 году.

2уравнения второй степени:

Следующим типом диофантовых уравнений являются уравнения второй степени ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, где a, b, c, d, e, f – целые числа. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений, например, уравнение Пелля ( Джон Пелль: английский математик): x^2-Ay^2=1( A>0, A- неполный квадрат).

Пример 3, 4 , 5, 6:

Я предлагаю вам решить 4 уравнения:

1. x(x + y)=11

2. x(x – 3y)=2

3. (x + 2y)(2x – y)= -2

4. xy - 3y + x =5

Итак, попробуем найти решение для первого уравнения:

Так как число 11 имеет делители только 1 и 11, то возможны следующие сочетания сомножителей:

1. x=1,

x + y=11

Тогда x=1, y=10.

2. x=11,

x + y=1

Тогда x=11, y= -10

3. x= -1,

x + y= -11

Тогда x= -1, y= -10

4. x= -11

x = y= -1

Тогда x= -11, y= 10

Ответ запишем в следующем виде: (1;10), (11;-10), (-1;-10), (-11;10).

Задачу №2 я предлагаю решить аналогичным способом, при помощи 4 систем.

1. х=2,

х – 3у=1

Тогда х=2, у=1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

2. х=1,

х – 3у=2

Тогда х=1, у=-1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

3. х=-1,

х – 3у=-2

Тогда х=-1, у=1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

4. х=-2,

х - 3у=-1

Тогда х=-2, у=-1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

Из этих пар чисел видно, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Задачу № 3 тоже можно решить при помощи 4 систем. Решив системы, получим следующие пары чисел: ( 0;-1), (0;1), (y=4/5), (y= -4/5)

Последние две системы не имеют целых решений, следовательно, ответ: (0;-1),(0;1).

Последнее уравнение не похоже на 3 предыдущих.

Преобразуем заданное уравнение (вынесем за скобки y и вычтем и прибавим число 3):

y(x – 3) + x – 3=5 -3 ;

В результате преобразований получаем уравнение:

( x – 3)(y + 1)=2

Так как число 2 может быть представлено 4 способами в виде произведения целых чисел 2= (-2) * (-1); 2=( -1) * ( -2); 2=1 * 2; 2= 2*1, то возможны четыре системы. Из них получаем четыре пары чисел (1; -2), (2; -3), ( 4;1), (5;0). Ответом этого уравнения будут являться все 4 пары.

Пример 7:

9x^2 – y^2= 14

Запишем данное уравнение в виде (3x – y) * (3x + y)=14. Так как число 14 с учетом порядка следования множителей может быть представлено в виде произведения целых чисел следующим образом: 14=( -2) * (-7); 14=( -7) *(-2); 14=( -1) * ; 14= (-14) * (-1); 14= 2 * 7; 14= 7 * 2; 14= 1* 14; 14= 14* 1, то будет 8 случаев.

Решив все 8 систем, мы получаем дробные значения, а значит, что это уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 8:

3x^2 + 5xy + 2y^2=7

Разложим левую часть заданного уравнения на линейные множители: Уравнение примет вид: (3x + 2y)(x + y)=7

Так как 7 число простое, то оно равно произведению двух целых чисел в четырех случаях. Решив все 4 системы, получим пары чисел (-5;4), (5; -4), ( -13;20), ( 13;-20). Эти числа и будут ответом.

Пример 9:

x^2 + y^2 – 2x + 4y=-5

В левой части уравнения выделим полный квадрат:

x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4=0

(x – 1)^2 + (y + 2)^2=0

Сумма квадратов равна 0 лишь в одном случае

( x – 1)^2=0,

(y + 2)^2=0

Решив систему, получим, что x= 1, y= -2

Ответ: ( 1; -2).

Пример 10:

x^2 – 6x + y^2 + 6y + 18=0

Докажем, что это уравнение имеет единственное целочисленное решение.

В левой части уравнения выделим полные квадраты :

( x – 3 )^2 + ( y + 3 )^2=0

Данное уравнение имеет решение, когда

x – 3=0,

y + 3=0

Т. е. при x=3, y= -3.

Теперь я предлагаю рассмотреть графический метод решения диофантовых уравнений.

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0:

1. Придать переменной х конкретное значение х= х1; найти из уравнения ах1 + by + c = 0 соответствующее значение y=y1.

2. Придать переменной х другое значение х=х2; найти из уравнения ах2 + by + c = 0 соответствующее значение y=y2.

3. Построить на координатной плоскости хOy две точки (х1;у1) и (х2;у2).

4. Провести через эти две точки прямую – она и будет графиком уравнения ах + by + с = 0.

Пример 11:

Так, например, уравнение 5x + 7y=17 можно решить графическим методом, изобразив прямую 5x + 7y= 17, и определив на этой прямой точки, обе координаты которых будут в данном случае натуральными числами.

Целые решения: (2;1),( 9;-4), ( 16;-9),(-5;6),(-12;11)

3. Диофантовы уравнения в заданиях С5 ЕГЭ.

Пример12:

Необходимо найти все пары (х, у) целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

x^2 + y^2 < 18x – 20y – 166, (1)

32x – y^2 > x62 + 12y + 271. (2)

Рассмотрим на координатной плоскости области, которые описываются заданными неравенствами. А затем выберем в них лишь точки с целочисленными координатам х, у.

Получаем два случая:

1) Неравенство (1) путем выделения полных квадратов сводится к условию

(x^2 – 18x + 81) + (y^2 + 20y + 100) < 15, или (x – 9)^2 + ( y + 10)^2 < √15

Т. е. описывает внутренность круга с центром А(9; -10) и радиусом R1=√15.

2) Неравенство (2) сводится к виду

(x – 16)^2 + (y + 6)^2 < (√21)^2,

Т. е. описывает внутренность круга с центром В(16; -6) и радиусом R2=√21.

Единственной точкой, принадлежащей одновременно двум кругам, будет точка М( 12; -8). Это выясняется подстановкой в систему числовых значений координат всех узлов квадратной сетки, соседних с точкой М.

Ответ: (12; -8).

Пример 13:

Найти наименьшее значение суммы тогда в области

Решение:

Решением данного неравенства является область, ограниченная окружностью радиусом 2 с центром в точке O(1;-2)

Пусть искомое значение , тогда

Угловой коэффициент равен -1, – значение координаты y при x=0.

Треугольник ABC прямоугольный. Чтобы найти c, достаточно найти ординату точки B. Для этого найдем координаты точек A и B. Зная, что точки лежат на прямой с точкой O(1;-2), т. е. на прямой , и на окружности , решим систему

A() C( ;)

Согласно рисунку ;

B(;)

Ответ:

4.Практическое применение теории диофантовых уравнений.

Неожиданно, лет 20-30 назад, было осознано, что эту чисто абстрактную теорию можно использовать для построения алгоритмов, которые нужны для криптографии, чтобы зашифровывать и безопасно передавать секретные сообщения, а также снимать и класть деньги в банкоматах и т. п. Теория эта оказалась востребована на практике. Яркий пример: в девяностые годы, когда математикам есть было нечего, многие уехали за границу, но многие и остались здесь, и некоторые математики из провинциальных институтов успешно сотрудничали с банками. Банкиры обратились к ним с просьбой помочь в переводе денег из дальних регионов в Москву. В России есть целая Академия криптографии и научно-исследовательские организации, которые используют такие разработки.

Знаменитый мост Золотые Ворота был построен с применением диофантовых уравнений.

Мост Золотые Ворота

Заключение.

В процессе исследования типов диофантовых уравнений мне удалось их классифицировать по способам решения, выработать алгоритм решения некоторых распространенных видов этих уравнений, научиться решать текстовые задачи, успешно справляться с заданиями части С ЕГЭ, о чем свидетельствует диплом 2 степени на всероссийской дистанционной олимпиаде по математике на сайте «Инфоурок. Ру.»

Данная исследовательская работа дала мне возможность совершенствовать навыки работы с научно-популярной литературой и освоить программы графопостроители.

Говоря о практическом использовании полученных результатов нельзя не вспомнить слова Алексея Николаевича Крылова: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

Литература:

· Г. Фалин, А. Фалин “ Линейные диофантовы уравнения”, МГУ, 2012г.

· “ Задачи в целых числах”, М, «Просвещение», 2013г.

· , , Чирский решения задач по алгебре, от простых до самых сложных, М., Экзамен, 2005.

· Квант, физико-математический журнал для школьников и студентов. Материалы вступительных экзаменов в МГУ, МФТИ и другие вузы

· , , ЕГЭ 2011, математика, Задача С5, Задачи с параметром., М., МЦНМО, 2011.

· , Чирский с параметрами, М., МЦНМО, 2007.