Тема 2. Сложные процентные и учетные ставки (стр. 2 )

Методические указания. При расчете уравновешенных ставок процента следует учесть, что выбор длины периода не влияет на полученный результат. Например, рассмотрим промежуток времени длиной 2,5 года. Он содержит 10 кварталов. При годовом расчете коэффициент наращения равен:

При квартальном расчете такой коэффициент равен:

Но эти коэффициенты равны друг другу, поскольку годовая и квартальная ставки связаны соотношением:

Отсюда получаем:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Задание 1. Годовая ставка равна 40%. Найти уравновешенную полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.

Решение.

Таким образом, уравновешенные ставки принимают следующие значения: полугодовая 18,32%, квартальная 8,77%, месячная 2,84%, дневная 0,09%.

Задание 2. Ставка процента за период 3,5 месяца равна 20%. Найти эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.

Решение. Введем обозначения: t = 3,5; i = 0,2; t’ = 6.

Требуется найти i'. В соответствии с формулой

имеем:

Отсюда:

Таким образом, эквивалентная ставка за 6 месяцев равна 36,69%.

2.2.2. Относительные ставки процента

Задание 1. Пусть годовая процентная ставка равна 40%. Требуется найти относительные полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.

Методические указания. Пусть период начисления по процентной ставке i делится на m одинаковых промежутков времени. Тогда процентная ставка i', связанная с этими промежутками, определяется через ставку i в соответствии с соотношением:

Отсюда:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение.

Таким образом, относительные ставки принимают следующие значения: полугодовая 20%, квартальная 10%, месячная 3,33%, дневная 0,11%.

Задание 2. Ставка процента за период 3,5 месяца равна 20%. Найти относительную ставку за период 6 месяцев.

Методические указания. Следует воспользоваться соотношениием:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. Введем обозначения:

t = 3,5;   i = 0,2;   t' = 6.

Требуется найти i'. В соответствии с формулой для относительной процентной ставки имеем:

Отсюда получаем: i' = 0,3428. Относительная ставка за 6 месяцев составляет, таким образом, 34,28%.

Сопоставление результатов рассмотренных выше примеров показывает следующее. Относительная ставка по своей величине оказывается выше уравновешенной ставки при переходе к периоду меньшей длины (от годового периода к полугодию, кварталу и т. д.). При переходе к периоду большей длины (от 3,5 к 6 месяцам), напротив, относительная ставка ниже уравновешенной.

Задание 3. Номинальная годовая ставка равна 40%. Определить коэффициент наращения для промежутка времени, равного полугодию, на основе относительных ставок для разных периодов начисления.

Решение. Ставка i = 0,4.

Отсюда, как было рассчитано выше:

Величина коэффициента наращения за одно и то же полугодие, вычисленная по различным относительным ставкам, оказывается различной:

Какая же из этих величин правильная? Ответ на этот вопрос (т. е. применение той или иной формулы расчета) должен быть оговорен в контракте. Если это не сделано, то каждая из договаривающихся сторон может подразумевать свою формулу, что в дальнейшем может оказаться причиной недоразумений и конфликтов.

Отметим, что ранее был проведен расчет уравновешенных ставок для номинальной 40%-ной годовой ставки. Расчеты по этим ставкам для любого промежутка времени, в частности для полугодия, дают одну и ту же величину, точную величину коэффициента наращения. Она равна 1,1832 и отличается от всех результатов, рассчитанных с применением относительных ставок.

2.2.3. Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1. Годовая ставка равна 60%. Найти уравновешенную полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.

Задание 2. Ставка процента за период 5,5 месяца равна 30%. Найти эквивалентную ей ставку за период 8 месяцев.

Задание 3. Годовая процентная ставка равна 30%. Требуется найти относительные полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.

Задание 4. Ставка процента за период 5,5 месяца равна 35%. Найти относительную ставку за период 6 месяцев.

Задание 5. Номинальная годовая ставка равна 30%. Определить коэффициент наращения для промежутка времени, равного полугодию, на основе относительных ставок для разных периодов начисления.

2.3. Рост по простым и сложным процентным ставкам

2.3.1. Характеристики роста по простым и сложным процентам

Задание. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по кварталам в течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке 30% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в пределах одного года и за пределами года?

Методические указания. Для расчетов коэффициентов воспользуйтесь выражениями:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. Результаты расчетов в пределах года представлены в табл. 2.3.1.

Таблица 2.3.1

Срок t кварталы	0	1	2	3	4
Простые проценты (1 + i t)	1,000	1,075	1,150	1,225	1,300
Сложные проценты (1 + i)t	1,000	1,068	1,140	1,217	1,300

В таблице ясно прослеживается более высокий рост по простым процентам. Расхождение между нарастанием по простым и сложным процентам особенно велико в середине годового периода и становится менее заметным по мере приближения к его левой или правой границе. При сроке вклада менее одного года для вкладчика более выгоден расчет по простым процентам, причем эта выгода особенно велика при сроке вклада около двух кварталов и становится меньшей при более коротких и при более длинных сроках вклада.

Впрочем, расхождение даже в середине года составляет один процентный пункт при ставке 30% годовых.

В табл. 2.3.2 приведены расчеты коэффициентов нарастания по той же годовой ставке 30%, но для сроков, превышающих год. Здесь хорошо видна разница в нарастании по простым и сложным процентам. Для вкладчика существенно более выгодны расчеты по сложным процентам, причем тем выгоднее, чем больше срок вклада.

Каждый рубль, положенный на счет с приростом по ставке 30% годовых, через 100 лет превратится по простым процентам в 31 рубль, а по сложным процентам – в 247 900 000 000 рублей.

Такое расхождение иллюстрирует разницу в росте по закону арифметической и геометрической прогрессии.

Таблица 2.3.2

Срок t  кварталы	1	2	3	5	10	100
Простые проценты  (1 + i t)	1,3	1,6	1,9	2,5	4,0	31,0
Сложные проценты (1 + i)t	1,3	1,7	2,2	3,7	13,8	247,9

2.3.2. Формулы срока удвоения

Задание. Рссчитайте сроки удвоения по простой и по сложной ставке для различных вариантов величины ставки.

Методические рекомендации. Воспользуйтесь формулами срока удвоения для простых процентов:

и для сложных процентов:

Решение. В табл. 2.3.3 показаны результаты расчетов срока удвоения для различных величин ставок простых и сложных процентов.

Для небольших процентных ставок (1–5%) срок удвоения по сложным процентам заметно короче, чем по простым процентам. Он составляет около 70% от срока удвоения по простым процентам. С ростом процентных ставок оба срока укорачиваются, причем по простым процентам сокращение срока удвоения идет быстрее, чем по сложным процентам, так что расхождение между ними постепенно сокращается. При ставке, равной 100%, сумма удваивается за один и тот же срок – за 1 год по каждому виду процентов. При дальнейшем росте ставки простые проценты дают меньший срок удвоения, чем сложные.

Таблица 2.3.3

Ставка %% годовых	1	2	5	10	20	40	100
Число лет для простых процентов	100	50	20	10	5	2,5	1
Число лет для сложных процентов	69,66	35,00	14,21	7,27	3,80	2,06	1

2.3.3. Связь между простыми и сложными ставками

Задание 1. Кредит предоставляется на условиях 20% годовых по сложной процентной ставке. Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года?

Методические указания. Воспользуйтесь формулой:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. По условию ic = 0,2. В соответствии с формулой для t = 1/12, получаем:

Для t = 0,5 получаем:

Для t = 1:

Для t = 2:

Проведенные в примере расчеты на конкретных числовых данных демонстрируют характер изменения величины простой процентной ставки в зависимости от изменения длины промежутка времени.

В приведенном задании был проведен расчет эквивалентной простой процентной ставки по заданной величине сложной процентной ставки. Рассмотрим теперь пример расчета эквивалентной сложной ставки по заданной простой ставке.

Задание 2. Вклад положен в банк на условиях нарастания по 20 простых процентов в год. Определить эквивалентную ставку сложных процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года.

Методические указания. Воспользуйтесь формулой:

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. По условию

По соответствующей формуле получаем для t = 1/12:

Для t = 0,5 получаем:

Для t = 1:

Для t = 2:

В этом примере, как и в предыдущем, прослеживается характер изменения эквивалентной сложной процентной ставки в зависимости от изменения длины промежутка времени.

Задание 3. Остров Манхеттен был куплен в XVII веке за 24 доллара. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивается примерно в 40 млрд долларов. Расхождение между первоначальной ценой и теперешней стоимостью колоссальное. Однако и время прошло немалое. Для того, чтобы оценить изменение стоимости, представим себе, что первоначальные 24 доллара были положены в банк на 350 лет по какой-то процентной ставке. Найдите величину этой ставки. Если она окажется приемлемой, то такое изменение стоимости земли острова будет оправданным.

Определите величину годовой процентной ставки, обеспечивающей такой рост денежной суммы для двух вариантов:

1) для простой процентной ставки;

2) для сложной процентной ставки.

Постройте графики роста.

Методические указания. Воспользуйтесь формулами:

 

Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.

Решение. Проведем расчет отдельно для простой и для сложной ставки.

1. Расчет простой процентной iп ставки дает

Таким образом, простая ставка составляет 476190476% годовых. Это фантастическая величина, на практике подобных ставок, конечно, не бывает.

2. Расчет сложной процентной ставки ic дает