Исторически то, что мы проходим, разработано математиками XVII века. Система координат, в частности, была введена в работах Декарта, потому и называется «Декартова система координат». Геометрия как наука развивалась с античных времен, однако раньше геометрические построения были делом творческим, а введение системы координат обещало свести все к операциям над числами. Итак, что такое система координат? Каждой точке плоскости вводится в соответствие пара чисел. Для этого выбираются оси координат – взаимно перпендикулярные прямые. Для каждой точки плоскости можно построить прямоугольник, включающий начало координат. Длины сторон прямоугольника в некотором выбранном масштабе и будут координатами точки.

Ну вот мы уже можем решать простейшие задачи, введя систему координат. Допустим, нам даны две точки. У них будут, соответственно, и координаты. Назовем их - первая точка и - вторая точка. Как мы можем посчитать расстояние между точками? А вот как: мы берем и строим прямоугольный треугольник. Гипотенуза будет наше расстояние неизвестное, а катеты будут соответствующими проекциями на оси, то есть и . По теореме Пифагора находим длину гипотенузы как

Давайте рассмотрим пример. Пусть даны точки с координатами (2,3) и (6,6). Расстояние между точками будет

Вторую задачу такую попробуем решить. Допустим, нам даны две точки и отрезок между этими двумя точками. Мы хотим найти на отрезке такую точку, чтобы она делила его в отношении . Обозначим две точки , а искомую точку M. Мы хотим, чтобы отношение длин было равно . Мы в школе проходили теорему Фалеса о том, что параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки на пересекающих их прямых. То есть если мы проведем три прямые, параллельные оси y, через точки , то пропорциональность длин отрезков будет сохраняться – наших искомых отрезков и отрезков, отсекаемых прямыми у оси x. Назовем соответствующие точки на оси x . Пусть точка M имеет неизвестную искомую координату x, которая соответствует точке A. Тогда можем записать , откуда находим . Точно также мы можем поступить с y-координатой и найти неизвестную y-координату точки как . В частном случае , когда отрезок делится пополам, имеем формулы . Давайте проверим это. Возьмем , первая точка (1,2), вторая точка (3,4). То есть. По нашим формулам получаем x=2, y=3

Давайте проверим, построим эту точку, она действительно лежит посредине.

Следующая наша большая тема – это прямые линии на плоскости. Какое уравнение лини на плоскости? Нужно понять, что такое вообще линия на плоскости. Для этого надо обратиться к понятию функции. Уравнение линии записывается с использованием некоторой функции двух переменных, f(x,y), в виде f(x,y)=0. В некоторых случаях это уравнение будет определять линию. Можем написать уравнение, которое никогда не будет выполняться, например, . А вот уравнение соответствует окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Частный случай такого уравнения – это уравнение прямой. Начнем с простого случая – уравнения прямой пропорциональности. Проведем линию через начало координат. Она будет соответствовать уравнению y-ax=0, где a- это коэффициент пропорциональности. Это легко доказать, поскольку для любых двух точек на прямой их координаты пропорциональны, так как мы можем построить подобные треугольники. И наоборот, если координаты пропорциональны, то точка лежит на прямой. Чтобы обобщить уравнение прямой, мы можем сдвинуть нашу простейшую прямую вдоль оси у на расстояние b. Отсюда получим уравнение y=ax+b. Она будет пересекать ось y в точке b. Коэффициент a называется угловым коэффициентом. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой на прямой получаем , где точки лежат на прямой, а -угол между осью абсцисс и прямой. С помощью выведенного уравнения мы можем построить почти все прямые на плоскости, поскольку мы имеем степень свободы – наклон прямой и степень свободы – сдвиг прямой. Мы не можем описать только те прямые, когда a обращается в бесконечность. Этот случай соответствуеежат на прямой, а еугольника с гипотенузой на прямой получаем ю прямую вдоль оси у на расстояние вт прямым, параллельным оси y. Чтобы объединить все возможные случаи, используют более общее уравнение прямой, в виде Ax+By+C=0. Когда B=0,x=-C/A – это прямая, параллельная оси y. Иначе разделим уравнение на B и получим у=-Ax/B-C/B. При a=-A/B и b=-C/B это уравнение соответствует нашему первому уравнению прямой y=ax+b. Подразумевается понятным, что все коэффициенты могут быть как положительные, так и отрицательные, чтобы не смущали минусы. Давайте построим какую-нибудь прямую. Например, 4x-2y+1= 0. Разделим все члены уравнения на 2 и приведем к виду y=2x+1/2. Любую прямую можно построить по двум точкам, поэтому нам достаточно знать две точки. при x=0 y=1/2, при x = 1 y=5/2. Имеется теорема о том, что любая прямая на плоскости соответствует какой-либо прямой, записанной с помощью этих трех коэффициентов, и наоборот, каждой прямой, выраженной этим уравнением, соответствует прямая на плоскости. Как обычно, мы должны доказать теорему в обе стороны. В одну сторону: имея прямую на плоскости, можем измерить угол с осью x - . Если угол не 90 градусов, измеряем координату точки пересечения с осью y – b и записываем уравнение прямой в виде . Иначе измеряем координату пересечения с осью x - c и записываем уравнение в виде –x+c=0. Аналогично доказываем в другую сторону: если коэффициент B не равен нулю, можем найти точку пересечения с осью y и угол наклона и построить прямую. Коэффициент B=0 – строим соответствующую вертикальную прямую.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Следующая тема – уравнение прямой с данным угловым коэффициентом, которая проходит через данную точку. Запишем прямую в виде y=ax+b. Угловой коэффициент нам дан – это a. b нам не дано, зато даны координаты точки , через которую проходит прямая. Факт, что через точку проходит прямая, означает, что если подставить координаты в уравнение прямой, равенство будет выполняться. Отсюда найдем b: . Запишем уравнение прямой в виде или . Например: наклон прямой 3, проходит через точку (1,2). Имеем y-2=3(x-1) или y=3x-1. Еще одна задача – когда угловой коэффициент не дан, а даны просто координаты двух точек, через которые проходит прямая, скажем, . Мы знаем, что через любые две точки можно провести прямую. Подставим эти две пары координат в уравнение прямой с неизвестным угловым коэффициентом: . Вычитаем из первого уравнения второе и находим a: . Далее задача сводится к предыдущей, поскольку мы знаем угловой коэффициент и можем провести прямую через первую точку. Окончательно получаем уравнение . Например: прямая проходит через точки (1,-1) и (3,4). Имеем . Еще одно уравнение прямой называется уравнение прямой в отрезках. Рассмотрим наше общее уравнение Ax+By+C=0. Мы считаем, что A,B,C не равны нулю. Разделим все члены на –C и получим

. Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, поскольку такая прямая отсекает отрезки p и q у координатных осей x и y, как показано на рисунке.

Мы получили мощный инструмент для анализа геометрических понятий, потому что мы можем уже не строить прямые, а работать с числами. Так, мы можем найти координаты пересечения прямых. Предположим, нам даны две прямые: . Координаты точки пересечения x,y удовлетворяют обоим уравнениям – x,y, подставленные в первое уравнение, давали бы 0, и x,y, подставленные во второе уравнение, давали бы 0. Умножим первое уравнение на , а второе уравнение на . После этого можем исключить x вычитанием получившихся уравнений и выразить y:. Умножив первое уравнение на , а второе уравнение на , исключим y и выразим x: . Вот мы получили координаты точки пересечения. Обратим внимание, что при знаменатель обращается в 0, то есть решения не существует. В каких случаях решения не существует? Когда эти прямые параллельны. То есть условие - это условие параллельности прямых. Разделим первое уравнение прямой на , а второе – на .

Имеем угловой коэффициент первой прямой , у второй прямой . Когда эти угловые коэффициенты равны, прямые параллельны – или совпадают. Когда угловые коэффициенты равны, прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в бесконечном количестве точек. Это условие совпадает с полученным ранее условием параллельности. Рассмотрим пример пересекающихся прямых: 2x+5y-7=0, 3x+2y-5=0. Подставив в формулы, получим координаты точки пересечения (1,1). Через эту точку проходят обе прямые. В качестве второй точки возьмем для первой прямой (-1.5, 2 ), для второй прямой (0,2.5). На графике можем убедиться, что прямые пересекаются. Как получить условие совпадения прямых? Нужно, чтобы в наших формулах обращался в 0 не только знаменатель, но и числитель. Для этого, из второго уравнения, получим . Вот пример совпадающих прямых: 2x+5y=7, 4x+10y=14. Отсюда видим, что два разных уравнения могут описывать одну и ту же прямую.

Теперь, как найти угол между прямыми. Нам известен угол между прямой и координатной осью. Чтобы найти угол между двумя прямыми, нужно от одного такого угла отнять второй такой угол. Пусть , тогда

Эта формула важна сама по себе, но из нее мы можем получить условие перпендикулярности прямых. Когда угол между прямыми 90 градусов, тангенс угла обращается в бесконечность, следовательно, знаменатель обращается в 0. То есть - это условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим пример. Пусть даны две прямые, 3x-y=1, x+3y=7. Можем найти координаты пересечения, это точка (1,2). Угловые коэффициенты 1/3 и -3, то есть прямые перпендикулярны. Второй точкой возьмем для первой прямой (0,1), для второй прямой (4,1). По построению видим, что прямые перпендикулярны.

Мы уже много знаем про отношения координат на плоскости и можем решить следующую задачу: дана прямая Ax+By+C=0, дана точка M, не обязательно лежащая на прямой. Надо найти расстояние от точки до прямой. Мы знаем, что наименьшее расстояние от точки до прямой будет по перпендикуляру. Перпендикуляр – это отрезок прямой. Мы должны провести вторую прямую, перпендикулярную данной и проходящую через точку M, найти их пересечение, и расстояние от точки пересечения до точки M будет нашим искомым расстоянием. Что для этого делаем? Мы знаем угловой коэффициент перпендикулярной прямой. Если угловой коэффициент данной прямой -A/B,

то угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет B/A, как мы получили из условия перпендикулярности прямых. И мы знаем уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. Это будет, как мы знаем, , а a=B/A, то есть . Точка пересечения удовлетворяет уравнению данной прямой, то есть . Из этих двух уравнений мы должны найти координаты точки . Первое уравнение при этом будет иметь вид Давайте ко второму уравнению прибавим и отнимем и запишем его в виде Итого у нас есть два уравнения и два неизвестных; нашими неизвестными являются . Я подставлю первое уравнение во второе и умножу на A, и получу.Отсюда .Аналогично могу поступить для y и получить . Из этих уравнений можно найти расстояние между точками: как мы знаем, . Из-под знака корня можем вынести , а под корнем останется . Окончательно, . Например, точка M с координатами (-6,3), прямая с уравнением 3x-4y+15. Две точки на прямой будут (-1,3) и (-3,1.5).