МК-71-98
ПРИНЦИП МИНИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ВЫДЕЛЕНИЯ ЗАДАННОЙ ГАРМОНИКИ
,
Нижегородский государственный университет им. , Нижний Новгород, Россия
Рассмотрим управляемый процесс распространения тепла в теплоизолированном однородном стержне длины L
где 
– температура в сечении с координатой 
в момент времени 
; 
– коэффициент температуропроводности, постоянная величина; 
– плотность распределения источников тепла, непрерывная функция на множестве 
имеющая кусочно-непрерывную производную по при каждом фиксированном 
Функция 
имеет непрерывную производную на отрезке 
удовлетворяет условиям 
Существует единственное решение поставленной задачи, его можно найти методом Фуре. Пусть 
– коэффициенты Фурье при фиксированном функций 
соответственно, 
– собственные функции, 
— собственные числа. Коэффициенты Фурье 
удовлетворяют бесконечной системе дифференциальных уравнений
(1)
Пусть 
и, кроме того, сходится ряд 
Требуется найти такое управление 
, чтобы в любой момент времени сумма коэффициентов Фурье функции температуры 
оставалась постоянной:
(2)
Укажем один из способов, с помощью которых можно удовлетворить это фазовое ограничение. Для этого рассмотрим вспомогательную систему
(3)
(4)
где 
– непрерывные функции времени, последовательность которых в каждый момент времени суммируема с квадратом и удовлетворяет условию
(5)
Решение системы (3) имеет вид:
(6)
Замена переменных
приводит к следующему результату: если в уравнениях (3) в качестве управляющих функций взять величины 
то фазовое ограничение (2) будет выполнено автоматически.
Если выполняется равенство (2) и 
то степень отклонения температурного распределения 
в момент времени 
от k-й собственной функции 
можно характеризовать величиной 
Пусть требуется минимизировать это отклонение, что эквивалентно достижению минимума функционала
Очевидно, данная задача эквивалентна следующей: найти последовательность непрерывных функций 
удовлетворяющих условию (5), на которой реализуется минимум функционала
(7)
где 
– решение системы уравнений (3).
Для задачи , (7) доказан принцип максимума: чтобы 
было оптимальным управлением, а 
– соответствующей ему оптимальной траекторией, необходимо, чтобы функция Гамильтона
принимала минимальное значение в области управления 
на элементе . Здесь 
сопряженные функции, имеющие вид
(8)
С учетом (6), (8)
Список литературы
1. , , Старобинец схема метода вариаций и необходимые условия экстремума // Изв. АН СССР, сер. матем. –1985. – Т. 49. – №1. – с. 141-159.
2. , Шашков управление линейными распределенными системами. – Н. Новгород, Изд-во ННГУ, 1996.
