Основы теории вероятностей и стохастических процессов (стр. 3 )

161. Найти функции распределения, которым соответствуют следующие характеристические функции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

162. Пусть случайные величины Х и Y независимы и одинаково распределены, их характеристическая функция j(t) известна. Найти характеристическую функцию , где Z=X – Y.

163. На вероятностном пространстве , представляющем собой отрезок [0, 1] с s-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега, определена случайная величина Х(w). Найти характеристическую функцию , если: а) Х(w) = 2w при 0 £ w £ 1/2, Х(w) = 2w – 1 при 1/2 £ w £ 1; б) Х(w) = ln w, Х(0) = 0; в) Х(w) = 1 при 0 £ w £ 1/3, Х(w) = 0 при 1/3 < w < 2/3, Х(w) = 1 при 2/3 £ w £ t.

164. Характеристическая функция суммы двух случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Можно ли утверждать, что слагаемые независимы?

165. Доказать, что функция f(t), равная f(t) = 1 – | t | при | t | £ 1, f(t) = 0 при | t | > 1, является характеристической функцией.

166. Пусть независимые случайные величины Х и Y имеют известные функции распределения FX (z) и FY (z) и известные характеристические функции соответственно. Найти характеристическую функцию , где Z = X × Y.

167. Пусть и . Доказать справедливость равенства .

168. Пусть и , где последовательности вещественных чисел. Доказать справедливость равенства .

169. Пусть и . Доказать справедливость соотношений:

а) ; где a, b – постоянные;

б) ;

в) .

170. Пусть . Доказать справедливость соотношения .

171. Пусть и . Доказать справедливость соотношений:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

а) , где a, b – постоянные; б) ;

в) .

172. Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин с вероятностью 1 сходилась к некоторой случайной величине, необходимо и достаточно, чтобы она была с вероятностью 1 фундаментальной.

173. Пусть – последовательность случайных величин. Доказать справедливость утверждений:

а) если , то ;

б) если , то .

174. Пусть где а – постоянная. Доказать справедливость соотношения .

175. Привести пример, показывающий, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднем порядка p > 0.

176. Пусть . Привести пример, когда математическое ожидание существует, а математическое ожидание МХ не существует, и наоборот.

177. Пусть причем . Доказать справедливость соотношений: и .

178. Пусть причем где Справедливо ли равенство где

179. Пусть Справедливо ли равенство Изменится ли ответ, если дополнительно известно, что ?

180. Множество исходов W = {w} образовано точками окружности единичной длины, на которой рассматривается система подмножеств –дуг окружности:

A1 = [0, 1/2), A2 = [1/2, 1/2 + 1/3), …,

An = [1/2 + 1/3 + … + 1/n, 1/2 + 1/3 + … + 1/n + 1/(n + 1)), …

длиной |An| и с вероятностной мерой P(An) = |An| = 1/(n+1) каждая. Пусть Xn – индикатор множества An, т. е.

Проверить сходимость последовательности а) по вероятности; б) в среднем квадратичном; в) почти наверное.

181. Множество исходов W = {w} совпадает с множеством точек полуинтервала [0, 1). Рассматривается последовательность подмножеств AnÌ W: An = [0, 1/n), P(An) = 1/n, n =1,2,…, и случайных величин

Проверить сходимость последовательности а) по вероятности; б) в среднем квадратичном; в) почти наверное.

182. Пусть g(x1,…,xk) непрерывная вещественная функция k переменных. Доказать, что если для "m: m = 1, 2,…, k при n ® ¥ , то

при n ® ¥.

183 Пусть при n®¥ . Доказать, что тогда

184. Пусть в вероятностном пространстве <W, F,P> W = [0,1), F – s - алгебра с полуинтервалами вида , i=1,…,n, n = 1, 2, …и P –мера Лебега (.

Исследовать сходимость следующих последовательностей случайных величин

где,

а)

б)

в)

г)

д)

185. Проводятся испытания Бернулли с постоянной вероятностью успеха. Пусть случайная величина имеет следующий вид:, если i-ое и (i+1)-ое испытания закончились успехом, в остальных случаях. Выполняется ли для последовательности закон больших чисел?

186. Пусть случайная величина принимает значения , и с вероятностями соответственно. Выполняется ли для последовательности независимых случайных величин закон больших чисел?

187. Пусть случайная величина принимает значения и с вероятностями . Выполняется ли для последовательности независимых случайных величин закон больших чисел?

188. Пусть случайная величина принимает значения – п,0 и п с вероятностями соответственно. Выполняется ли для последовательности независимых случайных величин закон больших чисел?

189. Пусть – последовательность независимых случайных величин, причем принимает значения с вероятностями ½ каждое. Выполняется для этой последовательности закон больших чисел?

190. При каких значениях a > 0 к последовательности независимых случайных величин , таких, что

применим закон больших чисел?

191. Пусть – последовательность случайных величин с дисперсиями . Доказать, что если все корреляционные моменты (ковариации) Rij случайных величин Xi и Xj неположительны и при n®¥ то для последовательности выполняется закон больших чисел.

192. Пусть – последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем каждая случайная величина зависит только от и , но не зависит от остальных . Доказать выполнение для этой последовательности закона больших чисел.

193. Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием a, Доказать, что к последовательности применим усиленный закон больших чисел.

194. Случайная величина X имеет распределение Бернулли с неизвестным параметром p, оцениваемым по формуле (Xi – случайная величина X в i-ом измерении). Сколько нужно сделать измерений случайной величины X, чтобы оценка с вероятностью q ³ 0,95 отличалась от истинного значения не более, чем на величину 0,02? Применить неравенство Чебышева и предельную теорему. Сравнить результаты.

1раз бросается игральная кость. Найти пределы, в которых с вероятностью, большей 0.99, будет находиться суммарное число выпавших очков.

196. Сколько необходимо произвести бросаний «правильной» игральной кости для того, чтобы с вероятностью не менее 1/2 сумма выпавших очков, превысила 780?

197. Книга объемом 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице имеется не менее трех опечаток. (Использовать нормальное и пуассоновское приближения, сравнить результаты).

198. В тесто для выпечки булок с изюмом замешано N изюмин. Всего из данного теста выпечено K булок. Оценить вероятность того, что в случайно выбранной булке число изюмин находится в пределах от а до b.

199. Известный опыт Бюффона с бросанием иглы на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, используется для вычисления числа p. В некотором опыте длина иглы l = 36 мм, расстояние между прямыми а = 45мм, игла брошена п = 5000 раз и m = 2532 раза игла пересекла прямые. Доказать, что последовательность случайных бросаний иглы соответствует схеме Бернулли с вероятностью «успеха» (игла пересекает прямую) . В описанном опыте отклонение не превышает 0.0029. Найти число бросаний иглы, при котором с вероятностью большей имеет место такое отклонение.

200. Необходимо сложить миллион чисел, округленных с точностью до пятого десятичного знака. В предположении, что ошибки округления всех чисел взаимно независимы и имеют равномерное распределение в соответствующем интервале, найти пределы, в которых с вероятностью 0.95 находится суммарная ошибка округления.

201. В поселке N жителей, каждый из которых в среднем п раз в месяц ездит в город, выбирая дни поездки независимо от остальных. Поезд из поселка в город идет один раз в сутки. Какова должна быть вместимость поезда для того, чтобы он переполнился с вероятностью, не превышающей заданного числа ?

202. Каждая из n заключаемых фирмой независимых коммерческих сделок приносит прибыль X, представляющую собой случайную величину, распределение которой определяется типом сделки. Пусть число возможных типов сделок равно k, их распределение задано вероятностями и для каждого j-го типа сделки известны математическое ожидание mj и дисперсия прибыли (). Выразить асимптотическое поведение суммы при n ®¥ в форме закона больших чисел и центральной предельной теоремы.

Задачи, предлагавшиеся студентам ФУПМ МФТИ в осеннем семестре 2008 года.

Задача 1. Юноша собирается сыграть три теннисных матча со своими родителями, и он должен победить два раза подряд. Порядок матчей может быть следующим отец-мать-отец, мать-отец-мать. Юноше нужно решить, какой порядок для него предпочтительней, учитывая, что отец играет лучше матери.

Задача 2. Пусть и независимые с. в., равномерно распределенные на . Найдите вероятность того, что уравнение имеет действительные корни. Доказать, что существует . Найдите .

Задача 3*. Найдите вероятность того, что случайная -матрица размера является невырожденной над полем . Доказать, что существует .

Для решения следующей задачи можно рекомендовать книгу Избранные задачи комбинаторного анализа, МГТУ 2001, стр., 168.

Задача 4. Пусть - с. в., равномерно распределенная на множестве всех пар векторов , равная . Найдите:

, , .

Указание. Воспользуйтесь аппаратом производящих функций. Покажите, что

Для решения следующих двух задач можно рекомендовать книгу Н. Алон, Дж. Спенсер Вероятностный метод, Бином 2006, стр. 21, 38 – 39.

Задача 5* (задача на вероятностный метод). На турнир приехало игроков. Каждая пара игроков, согласно регламенту турнира, должна провести одну встречу (ничьих быть не может). Пусть

Докажите, что тогда игроки могли сыграть так, что для каждого множества из игроков найдется игрок, который побеждает их всех.

Указание. Введите на множестве всех турниров равномерную меру, т. е. считайте, что все турнира равновероятны. Введите - событие, состоящее в том, что не существует игрока, побеждающего всех игроков из множества . Докажите, что

. Следовательно, .

Задача 6* (задача на вероятностный метод). Рассмотрим матрицу , составленную из лампочек, каждая из которых любо включена (), либо выключена (). Предположим, что для каждой строки и каждого столбца имеется переключатель, поворот которого ( для строки и для столбца ) переключает все лампочки в соответствующей линии: с “вкл.” на “выкл.” и с “выкл.” на “вкл.”. Тогда для любой начальной конфигурации лампочек можно установить такое положение переключателей, что разность между числом включенных и выключенных лампочек будет не меньше .

Указание. Пусть , …, - независимые одинаково распределенные с. в., с законом распределения . Введите с. в. , и . Покажите, что с. в. , распределены также, как с. в. . Покажите далее, что (можно получить точную формулу для из комбинаторных соображений, а затем воспользоваться формулой Стирлинга, однако, более простым вариантом является применение ц. п.т. к ). Далее следует выбирать с. в. , …, так, что , .

Задача 7* (задача на вероятностный метод). Поверхность некоторой шарообразной планеты состоит из океана и суши (множество мелких островков). Суша занимает больше половины площади планеты. Также известно, что суша – есть множество принадлежащее борелевской -алгебре на сфере. На планету хочет совершить посадку космический корабль, сконструированный так, что концы всех шести его ножек лежат на поверхности планеты. Посадка окажется успешной, если не меньше четырех ножек из шести окажутся на суши. Возможна ли успешная посадка корабля на планету?

Указание. Обратим внимание на то, что ответ не зависит от того, какое именно множество представляет собой суша, и как располагаются шесть ножек корабля, на которые он совершает посадку. Эта задача, на первый взгляд, кажется, не имеет ничего общего с теорией вероятностей (впрочем, как и предыдущие две). Однако метод ее решения базируется на введении вероятностных объектов и использовании двух простых фактов: 1) линейности математического ожидания (независимость слагаемых не нужна), 2) если математическое ожидание с. в. больше какого то числа, то существует исход (точнее говоря исходы, вероятностная мера которых больше нуля) такой, что с. в. принимает на этом исходе значение больше упомянутого числа (напомним, что, по определению, с. в. – это измеримая функция на множестве элементарных исходов (измеримая относительно -алгебры, введенной на множестве элементарных исходов)).

Для решения следующей задачи можно рекомендовать книгу , Эффективные алгоритмы и сложность вычислений, М.: МФТИ 2007, стр. 102 – 107.

Задача 8* (задача о сложности в среднем). Рассмотрим “NP-полную” задачу

, ;

, (1)

(, , ).

Булев вектор длины будем называть допустимыми, если он удовлетворяет системе (1). Обозначим через множество всех допустимых булевых векторов для системы (1) с нулевыми последними компонентами и через - вектор длины с единичной –ой компонентой и с остальными нулевыми компонентами.

Рассмотрим алгоритм: 1) строим множество допустимых решений на основе множества , пытаясь добавить вектор ко всем булевым векторам ; 2) среди допустимых булевых векторов ищем “наилучший”.

а) Покажите, что сложность описанного алгоритма составляет . При каких алгоритм будет работать экспоненциально долго?

б) Оцените сложность в среднем (математическое ожидание времени работы алгоритма), т. е. , если с. в. - независимые и одинаково распределенные по закону Бернулли ().

Указание б). Пусть . Положим: - вектор с единицами (на позициях ) и нулями; - вероятность выполнения -го неравенства системы (1) для ; - вероятность того, что - допустимое решение (покажите, что и не зависят от набора ). Докажите, что , и .