Основы теории вероятностей и стохастических процессов (стр. 4 )

Для решения следующей задаче можно рекомендовать книгу -Заде, Разборчивая невеста, МЦНМО 2003 (см. также учебное пособие [7]).

Задача 9* (задача о разборчивой невесте). В аудитории находится невеста, которая хочет выбрать себе жениха. За дверью выстроилась очередь из женихов. Относительно любых двух женихов невеста может сделать вывод, какой из них для неё предпочтительнее. Таким образом, невеста задает на множестве женихов отношение порядка (естественно считать, что если предпочтительнее , а предпочтительнее , то предпочтительнее ). Предположим, что все вариантов очередей равновероятны и невеста об этом знает (равно, как и число ). Женихи запускаются в аудиторию по очереди. Невеста видит каждого из них в первый раз! Если на каком-то женихе невеста остановится (сделает свой выбор), то оставшаяся очередь расходиться. Невеста хочет выбрать наилучшего жениха (исследуя –го по очереди жениха, невеста лишь может сравнить его со всеми предыдущими, которых она уже просмотрела и пропустила). Оцените (при ) вероятность того, что невесте удастся выбрать наилучшего жениха, если она придерживается следующей стратегии: просмотреть (пропустить) первых по очереди кандидатов и затем выбрать первого кандидата, который лучше всех предыдущих (впрочем, такого кандидата может и не оказаться, тогда, очевидно, невеста не смогла выбрать наилучшего жениха).

Задача 10**. Пусть - некоторое вероятностное пространство и - алгебра подмножеств такая, что ( - наименьшая -алгебра, содержащая алгебру ). Доказать, что

Указание. Решите задачу, используя “принцип подходящих множеств”. Для этого надо рассмотреть совокупность множеств . Покажите, что является -алгеброй, а значит, .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для решения следующих двух задач можно рекомендовать книгу Розанов вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы., М.: ФИЗМАТЛИТ 1987, стр.83-87, стр.226-233.

Задача 11** (задача о наилучшем приближении). Предположим, что с. в. , это означает . Докажите, что

, (2)

где - подпространство пространства всевозможных борелевских функций ; - условное математическое ожидание с. в. относительно -алгебры порожденной с. в. , часто говорят просто относительно с. в. ;

Пояснение. Утверждение задачи означает, что в гильбертовом пространстве всевозможных квадратично интегрируемых с. в. над заданным вероятностным пространством , ограниченный линейный оператор условного математического ожидания : есть ни что иное, как проекция на подпространство .

Задача 12* (задача о линейной регрессии). Докажите, что если в условиях задачи 11 - является нормальным случайным вектором (без ограничения общности можно также считать, что - невырожденный нормальный случайный вектор), то в качестве можно взять подпространство всевозможных линейных комбинаций с. в. . Т. е. мы можем более конкретно сказать на каком именно классе борелевских функций достигается минимум в (2).

Указание. Будем искать в виде

Поскольку - нормальный случайный вектор, то из условий, которые как нетрудно проверить (проверьте), однозначно определяют вектор коэффициентов ,

следует (объясните почему), что

и - независимые с. в..

Функция - произвольная борелевская функция из . Так как (поясните почему)

, ,

то ортогонален подпространству пространства всевозможных борелевских функций . Следовательно,

удовлетворяет условию (2).

Задача 13 (вырожденный нормальный случайный вектор).

а) Найдите распределение случайной величины .

б) Найдите распределение случайной величины .

в) Найдите .

г) Найдите .

д) Найдите .

Задача 14. Может ли функция - быть характеристической функцией некоторой с. в.? Изменится ли ответ, если “чуть-чуть” размазать (сгладить) разрывы функции в точках ?

Указание. Для ответа на первый вопрос покажите, что если - непрерывна в точке , то она непрерывна везде (можно ли этот результат обобщить на старшие производные ?).

Для ответа на второй вопрос покажите, что не является неотрицательно определенной функцией (см. теорему Бохнера - Хинчина). Для этого достаточно показать, что преобразование Фурье не является всюду неотрицательной функцией.

Задача 15. Докажите, что

С помощью контрипримеров, покажите, что никакие другие стрелки импликации в эту схему в общем случае добавить нельзя. При каких дополнительных условиях можно утверждать, что

Дополнение. Поскольку , – банахово пространство, т. е. полное нормированное (метрическое), то справедлив критерий Коши для сходимости в , . Естественно задаться вопросом: а справедлив ли этот критерий для других типов сходимости? Оказывается, что да. Для сходимости по вероятности и распределению это следует из того, что обе эти сходимости метризуемы (и в этих метриках пространства полные), т. е. подобно тому, что по определению

можно показать, что

a) ;

б) , где - метрика Леви - Прохорова (см., например, § 7 главы 3, “Вероятность”, МЦНМО 2004, Т. 1).

Сходимость п. н. не метризуема и для неё нужно доказывать критерий Коши.

* Докажите п. а).

Задача 16 (задача о лампочке). Пусть с. в. имеет экспоненциальное распределение с параметром (), т. е. ,. Покажите, что имеет место “отсутствие последействия”:

Интерпретация 1) Вы включили лампочку и посчитали вероятность того, что она не перегорит в течение следующих 24 часов. Затем уехали в отпуск на месяц (при этом, не выключая лампочки). Если, приехав из отпуска, вы обнаружили, что лампочка не перегорела, то вероятность того, что она не перегорит в течение следующих 24 часов будет такой же, как и при её включении.

2) Вы продаете мороженное (1 шт.) и посчитали вероятность того, что его никто не купит в течение часа. Затем ушли на обед (в это время вас подменяли). Если, вернувшись с обеда, вы обнаружили, что мороженное еще не купили, то вероятность того, что его никто не купит в течение часа будет такой же, как и до обеда.

Для решения следующих двух задач можно рекомендовать книгу , , Основы теории случайных процессов, М.: М3 Пресс 2003.

Задача 17 (задача о Пуассоновском процессе). Представьте, что вы владелец киоска по продаже мороженного (одного вида, скажем, пломбира) и хотите оценить, сколько мороженного вам удастся продать за рабочий день . Ввиду предыдущей задачи и её интерпретации, естественно предположить, что

, (**)

где , , ,… независимые одинаково распределенные по закону с. в. ( интерпретируется как время между и сделкой (продажей)). Покажите, что

1) вероятность , где и , не зависит от ;

2) - независимые в совокупности с. в.;

3) , ;

в частности ;

** Проинтерпретируйте пп. 1 – 3 и покажите, что свойство 4 можно вывести исходя только из свойств 1 – 3, т. е. не используя представление (**).

* Какие из свойств 1 – 3 сохранятся, если заменить требование более слабым , .

Указание. Для нахождения распределения с. в. воспользуйтесь аппаратом характеристических функций

Задача 18 (задача о сложном Пуассоновском процессе). В течение рабочего дня фирма осуществляет сделок ( - с. в., имеющая распределение Пуассона с параметром 100 [сделок/час] * 10 [часов]). Каждая сделка приносит доход ( - с. в. имеющая равномерное распределение на отрезке , - номер сделки). Считая, что , , ,… - независимые в совокупности с. в., найдите математическое ожидание и дисперсию выручки за день .

Указание. Обоснуйте следующую выкладку

Для расчета дисперсии используйте аналогичную идею.

Другой вариант решения – посчитать характеристическую функцию с. в.

где - производящая функция с. в. . Далее с помощью по известным формулам посчитать моменты с. в. .

Задача 19. В течение трех лет фирма из предыдущей задачи работала дней (длина рабочего дня и параметры спроса не менялись). Оцените распределение с. в. , где - выручка за –ый день. Верно ли, что с. в. и одинаково распределены?

Указание. Используя ц. п.т. и неравенство Берри – Эссена покажите, что распределение с. в. будет “близко” (определите насколько “близко” и в каком смысле “близко”) к нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией .

Задача 20. Пусть - независимые одинаково распределенные с. в.. Пусть также характеристическая функция с. в. представляется в окрестности в виде

Используя то, что

, где (не с. в.)

равномерно по в окрестности ,

найдите

Задача 21. Пусть , , , … - последовательность независимых одинаково распределенные с. в.. Положим . Покажите, что

1) (з. б.ч.) если , то , где ;

2) (ц. п.т.) если , то

, где .

Дополнение 2)* (задача математической статистики) Предположим, что независимо раз кидается монетка с вероятностью выпадения орла в каждом опыте равной (точного значения мы не знаем, а знаем лишь то, что ), т. е. . Сколько раз нужно кинуть монетку (оцените ), чтобы оценка с вероятностью отличалась от истинного значения не более, чем на величину ? Применить неравенство Чебышева и предельную теорему (точность, которую дает ц. п.т. оцените с помощью неравенства Берри – Эссена). Сравнить результаты.

Задача 22 (л. п.т. Пуассона). Пусть при каждом независимые с. в. , , , …, таковы, что , где , . Тогда

, , где .

Дополнение. В течение дня вы играете в казино и участвуете в независимых розыгрышах. В каждом розыгрыше вы выигрываете с вероятностью . Оцените вероятность того, что вам не удастся ни разу выиграть. Оцените вероятности того, что вы выиграете ровно один раз и ровно три раза.

Предположим, что вы ходите играть в казино в течении дней (количество розыгрышей в день и вероятность выиграть не менялись). Оцените вероятность того, что за эти 100 дней вы в общей сложности выиграете не менее 100 раз, не менее 300 раз.

Задача 23** (метод Монте-Карло). На плоскости дано ограниченное измеримое по Лебегу множество . Требуется найти площадь (меру Лебега) этого множества с заданной точностью .

Поскольку, по условию, множество ограничено, то вокруг него можно описать квадрат со стороной . Выберем декартову систему координат в одной из вершин квадрата с осями параллельными сторонам квадрата. Рассмотрим независимых с. в. имеющих одинаковое равномерное распределение в этом квадрате, т. е. . Введем с. в.

Тогда - независимые одинаково распределенные с. в.. Ясно, что . Следовательно, по у. з.б. ч.

Оцените сверху следующую вероятность

Задача 24* (опыт Бюффона). На плоскости проведены параллельные прямые на единичном расстоянии друг от друга, и на плоскость наугад бросается иголка длинной . Угол между прямыми и иголкой и расстояние от середины иглы до ближайшей прямой являются независимыми с. в., равномерно распределенными на соответственно и . С помощью серии таких опытов вычислить число с заданной точностью и с вероятностью ошибки не больше .

Указание. Игла может пересечь не больше одной прямой. Причем вероятность пересечь одну прямую равна .

Для решения задач 25, 29 можно рекомендовать книгу , Математический анализ задач естествознания, МЦНМО 2008, тема 2 (задачу 25 см. также в [1], [7]).

Задача 25* (теорема Шеннона – Макмиллан или основная теорема теории кодирования). Пусть буква - дискретная с. в., принимающая значения из алфавита с вероятностями . Имеется случайный текст из букв (предполагается, что буквы в тексте не зависимы друг от друга). Общее количество таких текстов . Поэтому можно закодировать все эти слова, используя бит. Однако, используя то обстоятельство, что - в общем случае неравномерное распределение, предложите лучший способ кодирования, основанный на усиленном законе больших чисел.