Лабораторная работа

Квантово-механические свойства наночастиц

1 Цель работы

Раскрыть физическую сущность понятия корпускулярно-волнового дуа­лизма и овладеть физико-математическим аппаратом описания поведения электрона на примере задачи о его взаимодействии с потенциальным барьером.

2 Подготовка к работе

2.1 Изучить следующие вопросы курса:

—Волны де Бройля. Длина волны электрона. Уравнение плоской волны для
наночастицы.

—Особенности квантовой теории: траектории движения электронов и ин­терференция электронных волн.

—Волновая функция и физический смысл квадрата модуля волновой функ­ции.

—Временное уравнение Шредингера.

—Стационарное уравнение Шредингера.

—Волновая функция для стационарного потенциала Ψ(x, y,z).

—Связь между классической и квантовой механикой.

—Свободные наночастицы и их уравнение Шредингера.

—Волновая функция свободной наночастицы.

—Потенциальный барьер (низкий и высокий) и эффект туннелирования
электрона.

—Условия склейки волновой функции на потенциальном барьере.

—Коэффициент отражения наночастицы от потенциального барьера.

—Коэффициент прозрачности барьера.

—Волновая функция в области барьера, когда E>U0.

—Волновая функция в области барьера, когда E<U0.

2.2 Ответить на вопросы и решить следующие задачи:

—  В чем заключается физический смысл волны де Бройля?

—  Что такое волновая функция и как она используется для описания движе­ния микрочастиц?

—Какое минимальное количество параметров необходимо знать для того, чтобы задать волну де Бройля для наночастицы?

—Что является условной мерой пространственного объема, в котором дви­жение материальных частиц приобретает квантово-механический харак­тер?

— Записать уравнение плоской волны для свободного электрона, двигаю­щегося вдоль оси х противоположно ее направлению, если полная энер­гия электрона Е=1 эВ, а амплитуда волны - А.

—Нарисуйте энергетические диаграммы для случаев высокого и низкого
потенциальных барьеров.

—Объясните физический смысл коэффициента отражения R.

—Объясните физический смысл коэффициента прозрачности (прохождения) D.

—Чем отличается движение электрона как микрочастицы от движения макрочастицы в задаче о его прохождении через потенциальный барьер в случае, когда энергия частицы равна высоте барьера?

— 

—В задаче о прохождении электрона через потенциальный барьер, исходя
из условия «склейки» для волновой функции, покажите, что амплитуда
отраженной волны зависит от амплитуды падающей волны как

— В задаче о прохождении электрона через потенциальный барьер, исходя из условия «склейки» для волновой функции, покажите, что амплитуда прошедшей волны зависит от амплитуды падающей волны как

—  Для случая высокого барьера покажите, что коэффициент прозрачности барьера D равен нулю. Почему же в этом случае электрон может туннелировать сквозь барьер?

—  Для случая бесконечно высокого барьера найдите квадрат модуля волновой функции.

—  Вычислите длину волны де Бройля пылинки массой 0,001 грамма и энергией 100 эВ.

3. Краткие теоретические сведения

Согласно гипотезе де-Бройля поток любых материальных частиц (электро­нов, протонов, нейтронов, целых атомов и т. д.) обладает, аналогично кванту света фотону, не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Таким образом, если частица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которого равно p, то с ней связана волна, частота которой

, (1)

а длина - , (2)

где h – постоянная Планка. Эти волны и получили название волн де Бройля. При этом волновой вектор этих волн определяется их импульсом:

(3)

где - импульс частицы;

ħ - приведенная постоянная Планка.

Экспериментально эта гипотеза была впервые подтверждена в опытах по дифракции электронов, проведенных Дэвиссоном, Джермером и Томсоном.

Длина волны де Бройля, вычисляемая в соответствии с формулами (2) и (3), есть:

(4)

где - волновое число частицы.

Физический смысл волны де Бройля заключается в том, что это не класси­ческая материальная волна, а волна вероятности. Т. е. это есть некая функция ψ(x, y,z, t), описывающая состояние частицы, квадрат модуля которой опреде­ляет вероятность нахождения частицы в различных точках пространства (x,y,z) и в различные моменты времени t.

Волна де Бройля для микрочастицы - это плоская волна вида

,

где - радиус-вектор, - амплитуда плоской волны.

Математически плоская волна представляет собой комплекснозначную функцию комплексной переменной, называемую волновой функцией.

Вместо соотношения (4) на практике для вычисления длины волны де Бройля у электронов часто используют выражение

(5)

где m * - эффективная масса электрона в твердом теле;

Екин - кинетическая энергия электронов.

Длина волны де Бройля - это мера пространственного объема, согласно которой квантово-механические свойства микрочастиц (т. е. вероятностный ха­рактер их поведения) становятся определяющими.

Иными словами, длина волны де Бройля - это условная граница для оценки перехода из макромира в наномир. В наномире микрочастицы теряют привычные для макрочастиц свойства:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

—микрочастицы движутся не по траекториям (механика Ньютона для
них отменяется);

—невозможно одновременно определить местоположение и скорость
микрочастицы (принцип Гейзенберга);

невозможно достоверно точно сказать, в какой точке пространства
находится микрочастица, а можно говорить лишь о вероятности на­
хождения микрочастицы в данной точке пространства, которая про­порциональна квадрату модуля волновой функции микрочастицы и т. д.

Математически волновая функция микрочастицы есть решение уравнения Шредингера.

В случае одномерной области движения, при условии отсутствия времен­ных изменений в поведении микрочастицы, ее стационарное (амплитудное) уравнение Шредингера имеет вид

(6)

где ψ(х) – волновая функция в точке х;

Е – полная энергия микрочастицы,

a U(x) - потенциальное энергетическое поле, в котором движется микро­частица.

Для свободной микрочастицы, на которую не действуют внешние силы, т. е. U(x)=0, ее полная энергия равна кинетической:

(7)

Для микрочастицы, движущейся в поле действия постоянного потенциала Uо функция U(x)=U0.

В этом случае уравнение (6) может быть записано как

, (8)

где k - волновое число микрочастицы, рассчитываемое как

(9)

Одним из характерных примеров квантово-механического характера дви­жения микрочастицы есть туннельный эффект. Туннельный эффект - это воз­можность для микрочастицы, например для электрона, пройти (протуннелировать) через потенциальный барьер в том случае, когда высота барьера выше полной энергии микрочастицы.

В классической механике Ньютона электрон, встречающий потенциальный барьер, (например, в p-n переходе), не преодолеет его, если энергия электрона меньше высоты потенциального барьера.

Давайте рассмотрим поведение электрона, проявляющего волновые свойства на примере его взаимодействия с потенциальным барьером.

Одномерный потенциальный барьер ступенчатого типа задается потенци­альным полем, распределение энергии в котором описывается функцией

(10)

В точке х=0 потенциальное поле имеет разрыв: величина потенциала скач­кообразно изменяется от 0 до Uq. Значение Uo называется высотой потенци­ального барьера и обычно задается в эВ. Электрон, обладающей энергией Е, находится в области х<0 и, двигаясь слева направо, «налетает» на потенциаль­ный барьер.

В области х<0 электрон является свободной микрочастицей с волновым числом k1 (в формуле (9) надо принять, что Uo=0) и поэтому его волновая функция, согласно волновому уравнению Шредингера (8), есть суперпозиция падающей на барьер и отраженной от барьера волн

(11)

где А1 и В1- амплитуды падающей и отраженной волн cоответственно. Сама волновая функция физического смысла не имеет. Имеет смысл квадрат модуля волновой функции, описывающий плотность вероятности местонахождения электрона в точке х (для х<0)

(12)

где- функция, комплексно-сопряженная с.

В области х>0 электрон может двигаться только слева направо (больше на его пути нет отражающих препятствий) в поле постоянного потенциала Uo- Его волновое число k2 вычисляется по формуле (9), а волновая функция имеет вид

, (13)

где А2 - амплитуда прошедшей волны.

Значения В1 и А2 определяют из условия «склейки»: волновые функции и их производные в первой и второй областях должны быть равны в точке х=0.

(14) (15)

При этом возникает две ситуации: первая, случай низко­го барьера (энергия падающего электрона больше высоты барьера) и вторая, когда наоборот энергия Е< U0 (случай высокого барьера).

С точки зрения макромеханики Ньютона в случае низкого барьера элек­трон просто пролетит над ним, совсем не «почувствовав» его, а в случае высо­кого барьера полностью отразится от него как мячик от стенки.

Реальное поведение электрона как волны будет значительно слож­нее. В случае низкого барьера электрон может преодолеть барьер и отразиться от него, что невоз­можно в классической механике, а в случае высокого барьера сможет не только отразиться, но и проник­нуть через его границу, что также невоз­можно в рамках макромеханики.

Для количественной оценки рассмотренных выше явлений вводятся два коэффициента: отражения и прозрачности барьера. Коэффициент отражения R соответствует вероятности отражения потока электронов от барьера и чис­ленно равен отношению потока отраженных частиц к потоку падающих:

(16)

Коэффициент прозрачности барьера соответствует вероятности обнару­жить электрон за границей барьера (точка х=0) и численно равен отношению потока проходящих частиц к потоку падающих:

(17)

Очевидно, что наосновании закона сохранения числа частиц между вве­денными коэффициентами существует простое вероятностное соотношение

(18)

В случае низкого барьера по классической механике должно иметь место R=0 и D=l, т. е. барьер совершенно прозрачен. В квантовой механике R>0 и D< 1 и электроны частично отражаются от барьера.

Для случая низкого барьера, используя условия «склейки» для волновых

функций ψ1(х) и ψ2(x) на границе барьера в точке х=0 (т. е. непрерывность функций и их производных), можно найти коэффициенты R и D через волновые числа k1 и k2:

(19)

В случае высокого барьера волновое числоk2 становится мнимой величи­ной ^

(20)

Появляется комплексность коэффициента R:

, тогда D=0, что должно обозначать полное отражение электронов от барьера. На самом деле все сложнее: неравенство 0 Ψ2 означает, что электрон проникает за барьер, а затем возвращается назад.

Математически в случае высокого барьера экспоненциальная составляющая волновой функции в области х>0 пе­рестает быть комплекснозначной, а становится действительной и отличной от нуля

(21)

Тогда вероятность найти электрон за границей барьера равна

(22)

Хотя эта вероятность резко убывает по экспоненте от границы потенци­ального барьера, тем не менее, в области х>0 она так же отлична от нуля. А это и означает вероятностное присутствие электрона в области за границей барьера.

Рекомендуемая литература:

Основная

П, ,Тридчин накоэлектроники. -// Новосибирск, из-во НГТУ, 2004, стр. 14-21;

, Овсюк процессы в твердотельных сис­темах пониженной размерности.-// Новосибирск, из-во НГУ, 2000, стр.202-209;

Епифанов основы микроэлектроники. - //М., Сов. радио, 1971,стр.12-41;

Соболев основы электронной техники. - //М, Высшая школа. 1979, стр. 14-28;

Новиков основы микроэлектроники. - //М, Высшая школа, 1972; стр. 106-111;

Конспект лекций.

Дополнительная литература

Делоне эффект.-// Соросовский образовательный жур­нал, том 6 , №1, 2000, стр.79-84;

Физическая электроника и микроэлектроника.- // М., Высшая школа 1991, стр. 30-34,45-48;

Квантовая физика.-//М., Наука, 1974, стр. 279-291;

Иродов по квантовой физике. - // М., Высшая школа, 1991, стр. 21-35, 122-125;

Задачи по физической электронике (с решениями и комментариями). -// М. э Мир 1975, стр. 73-75;

Нанавати в полупроводниковую электронику.-// М., Связь, 1965, стр 39-54;

4. Задание к выполняемой работе:

4. 1В соответствии с таблицей 2 и указаниями преподавателя вы­брать вариант исходных данных для работы.

Таблица 2 – Варианты исходных данных

№ варианта

Величина энергии электрона Е (эВ)

Величина высоты барьера

U0 (эВ)

Материал

1

10

1

Ge

2

9

2

Si

3

9

3

GaAs

4

8

4

Ge

5

8

5

Si

6

10

1

GaAs

7

9

2

Ge

8

8

3

Si

9

10

4

GaAs

10

7

5

Ge

11

7

1

Si

12

7

3

GaAs

4.2

—  Дать оценку размера области, в которой будут проявлять волновые свойства пылинка массой 0,001г и энергией, равной тепловому потенциалу и электрон с такой же энергией, движущиеся в вакууме; сделать соответствующие выводы о возможности наблюдения квантово-размерных эффектов для пылинки и электрона;

Согласно заданию, считая, что электрон движется в кристалле полупроводника вдоль пространственной оси х по ее на­правлению как свободная частица с энергией Е, определить:

—длину волны де Бройля ;

—волновое число;

—импульс электрона.

Затем необходимо:

—записать соответствующее варианту стационарное уравнение Шредингера;

—выписать уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х;

—  вычислить вероятности нахождения электрона в точках про­странственной оси с координатами х=0 и х=1, приняв интенсивность падающей волны за 1 и построить общий график вероятности нахождения электрона вдоль оси х.

4.3 Рассмотреть задачу о прохождении электрона как волны через по­тенциальный барьер в следующей формулировке:

Электрон, имеющий полную энергию Е, движется вдоль некоторой про­странственной оси х по кристаллу полупроводника. В области х<0 электрон полностью свободен, т. е. не ис­пытывает никакого влияния со стороны возмущающего его движения потен­циала. В точке х=0 электрон попадает в область действия энергетического по­тенциала U0 (встречает на своем пути потенциальный барьер бесконечной ши­рины).

Используя соотношения (18) и (19) необходимо для своего варианта вычислить коэффициенты отражения и прохождения и также по­строить общие графики зависимости коэффициентов при условии, что изменяется от нуля до 10. На графиках не­обходимо указать значения R и D, соответствующие заданному варианту, а также слу­чаю, когда высота барьера равна энергии микрочастицы, кроме того, указать диапа­зоны изменения, описывающие случаи высокого и низкого барьеров. Срав­нить полученные результаты с данными классической механики и сделать вы­воды о различиях и совпадениях величин R и D для классической и квантовой механик.

4.4 Для случая с низким барьером (Е> Uo) для своего варианта необходимо:

—построить одномерную энергетическую диаграмму потенциального барь­ера;

—записать амплитудные уравнения Шредингера для областей х>0 и х<0 в явном числовом виде и найти его решения в данных областях, используя условие «склейки» волновых функций в точке х=0, приняв при этом ам­плитуду падающей волны за единицу;

—вычислить квадраты модуля найденных волновых функций для областей х<0 и х>0 и построить на их основе график плотности вероятности ме­стонахождения электрона вдоль оси х;

4.5 Для случая с высоким барьером (Е< Uo) для своего варианта необходимо:

—поменять значения величин E u U0 местами;

—построить одномерную энергетическую диаграмму потенциального барь­ера;

—записать амплитудные уравнения Шредингера для случаев х>0 и х<0 в явном числовом виде и найти его решения в данных областях;

—указать, в какой области пространства волновая функция будет суперпозицией плоских волн, а в какой - нет?

— вычислить квадраты модуля найденных волновых функций и построить график плотности вероятности местонахождения электрона вдоль оси х;

— вычислить вероятность нахождения электрона за барьером (вероятность туннелирования) в точках х = 0, х = хd = 1/k0 ; отметить указанные точки на графике и пояснить физический смысл величины xd

— приняв, что высота барьера бесконечна, найти волновые функции слева и
справа от барьера и построить график плотности вероятности местонахо­ждения электрона вдоль оси х для данного случая.

5 Содержание отчета

Отчет должен содержать:

5.1  оценку размера области, в которой будут проявлять волновые свойства пылинка и электрон с движущиеся в вакууме согласно п. 4.2;

5.2  квантово-механические характеристики электрона в соответствии с пунк­том 4.2.

5.3  результаты анализа коэффициентов отражения и прохождения в задаче о взаимодействии электрона с потенциальным барьером и выводы к анали­зу в соответствии с условиями, описанными в пункте 4.3;

5.4  для случая низкого барьера (пункт 4.4) привести график энергетической диаграммы, одномерное стационарное уравнение Шредингера для двух областей х>0 и х<0, соотношения для условия «склейки», волновую функцию и квадрат ее модуля, график плотности вероятности местона­хождения электрона вдоль всей оси х, и выводы к полученным результатам;

5.5  для случая высокого барьера (пункт 4.5) привести график энергетиче­ской диаграммы, одномерное стационарное уравнение Шредингера для двух областей х>0 и х<0, соотношения для условия «склейки», волновую функцию и квадрат ее модуля, график вероятности распределения элек­трона вдоль всей оси х, вероятности туннелирования в точках х=0, х = хd = 1/k0

Тип

Обозначение

Величина

Размерность

Постоянная Планка

приведенная

h

h

ћ=h/2π

6,625*10-34

4,5*10-15

1,055*10-34

Дж*с

эВ*с

Дж*с

Масса покоя электрона

me

9,31*10-31

кг

Заряд электрона

q

1,60218*10-19 для

СИ 1 (если[Е]=эВ)

Кл

шт. (безразмерная)

Постоянная Больцмана

kB

1,38086*10-23

8,62*10-5

Дж/К

эВ/К

Электронвольт

1 эВ

1,60218*10-19

Дж

Произведение при температуре Т=300 К

kBT

0,0259

эВ

Тепловой потенциал

При Т=300 К (270С)

При Т=292 К (200С)

0,02586

0,02525

В

В

Ангстрем

1 Ǻ

0,1

10-4

10-8

10-10

нм

мкм

см

м

Нанометр

1 нм

10-9

м

Выражение

1,504

эВ*нм2