Идентификация модулей упругости и ее приложения к реконструкции свойств биологических тканей

УДК.539.3

(с) 2007 г. , ,

Идентификация модулей упругости и ее приложения к реконструкции свойств биологических тканей.

Введение.

Определение механических свойств (в частности модулей упругости) материалов находит широкое применение во многих областях науки. Использование модели однородной изотропной теории упругости, характеризуемой двумя упругими характеристиками - модулем Юнга и коэффициентом Пуассона, сыграло свою позитивную роль в становлении на научную основу расчетов на прочность и колебания различных конструкций. В то же время модели неоднородной теории упругости стали весьма популярны в различных областях знания - в геофизике, горной механике, биомеханике, однако требуют определения этих характеристик как функций координат по результатам наблюдений или экспериментов. Так, например, в последнее время в практике неинвазивного контроля биологических тканей быстро развиваются новые диагностические методы, основанные на результатах теоретических работ по обратным задачам в акустике и биомеханике. Вопрос реконструкции неизвестных механических свойств материала на основе измерений внутренних смещений и деформаций при внешнем механическом воздействии представляет большой интерес в связи с проблемой неповреждающей диагностики состояния мягких и твердых тканей человека. Начались такие исследования еще в 40-х годах в связи с проблемой согласования с телом человека различных контактных датчиков. Решение этой задачи открывает новые возможности слежения за изменениями характеристик тканей, в первую очередь мышц, в ходе различных физиологических и патологических процессов и в ходе развития реакции на различные тестовые воздействия. Таким образом, открываются новые возможности для проведения биомеханических и медико-диагностических исследований нервно-мышечной системы человека.

К. Паркер [1-3] и Ямакоши [4] предприняли попытки использования ультразвуковых допплер – сканеров для обнаружения включений в тканеподобных образцах и патологий в мягких биологических тканях при их низкочастотном внешнем нагружении. Физической основой такого рода подхода является отличие механических характеристик тканевых новообразований от характеристик нормальных тканей, что ведет к различному характеру деформирования исследуемого объекта при внешнем механическом воздействии. Внутренние смещения могут быть измерены экспериментально при помощи ультразвука или ядерно-магнитного резонанса (ЯМР). Для реконструкции пространственного распределения неоднородных механических свойств внутри объекта исследования по таким экспериментальным данным может успешно применяться аппарат линейной неоднородной теории упругости.

Некоторые аспекты решения задачи идентификации модуля сдвига как функции координат рассматривались в [5,6]. В работе [5] предложена процедура реконструкции упругих свойств материала, состоящая в определении неизвестного модуля сдвига, исходя из дифференциального уравнения совместности, однако корректной постановки и решения обратной задачи акустики работа не содержит.

В работе [6] на основе обобщения решения классической осесимметричной задачи Лэмба исследована возможность реконструкции неизвестных механических свойств многослойной вязкоупругой среды по данным о смещениях действующего на неё жесткого круглого индентора-штампа. Эта задача, состоящая в определении конечного числа параметров, была решена на основе процедуры минимизации функционала невязки.

В работе [7] обсуждены различные аспекты моделирования мышечной ткани, в частности, применение акустических методов для определения характеристик мышечной ткани. Показано, что диагностика патологий и функционального состояния мышечной системы возможна при использовании в первую очередь сдвиговых волн, которые более информативны, чем объемные, а также предложена соответствующая модель анизотропии частного вида при описании распространения волн в мышечном волокне.

Работа [8] посвящена определению импедансных и волновых свойств биоматериалов; изучается динамическая реакция слоя, близкого по упругим свойствам к живой ткани. Исследована динамическая реакция слоя, находящегося под действием осциллирующего круглого штампа. В работе [9] рассмотрена более сложная модель: на трехслойное полупространство, моделирующее систему «кожно-жировой слой-мышца-печень» действует колебательная нагрузка от круглого штампа. В работе исследованы зависимости колебательных смещений в глубине тканей от размеров и частоты колебаний поверхностного источника. На основе этих зависимостей могут быть идентифицированы характеристики материала.

Работа [10] посвящена исследованию свойств кости на разных стадиях срастания перелома на основании измерения резонансных частот неповрежденной кости и кости с устройством внешней фиксации.

В настоящей работе описан подход к определению упругих характеристик, как функций координат в ограниченной плоской области. Для решения обратной задачи по реконструкции неизвестных модулей упругости как функций координат необходимо иметь данные о смещениях на границе образца. После этого формулируются операторные уравнения, связывающие известные граничные поля смещений и неизвестные упругие характеристики. Далее, на основе метода линеаризации был построен итерационный процесс, позволяющий построить решение обратной задачи на основе современных конечноэлементных технологий.

1.Постановка прямых задач.

Рис1.

Рассмотрим следующие задачи о колебаниях неоднородного упругого тела.

Задача 1. Рассматриваются плоская деформация () области с границей в режиме установившихся колебаний в (рис 1).

Уравнения колебаний будут иметь вид:

(1)

Компоненты напряжений для изотропного неоднородного материала представимы в следующей форме:

(2)

где и - произвольные положительные кусочно-непрерывные функции координат. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений следующим образом:

(3)

Будем считать, что часть границы закреплена, а к другой части границы приложена нагрузка с компонентами . Граничные условия имеют вид:

(4)

Задача 2. Из современной литературы по диагностике свойств мягких тканей известно, что наиболее информативной характеристикой является не объемный модуль и соответственно, скорость объемных волн, а модуль сдвига и скорость волн сдвига [7]. Рассмотрим задачу об установившихся сдвиговых колебаниях (, ) области c границей . Будем считать, что модуль сдвига есть заданная функция координат.

Уравнение установившихся колебаний будет иметь вид:

(5)

а соответствующие граничные условия представимы в форме:

(6)

При произвольной геометрии области , а также упругих характеристиках, зависящих от координат, решение краевых задач (1)-(4) и (5)-(6) может быть получено только численно, например, методом конечного элемента.

2. Постановка обратных задач и формулировка итерационных процессов.

Сформулируем теперь задачи об определении упругих модулей по информации о граничных полях смещений.

Обратная задача 1. Задача об определении упругих характеристик тел при установившихся колебаниях ставится следующим образом: по информации о перемещениях и на нагружаемой части границы , , определить коэффициенты Ляме и , зависящие от координат. Здесь - часть границы, на которой нагрузка отлична от нуля.

Обратная задача 2. Задача об определении модуля сдвига при установившихся сдвиговых колебаниях ставится следующим образом: по информации о перемещениях на нагружаемой части границы , , определить модуль сдвига , зависящий от координат.

Задача об определении модулей упругости является нелинейной и некорректной проблемой [11,12] и может быть решена на основе некоторого итерационного процесса, на каждом этапе которого осуществляется решение линейной краевой задачи с известными переменными модулями упругости и плотностью. При этом начальные функциональные зависимости и находятся обычно в классе простых функций (линейных или постоянных) на основе процедуры минимизации функционала невязки, либо считаются известными исходя из условия задачи. Например, при диагностике завершающих стадий срастания перелома за начальное приближение можно взять состояние полностью здоровой костной ткани. Вместе с тем можно избежать утомительных построений по решению прямых задач первого приближения с произвольными правыми частями и формулировки операторных соотношений связи, если использовать обобщение теоремы взаимности [13,14] и метод линеаризации. Предложенный в [14,17] итерационный процесс позволяет эффективно строить решение обратной задачи. В этом случае легко получить следующее интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с суммируемыми ядрами относительно и . В случае обратной задачи 1 это уравнение имеет следующий вид:

(7)

В случае обратной задачи 2 итерационный процесс строится на основе следующего уравнения:

(8)

При каждой последующей итерации в уравнениях (7) и (8) меняются ядра и правые части.

Найдя из уравнений (7) или (8) и , переходим к следующей итерации, пересчитывая перемещения и деформации с учетом изменившихся упругих характеристик. Отметим, что интегральные уравнения (7) и (8) порождают интегральные операторы с суммируемыми ядрами, обращение которых представляет собой некорректную задачу и при обращении необходимо использовать методы регуляризации. Особенностью построенных операторов является то обстоятельство, что подынтегральные функции по форме представляют собой удвоенную обобщенную потенциальную энергию, причем деформации относятся к предыдущей итерации, а модули – к следующей.

3. Решение обратной задачи.

Решение прямой задачи на каждом шаге в общем случае можно построить только численно, например методом конечных элементов. При этом область, занятая телом, разбивается на подобластей .

Решение или будем искать в виде линейной комбинации функций формы , которые одинаковы для всех итераций и строятся следующим образом ,

(9)

(10)

Определим коэффициенты и разложений (9) или (10).

Для решения задачи подставим (9) и (10) в соответствующее интегральное уравнение (7) или (8). Для обратной задачи 1 получим функциональное уравнение вида

, (11)

Здесь ядра уравнения для задачи 1 имеют вид: , , правая часть имеет вид: .

Для обратной задачи 2 функциональное уравнение примет следующий вид:

, (12)

Для задачи 2 ядро уравнения будет иметь вид: ,

правая часть имеет вид:

Ядра уравнения выражаются через перемещения -й итерации, правая часть – через результаты измерений на границе и перемещения на границе -й итерации

Функциональные уравнения (11) и (12) выполняются на всем рассматриваемом частотном диапазоне . Один из способов сформировать далее систему алгебраических уравнений для определения состоит в выполнении равенств (11), (12) в некотором наборе частот , . В результате получим систему линейных уравнений вида

(13)

для обратной задачи 1 и систему уравнений для обратной задачи 2

(14)

Здесь , , и - соответственно матрицы и вектор с постоянными элементами, вычисленными для фиксированной частоты .

Для решения систем (13) и (14) линейных алгебраических уравнений применялся проекционно-итерационный метод Пэйджа-Саундерса (LSQR), реализованный на языке Fortran [15].

4. Численные эксперименты.

Численная реализация предложенного метода была проведена для следующей области: с границами ,,, .

Характеристики материалов были представлены в виде и , то есть как сумма начального приближения и и некоторой малой функции. Характеристики материалов начального приближения и выбраны для компактной костной ткани [13], плотность этого материала . В дальнейшем будем рассматривать не модуль Юнга и модуль сдвига , а коэффициенты Ляме и .

Приведем прямую задачу к безразмерному виду. Для этого введем размерные константы: характерный размер тела, - характерное значение модуля сдвига, например – доступное для измерения на границе тела, - скорость поперечных волн.

Пусть новые безразмерные величины и координаты будут иметь вид:

, ,,, , , , , ,

В дальнейшем знак «тильда» ~ будем опускать.

Пусть безразмерные геометрические параметры таковы: , . Начальные приближения безразмерных коэффициентов Ляме получаются следующими: , .

рис. 2

Был проведен анализ спектра, для решения обратной задачи использовались частотные интервалы перед первой собственной частотой, а также между первой и второй собственными частотами. Лучшие результаты получались в частотном диапазоне с наиболее пологой АЧХ. На графике по оси абсцисс – безразмерный параметр , связанный с частотой колебаний. По оси ординат – перемещения в направлении оси абсцисс на нагруженном конце тела.

рис. 3

В качестве примеров реализации рассмотрим некоторые варианты одномерных обратных задач.

Рассмотрим следующий частный случай обратной задачи 1. Будем считать, что , а зависит только от координаты .

Также можно рассмотреть другой частный случай задачи 1, при котором , а зависит только от координаты . В этом случае восстановление происходит аналогично предыдущему случаю.

Кроме того, рассмотрим частный случай обратной задачи 2. Найдем закон изменения модуля сдвига от переменной .

При решении все задачи приводились к безразмерному виду. Расчеты прямых задач производились при помощи учебной версии пакета FlexPDE 5 c точностью 1e-6. Данные экспортировались в вычислительную программу, написанную на языке Fortran. Эта программа осуществляла решение системы линейных уравнений на основе метода Paige-Saunders и формировала файл с результатами. На основании этого файла программа в среде Maple строила графики с промежуточными результатами и создавала файл с поправками для очередной итерации. Количество разбиений области при решении задач 1а и 1б составляло , при решении задач 2 .

Численные результаты для задачи 1а.

Результат восстановления закона . На рис. 3 показана функция , причем сплошная линия – точный закон, крестики – первая итерация, кружки – вторая итерация.

Рис. 4

Результат восстановления закона . На рис. 3 показана функция , причем сплошная линия – точный закон, крестики – первая итерация, кружки – вторая итерация.

Рис. 5

Численные результаты для задачи 2.

Случай А: левая сторона (часть границы ) прямоугольника закреплена, к части границы приложена постоянная касательная нагрузка .

В прямой задаче изучались две координатные зависимости модуля сдвига от координаты - линейная и квадратичная . Эти задачи решались при следующих значениях параметров . В качестве начального приближения выбиралось значение эталонного поля, равное .

Система линейных уравнений формировалась так же, как и при решении задачи 1. Размерность системы .

На рисунке представлены результаты реконструкции модуля закона . Причем сплошная линия – истинное распределение, пунктирная линия с точками – результат восстановления на первой итерации, пунктирная линия – результат восстановления на второй итерации, кружочки – результат восстановления на третьей итерации.

Рис. 6

На данном рисунке представлен результат восстановления закона

Рис. 7

Случай В: левая сторона (часть границы ) прямоугольника закреплена, к части границы приложена касательная нагрузка, распределенная по линейному закону .

На рисунке представлены результаты реконструкции модуля закона .

Рис. 8

На следующем рисунке представлен результат восстановления закона

Рис. 9

Выводы.

Таким образом, результаты численных экспериментов показали принципиальную возможность реконструкции модуля сдвига или модуля Юнга по полю смещений на границе тела при априорной информации о его одномерности при помощи предлагаемой итерационной процедуры [14].

Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (код проекта )

Литература.

1.  Lee F., Bronson J. P., Lerner R. M., Parker K. J., Huang S. R. Sonoelastisity imaging: results in in vivo tissue specimens //Radiology, 1991, 181(1), p. 237-239.

2.  Lerner R. M., Parker K. J., Huang S. R. Sonoelastisity: Medical elastisity images derived from ultrasound signals in mechanically vibrated tissue //Acoustical Imaging, 1988, 16, p. 317-327.

3.  Lerner R. M., Parker K. J., Holen J., Gramiak R., Waag R. C. Sonoelastisity images derived from ultrasound signals in mechanically vibrated targets //Ultrasound Med. Biol., 1990, 16(3), p. 231-239.

4.  Yamakoshi Y., Sato T. Ultrasonic imaging of vibration of soft tissue under forced vibration //IEEE Transactions on Ultrasonic Ferroelectrics and Frequency Control, 1990, 37(2), p. 45-53.

5.  . Реконструкция упругих свойств мягких биологических тканей по данным об их деформировании при динамическом нагружении// Биофизика. 2000. том 45. вып.4. С.

6.  , . Определение механических свойств многослойной вязкоупругой среды по данным измерений импеданса.// Биофизика, 1998. том 43. вып.2. С. 348 – 352.

7.  , . Волновая биомеханика скелетной мышцы //Акустический журнал, 2006, том 52, №6, с 833-846.

8.  , , . Определение импедансных свойств биоматериалов //Акустический журнал, 1993, том 39, №6, с .

9.  . Поля смещений поверхностного источника колебаний в слоистой биологической ткани //Акустический журнал, 2002, том 48, №1, с 98-104.

10.  , Резонансные свойства большеберцовой кости в неповрежденном состоянии и с устройствами внешней фиксации. Российский журнал биомеханики, том 7, № 2: 20-34, 2003

11.  Яхно задачи для дифференциальных уравнений упругости. - Наука, Новосибирск. 19с.

12.  , , Румянцев методы решения некорректных задач.- М.:Наука, 198с.

13.  Ватульян уравнения в обратных задачах определения коэффициентов дифференциальных операторов теории упругости //Доклады Российской АН 2005. Т.С.343-345.

14.  , Соловьев неоднородностей в твердых телах Известия вузов, Сев. кавк. рег. тех. науки. Спецвыпуск Проблемы машиностроения 2005 . С.23-27.

15.  Paige C. C. and Saunders M. A. A bidiagonalisation algorithm for sparse linear equations and least-squares problems. //Rep. SOL 78-19, Dep. Operations Researchm Sranfrd Univ., Stanford, CA, 1978.

16.  Ватульян задачи в механике деформируемого твердого тела. М. Физматлит.2007.-223с.



Подпишитесь на рассылку:

Биология


Смотрите полные списки: Профессии

Профессии: Гуманитарии



Проекты по теме:

Биология
Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.