Лекция 25. Элементы квантовой механики

Лекция 25. Элементы квантовой механики

1. Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределённостей.

2. Волновая функция и её статистический смысл.

3. Стационарное уравнение Шрёдингера.

4. Решение уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме.

Корпускулярно – волновой дуализм. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределённостей

Недостаточность теории Бора указывала на необходимость пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и т. п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой координатами и определенной скоростью.

В г. г. опыты Иоффе и Комптона подтвердили правильность идей Эйнштейна о двойственности корпускулярно-волновой природы излучения. Наряду с интерференцией, дифракцией, отвечающим волновой природе, имеются и другие свойства, характеризующие корпускулярную природу (фотоэффект, рентгеновское излучение, явление Комптона).

В 1924 г. де Бройль сделал предположение об аналогичном дуализме электронов, которое потом обобщили для других микрочастиц. Он постулировал сопоставление электрону с импульсом длину волны

, где (25.1)

Здесь m0 – масса покоя микрочастицы, – скорость ее движения в лабораторной системе отсчета, lФ - та длина волны, которую следует принять для описания статистического проявления микрочастицы заданного импульса.

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дифракция электронов на кристаллической решетке никеля Ni наблюдалась в опытах Девиссона и Джермера. По распределению максимумов и минимумов в дифракционной картине можно было определить длину волны. Экспериментальные данные подтвердили гипотезу де – Бройля. Несколько позже дифракционные явления были обнаружены у нейтронов, протонов и других микрочастиц. Кроме того, из анализа дифракционной картины следовало, что квадрат амплитуды дебройлевской волны в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в этой точке.

Открытие волновых свойств у частиц привело к возникновению новых методов исследования структуры вещества – электронной микроскопии, нейтронографии и других методов.

Экспериментально подтверждение гипотезы де Бройля показало, что перед нами универсальное свойство материи.

Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом) – динамическими переменными.

В связи с этим в 1927 г. Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , который для импульсов и координат записывается:

(25.2)

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенности:

.

(25.3)

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью DЕ должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере, .

Следует отметить, что неопределенность в определении величин в соотношениях (25.2) и (25.3) связана не с совершенством измерительной аппаратуры, либо современным уровнем развития квантовой теории, а с объективными дуальными свойствами исследуемой системы.

В квантовой механике само понятие о состоянии системы приобретает иной смысл, чем в классической физике – для определения этого состояния нужен иной подход. Значения величин, характеризующих состояние частицы – динамических переменных, т. е. координаты, импульсов, энергии и т. д., должны находиться с помощью волновой функции, y-функции (пси-функции), имеющей вероятностный смысл. В соответствии с принципом причинности состояние микрообъекта, определенное y –функцией в некоторый момент времени t0, однозначно предопределяет его дальнейшее состояние.

Волновая функция и её статистический смысл

Волновая комплексная функция Y для микрочастиц играет ту же роль, что и напряженность электрического поля в электромагнитном поле волны для фотонов. Она принимает положительные и отрицательные значения и характеризует дифракционные явления в потоках микрочастиц. Смысл её, согласно предложенному в 1926 г. М. Борном, состоит в том, что действительное значение квадрата модуля волновой функции Y (x,y,z,t), т. е. произведение волновой функции на комплексно-сопряженную функцию (YY*), в данной точке, определяет отнесенную к единице объема вероятность обнаружения микрочастицы в области этой точки в данный момент времени или вероятность того, что в данный момент система имеет конфигурацию, соответствующую аргументам волновой функции.

Так, вероятность

, (25.4)

где В – коэффициент пропорциональности, Y* (x,y,z,t) – сопряженная функция. Для свободного электрона, представленного в виде плоской монохроматической волны (рис. 25.1), состояние описывается функцией вида

, (25.5)

где , .

Здесь плотность вероятности пребывания частицы в данном месте

. (25.6)

Сравните с тем, что ранее полученное значение энергии в волне определялось квадратом амплитуды, а в волновой оптике
освещенность определялась квадратом амплитуды напряженности , что пропорционально количеству фотонов.

Наличие частицы в заданном объеме определяется условием

нормировки

. (25.7)

Из смысла y-функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она хоть и не позволяет определить траекторию частицы, тем не менее с помощью y-функции частица может быть обнаружена в различных точках пространства. Что на первый взгляд дает меньшую информацию по сравнению с описанием движения во времени макрообъекта в классической механике. Но это не так, квантовая механика просто не определяет того, чего нет на самом деле, нет понятия местоположения и траектории. С плотностью вероятности, определяемой по y-функции, связана вероятность энергетического состояния и причина взаимодействия между частицами.

Стационарное уравнение Шрёдингера

Уравнение движения и состояния для микрообъектов записывается как линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое было получено в 1926 г. Э. Шрёдингером. Для нерелятивистского случая, < c, оно имеет вид

. (25.8)

Здесь m – масса частицы, - оператор дифференцирования Лапласа по координатам . В уравнении (25.8) действие оператора Лапласа на Y-функцию выглядит следующим образом: . Функция U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы. При отсутствии внешних полей U=0.

Уравнение Шрёдингера имеет периодические решения вида

Y(x,y,z,t)=y(x,y,z)j(t), (25.9)

где y(x,y,z) - амплитудный сомножитель волновой функции, не зависящий от времени и удовлетворяющий условиям конечности, непрерывности и однозначности только при определенных дискретных значениях собственной энергии частиц E1, E2,…, а также j(t) - соответствующая периодическая функция частоты .

Общее решение дифференциального уравнения (25.8) представляет

сумму всех частных решений

. (25.10)

Когда характеристические параметры частицы не меняются со временем, то распределение вероятности нахождения частицы в области пространства не меняется со временем, т. е. y - функции для частицы имеют вид стоячих волн.

В этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно

U=U(x,y,z), и достаточно решить уравнение, которое получается из (25.8).

. (25.11)

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. Важность уравнения Шрёдингера для атомных процессов сравнима с значимостью второго закона Ньютона в классической механике.

Уравнение Шрёдингера удовлетворяет принципу соответствия, установленному Н. Бором. Этот принцип устанавливает, что новая теория в пределах применимости старой дает те же результаты, что и старая. Это обязательно, т. к. в своих границах применимости старая теория отвечает опыту, следовательно, верна. Доказательство выполнения принципа соответствия в квантовой механике принадлежит Эренфесту. Он доказал, что средние значения динамических переменных (частицы, описываемой уравнением Шрёдингера) подчиняются классическим уравнениям механики Ньютона.

Решение уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме

Рассмотрим решения уравнения Шрёдингера для частицы, находящейся в глубокой одномерной потенциальной яме, т. е. найдем собственные значения энергии Еn и собственные функции yn. Примером такого движения является движение электронов в металлах, т. к. вне металла U=0, а внутри она отрицательна и равна работе выхода электрона из металла.

1. Пусть частица свободно движется только вдоль оси бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы. Движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками (см. рис. 25.2а), т. е. граничные условия

. (25.12)

В этом случае уравнение Шрёдингера (25.11) внутри потенциальной ямы

(область , где функция не равна тождественно нулю, а ) имеет вид

. (25.13)

Введя обозначение , (25.14)

получим уравнение такого же вида, как для свободных гармонических колебаний, изученных ранее: .

 

Рис. 25.2

Известно решение такого уравнения

(25.15)

где k и можно найти, если воспользоваться граничными условиями (25.12). Так для получим , если a=0. А для выполнение , возможно только

при , где n=1,2,3,… (25.16)

Учитывая уравнение (25.14), можно определить собственные значения энергии частицы , где n=1,2,3,… (25.17)

Т. е. энергия электрона в потенциальном ящике не может быть произвольной. Она принимает лишь ряд дискретных собственных значений.

 

Рис. 25.3

Собственные значения функции получаются из (25.15) и (25.16)

,

где для нахождения амплитуды а следует воспользоваться условием нормировки

или, после интегрирования, следует , откуда коэффициент .

Условие (25.16) имеет физический смысл в том, что для , а следовательно и , т. е. на длине потенциального ящика должно укладываться целое число волн де Бройля (как у струны, закрепленной на концах, см. рис. 25.3а).

Таким образом, собственные функции для микрочастицы имеют вид:

. (25.18)

На рис. 25.3б показана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы . На графике видно, что в

состоянии n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и, вместе с тем, одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы, что, естественно, несовместимо с понятием траектория, как в классической механике, где положения равновероятны.

Если оценить расстояния между соседними уровнями для различных масс микрочастиц m и размеров ям , то разность энергий 2-х соседних уровней

.

I) Для молекул с mmax=10-23 г движущихся в сосуде с =10 см, согласно оценке

,

аналогично и для me~10-27 г (электроны в металле), дискретность незаметна.

2) А для ~10-8 см (порядка внутриатомных расстояний) можно получить

,

т. е. дискретность будет весьма заметна.