Квантование невариационных теорий

Этот год является юбилейным – ровно 250 лет назад во II томе «Туринских записок» вслед за трактатом о вариационном исчислении была помещена статья Лагранжа «Приложение метода, изложенного в предыдущем трактате, для решения различных задач динамики». В этой небольшой заметке Лагранжем был сформулирован принцип наименьшего действия, согласно которому движение любой механической системы происходит так, что некоторая величина – действие – принимает наименьшее возможное значение. Рассмотрим, к примеру, материальную частицу массы , движущуюся из точки в точку под действием некоторой потенциальной силы . В каждый момент времени частица обладает определенной кинетической энергией и потенциальной энергией . Согласно Лагранжу действие для материальной частицы – это просто среднее значение разности , вычисленное вдоль траектории (см. рис. 1).

Удивительный факт, установленный Лагранжем с помощью созданного им вариационного исчисления, состоял в том, что минимум достигается в точности на траектории, удовлетворяющей уравнению Ньютона . Это открытие привело к перестройке всего здания классической механики. Именно на основе принципа наименьшего действия формулируются многие фундаментальные физические теории – начиная от небесной механики и теории упругости и заканчивая электродинамикой и общей теорией относительности.

Еще большее значение действие имеет в квантовой теории. В отличие от законов классической физики предсказания квантовой механики носят вероятностный характер. Например, бессмысленно спрашивать, по какой траектории будет двигаться частица, чтобы попасть из точки в точку , но можно спросить о вероятности того, что, находясь в начальный момент времени в точке , частица, спустя время , будет обнаружена в точке.

Оказывается, что эта вероятность может быть вычислена по следующей формуле:

(1) , где .

Здесь – постоянная Планка, – мнимая единица, а – значение действия для траектории . Суммирование ведется по всем возможным траекториям , ведущим из точки в точку, как на рис. 1. Математический анализ выражения (1) показывает, что для макроскопических частиц (т. е. частиц большой массы) основной вклад в бесконечную сумму по траекториям вносит лишь одно слагаемое, а именно – слагаемое, отвечающее минимуму , т. е. классической траектории. В то же время для микрочастиц примерно одинаковый вклад вносят как классическая траектория, так и все близкие к ней траектории. С этой точки зрения квантовая частица движется не по одной, а как бы по всем траекториям одновременно, и вероятность перехода из в определяется результатом интерференции вкладов от всех траекторий. Формула (1) была предложена в 1948 году замечательным американским физиком-теоретиком Ричардом Фейнманом.

С момента выхода в свет двух упомянутых работ Лагранжа вариационные принципы проникли буквально во все разделы физической науки, однако их господство не является абсолютным. В теоретической физике исследуется большое число интересных моделей, в основе которых лежат уравнения движения, не вытекающие из принципа наименьшего действия. Последнее обстоятельство порождает непростой вопрос о существовании последовательного квантового описания для таких моделей. Действительно, как, например, определить вероятность перехода (1), не имея ?

Изучение этого и связанных с ним вопросов и является основной темой исследований нашей научной группы на протяжении ряда последних лет. Оказалось, что принцип наименьшего действия Лагранжа является частным случаем более общей концепции, в основе которой лежит новый математический объект. Отдавая дань уважения великому математику, мы назвали этот объект лагранжевой структурой. К сожалению, формат данной заметки не позволяет привести точного определения. Поэтому ограничимся лишь общей идеей, лежащей в основе лагранжевой структуры. Как отмечалось выше, основной вклад в вероятность перехода дает классическая траектория. Все остальные траектории, входящие в сумму (1), могут рассматриваться как отклонения от классической (физики называют их виртуальными). Ясно, что сдвигая каждую точку классической траектории в некотором направлении (но так, чтобы близкие точки переходили в близкие), можно получить любую виртуальную траекторию из классической. В фейнмановской формулировке квантовой механики все траектории, а следовательно, и отклонения являются возможными и равноправными. Однако, можно рассмотреть ситуацию, когда сдвиги производятся не по всем, а только по некоторым направлениям, а величина сдвига зависит от точки пространства, через которую проходит классическая траектория. Так вот, вся информация о допустимых отклонениях от классической траектории и кодируется лагранжевой структурой. Вместе с классическими уравнениями движения лагранжева структура позволяет вычислять вероятности переходов , а, следовательно, строить полноценную квантовую теорию.

Последующее изучение лагранжевой структуры показало, что она может быть использована не только в задаче о квантовании, но также при исследовании некоторых вопросов классической динамики. Например, одним из центральных положений классической механики является утверждение о сохранении полной энергии замкнутой механической системы. Последняя, как известно, дается суммой кинетической и потенциальной энергий . Другими хорошо известными примерами сохраняющихся величин являются импульс и момент импульса системы. Оказывается, что существование в природе упомянутых законов сохранения есть отражение некоторых фундаментальных свойств симметрии пространства и времени. Так, закон сохранения энергии является прямым следствием однородности времени (т. е. независимости физических законов от выбора начала отсчета времени). Однородность пустого пространства приводит к сохранению импульса, а его изотропность (т. е. равноправность всех направлений) является причиной сохранения момента импульса. Общее утверждение о связи симметрий с законами сохранения составляет содержание знаменитой теоремы Нётер (1918 г.). Следует отметить, что как в формулировке, так и в доказательстве теоремы Нётер существенно используется предположение о том, что уравнения движения системы вытекают из принципа наименьшего действия. Поэтому эта теорема не может быть непосредственно применена к невариационным уравнениям. В наших работах было показано, что наличие лагранжевой структуры позволяет устанавливать систематическое соответствие между симметриями и законами сохранения и в отсутствие действия . Полученное обобщение теоремы Нётер является еще одним указанием на фундаментальность и плодотворность концепции лагранжевой структуры и стимулирует ее дальнейшее изучение.

12.12.12