Олимпиада радиотехнические и телекоммуникационные системы

А

ОЛИМПИАДА Радиотехнические и телекоммуникационные системы

Олимпиада имеет своей целью активизацию творческой активности студентов, приобретение ими дополнительных знаний и умения решать задачи, требующих как углубленных знаний по специальным и общепрофессиональным дисциплинам, так и способности оригинально мыслить и принимать нестандартные решения.

Учредителями олимпиады являются СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им.  (Ленина) и СПб отделение НТО РЭС им. .

К участию в олимпиаде привлекаются студенты вузов, осуществляющих подготовку специалистов по направлениям в области радиотехники и телекоммуникаций, Северо-Западного региона России.

Координацию работы по проведению олимпиады осуществляет организационный комитет, в состав которого входят представители вузов, участвующих в олимпиаде.

В зависимости от особенностей организации учебного процесса в вузах-участниках, олимпиада проводится ежегодно в одну из суббот апреля-мая в СПбГЭТУ, который осуществляет всю организационную работу по проведению олимпиады (предоставляет помещения для участников олимпиады и проверки работ и т. д.), обеспечивает организацию встреч-консультаций с представителями вузов, участвующих в региональном туре, для обмена опытом и проведения ежегодной корректировки направленности заданий олимпиады, учитывающих специфику и направленность подготовки студентов;

Конкурсные задачи, предлагаемые участникам олимпиады, формируются представителями вузов, участвующих в олимпиаде, и обсуждаются членами организационного комитета. Выбор окончательного варианта заданий осуществляется накануне дня проведения олимпиады с полноправным представительством по числу задач всех вузов.

Продолжительность олимпиады – 3-4 астрономических часа без перерыва. Проверка решений проводится сразу после окончания олимпиады. Жюри регионального тура олимпиады (в состав которого включаются Председатель организационного комитета и руководители команд вузов-участников) ежегодно корректирует порядок и правила формирования пакета заданий и подведения итогов с учетом опыта проведения предшествующих олимпиад и руководствуясь принципами создания одинаковых условий всем участникам конкурса и объективности оценки результатов. Члены жюри, оценивают решения только задач, представленных их вузом. Работы кандидатов в призеры (первые шесть мест в личном зачете) проверяются всей конкурсной комиссией.

Победители в олимпиаде определяются как в личном, так и в командном зачете.

Ниже приводятся примеры задач, предлагаемых участникам олимпиад за последние 10 лет.

1. На входе фильтра с амплитудно-частотной характеристикой действует шум с корреляционной функцией . Построить график зависимости дисперсии на выходе фильтра в зависимости от полосы пропускания фильтра F.

2. Построить корреляционную функцию случайного процесса на выходе интегрирующей RC-цепи, если на ее входе действует стационарный случайный процесс, соседние отсчеты которого, взятые в равноотстоящие моменты времени ti и ti+1 (ti - ti+1=1/(2Fв), Fв – верхняя частота спектральной плотности мощности шума) имеют коэффициент корреляции, равный ‑1, и каждый из них описывается плотностью вероятности .

3. Постоянная времени Т интегрирующей RC-цепи является случайной величиной равномерно распределенной в интервале [Tmin, Tmax]. На вход цепи подается стационарный процесс с корреляционной функцией , причем l>>1/Tmin. Найти распределение дисперсии процесса на выходе цепи.

4. Случайный процесс , где x(t) и y(t) – независимые стационарные процессы с корреляционными функциями и , причем . Найти спектральную плотность мощности процесса .

5. Стационарный узкополосный нормальный случайный процесс с корреляционной функцией складывается с процессом вида , где и - случайные величины с совместной плотностью вероятности Процессы и независимы. Найти корреляционную функцию суммарного процесса и плотность вероятности отсчетов его огибающей.

6. Стационарный узкополосный нормальный случайный процесс с корреляционной функцией возводится в квадрат и в одном случае складывается с процессом , где - случайная величина равномерно распределенная на интервале , а во втором – перемножается с процессом . Процессы и независимы. Найти спектральную плотность мощности результирующих процессов и . Какой из них, выступая в роли помехи будет более опасен при обнаружении сигнала вида , ?

7. Построить зависимость максимально достижимого отношения сигнал-шум для сигнала и стационарной помехи с корреляционной функцией от отношения .

8. На последовательность независимо включенных линейных фильтров с импульсными характеристиками вида k=1,2... подается сумма нормального белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности N0/2 и сигнал s(t)=Umexp(‑аt2)), где a=540/(p4T2). Найти отношение сигнал-шум на выходе. Справка:, .

9. Найти структуру фильтра, максимизирующего отношение сигнал-шум, для сигнала и помехи, представляющей собой сумму двух независимых случайных процессов с корреляционными функциями и . Определить полученное при этом отношение сигнал-шум.

10. На вход последовательно включенных N фильтров с коэффициентами передачи поступает аддитивная смесь белого шума со спектральной плотностью мощности и сигнал . Считая , найти отношение сигнал-шум на выходе системы фильтров.

11. При записи выражения для импульсной характеристики согласованного фильтра студент ошибся и написал . Момент измерения отношения сигнал-шум он определил как момент окончания сигнала . К какому проигрышу по сравнению с правильным решением это приведет для сигнала Помеха белый шум со спектральной плотностью мощности . Для каких сигналов эта ошибка не приведет к проигрышу?

12. При построении фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом студент поменял местами знаки на входе сумматора (минус после интегратора и плюс после линии задержки). Как изменятся качественные показатели обнаружителя, если при правильном включении вероятности ошибок были равны и . Как с помощью изменения порога восстановить исходный результат?

13. Сигнал и белый шум n(t) со спектральной плотностью мощности N0/2 подаются на линейную систему (см. рис.1), где n1(t) - шум n(t) со спектральной плотностью мощности N01/2. Найти и , обеспечивающие максимизацию отношения сигнал-шум на выходе. Каким оно будет?

Рис.1

14. Сигнал S(t) и белый шум с двусторонним СПМ проходит через канал с коэффициентом передачи . На выходе канала к полному выходному сигналу добавляется белый шум с двусторонним СПМ . Считая сигнал , а , где - спектральная плотность сигнала , найти сигнал на выходе фильтра, максимизирующего отношение сигнал-шум, для описанной выше модели сигнала и помехи для двух крайних случаев: а) , б) .

15. Случайный процесс x(t) принимает значения xi в моменты времени ti, образующие пуассоновский поток с параметром l (l - среденее число моментов ti в единицу времени) и сохраняет их неизменными до следующего момента времени ti . xi – независимые случайные величины с нулевым средним и дисперсией s2. Найти корреляционную функцию процесса x(t). Сравнить полученный результат со случаем, когда xi – независимые случайные величины, равновероятно принимающие значения А и –А. Объяснить результат.

16. Случайный процесс , где - независимые, стационарные процессы, имеющие нулевые средние значения и одинаковые корреляционные функции . Найти спектральную плотность мощности процесса .

17. Найти вероятность ошибки различения на фоне нормального белого шума двух равновероятных ЛЧМ сигналов вида и при условиях , , и .

18. Необходимо выделить сигнал вида на фоне белого шума, не изменив его форму. Каким должен быть фильтр? Каким будет отношение сигнал-шум на выходе?

19. Для какого из трех, приведенных на рис.2 сигналов, имеющих одинаковую энергию, можно обеспечить большее отношение сигнал-шум с помощью интегрирующей RC – цепи с постоянной времени на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . Каким будет проигрыш по сравнению со случаем обработки сигнала согласованным фильтром.

Рис.2

20. Для сигнала сравнить эффективность двух видов помех: - стационарный случайный процесс с корреляционной функцией ; - результат дискретизации с запоминанием значения , где - период дискретизации, причем . Эффективность оценивается по величине отношения сигнал-шум на выходе согласованного фильтра. Считать .

Сравнить два варианта:

1. Используется согласованный фильтр, рассчитанный на белый шум

2. Используется фильтр, максимизирующий отношение сигнал-шум для действующей помехи или .

Сравнение провести на основе качественных рассуждений.

21. Фильтр согласован с сигналом . Каким будет отношение сигнал-шум на выходе фильтра, если на его входе кроме белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2 действует синусоидальная помеха , j - случайная величина с равномерной плотностью вероятности.

22. Для формирования и согласованной фильтрации ЛЧМ-сигнала используется фильтр на ПАВ. Какие будут потери, если при обработке сигнала использовать формирующий вход, т. е. ? От чего будет зависеть проигрыш? Отсчет берется в момент окончания сигнала.

23. Помеха формируется как произведение двух независимых стационарных случайных процессов и , спектральные плотности мощности приведены на рис.3. Там же показан вид амплитудно-частотного спектра сигнала. Какую амплитудно-частотную характеристику будет иметь фильтр, максимизирующий отношение сигнал-шум на выходе?

Рис.3.

24. Для фильтрации сигнала используется идеальный ФНЧ с частотной характеристикой Помеха имеет спектральную плотность мощности, равномерную в полосе . Как зависит отношение сигнал-шум на выходе фильтра от его полосы Wф? Оценить потери по отношению к случаю оптимальной (по критерию максимума отношения сигнал-шум) обработки.

25. На вход согласованного фильтра для прямоугольного импульса длительности Т0 помимо нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2 подается прямоугольный импульс длительности Т. Построить зависимость отношения сигнал-шум на выходе фильтра от параметра Т.

26. На вход фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом длительности T, подается сигнал в смеси с белым шумом со спектральной плотностью мощности N0/2. Какой линейный фильтр следует включить после указанного выше фильтра, чтобы обеспечить для сигнала максимальное отношение сигнал-шум? Каким будет отношение сигнал-шум после первого и второго фильтров?

27. Помеха имеет вид , где n(t) – нормальный случайный процесс, спектральная плотность мощности которого , . Найти структуру (алгоритм работы) оптимального обнаружителя и определить вероятность ложной тревоги и пропуска сигнала, если обнаруживаемый сигнал имеет вид .

28. Сигнал вида , где - независимые случайные величины, принимающие значения с вероятностью и с вероятностью обнаруживается на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . Какой будет структура оптимального обнаружителя? Какой будет при заданной вероятности ложной тревоги вероятность правильного обнаружения? При каких соотношениях между и вероятность правильного обнаружения будет максимальной?

29. Сигнал вида где - случайная величина равномерно распределенная на интервале , обнаруживается на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . При установленном пороге вероятность ложной тревоги равна . Какой будет вероятность пропуска сигнала?

30. Возможно ли безошибочное обнаружение сигнала на фоне помехи , где А и j - независимые случайные величины с совместной плотностью вероятности . Если да, то как это реализовать?

31. Какому условию должен удовлетворять спектр сигнала , чтобы качественные показатели обнаружителя и на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности были бы одинаковыми. Приведите пример такого сигнала.

32. Эргодический гауссовский процесс x(t) с корреляционной функцией записывается со скоростью v и воспроизводится со скоростью kv. Каким должно быть k, чтобы для сигнала создать наихудшие условия для его обнаружения?

33. На вход оптимального обнаружителя полностью известной псевдослучайной последовательности (ПСП) длиной N, рассчитанного на белый шум поступает в качестве помехи сумма большого числа (М>>1) ПСП (каждая из которых имеет ту же длину и амплитуду что и полезная ПСП и дает отклик согласованного фильтра со среднеквадратическим отклонением ). Как следует выбрать N, чтобы при заданном М обеспечить требуемые характеристики обнаружения сигнала.

34. Найти структуру оптимального обнаружителя сигнала на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности , если , - независимые случайные величины, равновероятно принимающие значения +1 и –1. Для случая вычилить вероятности ошибок.

35. При появлении сигнал с вероятностью 1/3 имеет задержку t0, и с вероятностью 2/3 задержку 10t0. Априорная вероятность появления сигнала 10-2. Найти структуру обнаружителя оптимального по критерию минимума среднего риска, считая потери (риски) из-за ошибочных решений одинаковыми. Обнаружение ведется на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2.

36. Необходимо обнаружить частотно-манипулированный сигнал, приведенный на рис.4, на фоне нормального белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности .

Определить структуру обнаружителя, оптимального по критерию максимума правдоподобия, считая все параметры сигнала (время прихода, амплитуда , длительность сигнала, длительность , число элементов ) известными, за исключением начальных фаз посылок.

Рассмотреть два случая:

-  начальные фазы всех посылок случайны, независимы и равномерно распределены на интервале ;

-  посылки одинаковых частот имеют одинаковые начальные фазы ( и - соответственно для частот и ), которые случайны, независимы и равномерно распределены на интервале .

Как будет зависеть вероятность правильного обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги от для обоих случаев. Ответ обосновать. Считать, что всегда выполняется условие .

37. На вход оптимального обнаружителя сигнала на фоне белого гауссовского шума при истинности гипотезы о наличии сигнала с вероятностью Р приходит сигнал S1(t), а с вероятностью (1-Р) сигнал . Найти выражения для вероятностей ложной тревоги и пропуска.

38. Найти структуру обнаружителя сигнала на фоне нестационарного нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . Какой будет структура обнаружителя при ?

39. На входе обнаружителя могут присутствовать либо не зависимые между собой отсчеты шума, подчиняющиеся распределению (гипотеза Н0), либо сумма отсчетов шума и независимого с шумом случайного сигнала, отсчеты которого независимы между собой и могут принимать с вероятностью 0,5 значения 2 и 20. Предложить алгоритм работы обнаружителя и методику определения его качественных показателей. Какое решение примет обнаружитель, если на его вход поступит следующая последовательность отсчетов {17,28, 35, 1, 29, 46, 17, 6}? Ответ обосновать.

40. Сигнал , приведенный на рисунке, обнаруживается на фоне нестационарного нормального белого шума, спектральная плотность мощности которого меняется во времени (см. рис. 5). Найти структуру оптимального обнаружителя и при заданном значении вероятности ложной тревоги Рлт определить вероятность правильного обнаружения Рпр.

Рис.5

41. Помеха представляет собой сумму N независимых стационарных процессов, отсчеты которых распределены равномерно в интервале [-1В,1В], а спектральная плотность мощности имеет вид , где Т - заданная величина, равная 1с, а необходимо определить. Считая , найти структуру оптимального обнаружителя полностью известного видеоимпульса длительностью и имеющего амплитуду 201В. Оценить качественные показатели (вероятности ложной тревоги и пропуска).

42. Обнаруживаемый на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности сигнал может равновероятно занимать одно из двух положений на временной оси: или Какую структуру имеет оптимальный обнаружитель. Как зависит вероятность правильного обнаружения Рпр при фиксированной вероятности ложной тревоги Рлт от величины D?

43. На оптимальный обнаружитель полностью известного прямоугольного видеоимпульса длительности и имеющего амплитуду , спроектированного в расчете на нормальный белый шум, в качестве помехи подается случайное напряжение вида , где - заданная величина (), - независимые случайные величины, имеющие распределения Определить качественные показатели (вероятности ложной тревоги и пропуска) процедуры обнаружения, если .

44. На вход обнаружителя детерминированного сигнала , где на фоне нормального белого шума подается сигнал с кодовой последовательностью Как следует изменить величину для получения тех же вероятностей ошибок, что и в штатной ситуации. В какой момент времени следует брать отсчет с выхода согласованного фильтра для получения наилучших качественных показателей?

45. Сигнал обнаруживается на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . Как изменится вероятность правильного обнаружения при сохранении неизменным значения вероятности ложной тревоги, если вместо сигнала будет обнаруживаться ?

46. Обнаружение прямоугольного радиоимпульса амплитуды и длительности Т осуществляется с помощью устройства оптимизированного в расчете на белый шум. Постановщик помехи формирует асинхронный случайный мешающий сигнал ограниченной мощности минимизирующий отношение сигнал-шум на входе порогового устройства. Оценить эффективность помехи.

47. По проводному каналу связи передается бинарная псевдослучайная последовательность полностью известной амплитуды , содержащих М сигналов. Помеха, присутствующая в канале, - суперпозиция колебаний, каждое из которых представляет случайный синхронный телеграфный сигнал амплитуды . Найти вероятности и .

48. При каких условиях, предъявляемых к спектру сигнала , сигнал , где - единичный коэффициент размерности [с], можно обнаружить с большей вероятностью правильного обнаружения, нежели сигнал . В обоих случаях используются оптимальные обнаружители; обнаружение осуществляется на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности , вероятности ложной тревоги – одинаковые.

49. В сигнале вида амплитуда Um и длительность Т связаны соотношением , где и - единичные коэффициенты, обеспечивающие единство размерностей слагаемых, с2 – фиксированная константа. При каком соотношении между Um и Т вероятность правильного обнаружения данного сигнала на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2 для заданного значения вероятности ложной тревоги будет максимальна?

50. На входе оптимального обнаружителя детерминированного прямоугольного импульса длительности Т на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2 помимо шумовой составляющей присутствует помеха в виде случайного синхронного телеграфного сигнала с корреляционной функцией . Как изменятся вероятности ложной тревоги и пропуска, если а) , б) ?

51. Найти структуру оптимального по критерию Неймана-Пирсона обнаружителя сигнала вида на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности и определить вероятность правильного обнаружения, считая мВ, Вт/Гц, Т=10-3с и вероятность ложной тревоги .

52. Найти алгоритм оптимального по критерию Неймана-Пирсона обнаружения сигнала , где - независимые случайные величины, принимающие значение 1 с вероятностью и 0 с вероятностью , , на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2?

53. Полезный сигнал имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами, равными а. При каком значении угла при основании вероятность правильного обнаружения для заданного значения вероятности ложной тревоги и шума со спектральной плотностью мощности N0/2 будет максимальным.

54. При каком значении параметра нормальный случайный процесс с корреляционной функцией создаст для сигнала наихудшие условия для его обнаружения? (Минимум вероятности правильного обнаружения при фиксированном значении вероятности ложной тревоги).

55. Выходные сигналы фильтров, согласованных с и , имеющими энергии и соответственно, суммируются с весовыми коэффициентами и . Полезные сигналы сфазированы так, что их максимальные значения на выходах согласованных фильтров достигаются в одинаковые моменты времени. Шумы на входах согласованных фильтров независимые белые со спектральными плотностями мощности и . Найти весовые коэффициенты, обеспечивающие максимальное отношение сигнал-шум на выходе сумматора.

56. Как изменится ошибка различения двух равновероятных противоположных сигналов одинаковой энергии на фоне нормального белого шума, если от задачи чистого различения перейти к задаче различения - обнаружения? Каким будет алгоритм работы обнаружителя-различителя? Качественные показатели процедуры обнаружения ( и ) считать заданными.

57. Найти структуру оптимального различителя сигналов и на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . Сигналы и полностью известны и имеют одинаковые энергии. Вычислить вероятности ошибок, считая, что сигналы равновероятны.

58. Финитный сигнал имеет энергию Е. Найти максимальную вероятность правильного различения сигналов и на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2?

59. Найти структуру оптимального различителя сигналов и на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности и вычислить вероятность ошибки, считая .

60. Найти структуру оптимального по критерию максимума правдоподобия различителя двух случайных сигналов, представляющих собой независимые, стационарные, нормальные случайные процессы с корреляционными функциями и , причем . Различение ведется на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности , независимого с различаемыми сигналами. Интервал наблюдения и

61. Вычислить вероятности различения по методу максимального правдоподобия для двуз пар сигналов, приведенных ниже, на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности

·  и

·  и ,

где .

62. Различение сигналов и происходит на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . При какой величине D достигаются наилучшие качественные показатели различения? Чему при этом равна вероятность ошибки?

63. Как выбрать параметр , чтобы сигналы и различались бы на фоне нормального белого шума наилучшим образом?

64. Задача различения двух равновероятных сигналов и на фоне нормального белого шума, где решается в условиях радиопротиводействия. Противник располагает информацией о виде сигналов, но не знает, какой из них излучается в данный момент времени. Какое мешающее воздействие ограниченной энергии Е будет наиболее опасным? Ответ обосновать.

65. Решается задача различения равновероятных сигналов и , где на фоне нормального белого шума. К шуму добавилась помеха . Как изменится вероятность перепутывания сигналов? Ответ обосновать.

66. Определить вероятность ошибки при различении сигнала и его производной, считая их энергии одинаковыми и равными на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности .

67. Необходимо различить равновероятные сигналы и на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2. Величины удовлетворяют условию . Как следует выбрать эти величины, чтобы вероятность ошибки различения была бы минимальна?

68. Различаемые методом максимального правдоподобия сигналы начинаются в момент времени и имеют вид прямоугольных импульсов одинаковой энергии Е. Как следует выбрать соотношение длительностей этих импульсов, чтобы получить минимальную ошибку их различения на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2?

69. Символы , поступающие от источника сообщений с вероятностями и , передаются с помощью прямоугольных видеоимпульсов длительности Т и амплитуды U. Для передачи отводится интервал времени [0, 2T]. С помощью изменения временного положения импульсов (но, не выходя за пределы интервала [0, 2T]) и полярности сформировать набор символов минимизирующих вероятность ошибки при приеме сигналов на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2. Пользуясь аддитивной границей, оценить вероятность ошибки.

70. Необходимо измерить разность фаз колебаний и , принимаемых по двум каналам в течении времени Т. Помехи в каналах независимы и являются нормальным белым шумом. Найти алгоритм оценивания и определить его точность.

71. Постоянный во времени сигнал может принимать значение 5В с вероятностью 0,3 и 8В с вероятностью 0,7. Наблюдение ведется на фоне нормального шума с нулевым средним и дисперсией 16В2, используется 10 независимых отсчетов. Найти алгоритм оценки по правилу максимума апостериорной вероятности. Каким будет результат измерения, если вектор наблюдений ?

72. Для измерения запаздывания фазовым методом используются два сигнала и . Найти структуру максимально правдоподобного измерителя и оценить точность измерения, считая помеху нормальным белым шумом со спектральной плотностью мощности . Считать .

73. Генератор гармонического колебания может работать на частоте 106Гц или 106+1Гц. Амплитуда сигнала – 1мВ. Спектральная плотность мощности нормального белого шума, на фоне которого производится определение частоты генератора В2/Гц. Сколько времени надо обрабатывать наблюдаемое колебание, чтобы вероятность ошибки в определении частоты не превысила бы 10-2.

74. Определить дисперсию максимально правдоподобной оценки постоянной скорости сближения V передатчика, излучающего частоту f0 и неподвижного приемника, полученной на основе использования эффекта Доплера. Амплитуда принимаемого периодического колебания Um, помеха – НБШ со спектральной плотностью мощности N0/2, время излучения Т и амплитуда сигнала Um обеспечивает выполнения условия , где Е - энергия обрабатываемого полезного сигнала.

75. Излучаемый сигнал может содержать один или два прямоугольных импульса, все параметры которых в точке приема известны. Возможно отсутствие излучения. Необходимо определить факт получения и оценить количество излучаемых в этом случае сигналов. Предложить структурную схему и для заданного значения вероятности ложной тревоги определить вероятность ошибки при определении числа импульсов, считая амплитуду импульсов равной , а длительность - .

76. Измерение временного запаздывания t осуществляется фазовым методом с помощью двух радиоимпульсов, все параметры которых, за исключением t, являются известными. Сигналы и поступают по двум каналам. Считая, что помехой являются собственные шумы приемников, которые предполагаются независимыми между собой нормальными белыми шумами с одинаковыми спектральными плотностями мощности ; энергии сигналов равны соответственно Е1 и Е2, а устранение многозначнеости фазовых отсчетов осуществляется безошибочно. Найти алгоритм формирования оптимальной оценки на основе метода максимального правдоподобия и получить выражение для дисперсии оценки.

77. Какой должна быть несущая частота радиоимпульса , чтобы оценить методом максимального правдоподобия время запаздывания с заданной вероятностью устранения многозначности. Все остальные параметры сигнала (кроме ) считаются известными. Помеха - нормальный белый шум со спектральной плотностью мощности . Выполняется условие , где Е – энергия сигнала.

78. Необходимо измерить временной интервал между двумя сигналами и на фоне нормального белого шума, т. е. оценить величину Δt=τ2 –τ1 . Амплитуды Um1 и Um2 должны удовлетворять условию Um12 + Um22 . Как выбрать Um1 и Um2, чтобы среднеквадратическая ошибка была минимальна и найти ее значение. Считать, что Δtмин>>max[1/Ώ1, 1/Ώ2], спектры сигналов не перекрываются и отношение сигнал-шум на выходе фильтров, согласованных с сигналами.

79. Измеряемая методом максимального правдоподобия частота гармонического колебания лежит в диапазоне . Какое минимальное число периодов необходимо обработать, чтобы измерить частоту с относительной ошибкой ? Измерения проводятся на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2.

80. Какое максимальное число периодов гармонического колебания необходимо обработать, чтобы измерить методом максимального правдоподобия амплитуду А с относительной ошибкой и фазу с точностью ? Значение амплитуды лежит в диапазоне , а фазы в диапазоне . Частота известна. Измерения проводятся на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2.

81. Необходимо оценить начальную фазу гармонического колебания на фоне нормального белого шума с СПМ . Каким должен быть интервал наблюдения [0,T], чтобы выполнилось условие ? Сигнал может присутствовать на входе с вероятностью р. В случае необнаружения сигнала измеритель выдает оценку . Априори фаза распределена равномерно на интервале .

82. Сигнал вида может появиться на входе обнаружителя с равновероятным запаздыванием , где , а . Какой должна быть амплитуда сигнала, чтобы на фоне аддитивного белого гауссовского шума со спектральной плотностью мощности N0/2 обеспечит вероятности ложной тревоги и пропуска , а также среднеквадратическую ошибку оценивания равную ? Параметр считается заданным, N=100.

83. Оценить методом максимального правдоподобия временное положение сигнала , , , принимаемого на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2. Параметры сигнала известны. Найти структуру максимально правдоподобного измерителя и среднеквадратическую ошибку оценки .

84. Какое время нужно потратить, чтобы последовательно оценить в 10 точках частотного диапазона АЧХ и ФЧХ линейного фильтра на входе которого присутствует аддитивный нормальный белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2 и для измерений используется генератор гармонических колебаний с амплитудой U. Необходимо, чтобы для всех 10 точек вероятность того, что ошибка измерения АЧХ и ФЧХ превысит 10% от измеряемой величины, не превосходила бы 10-2.

85. Для оценки постоянной времени интегрирующей RC цепи используется N независимых отсчетов выходного сигнала. Входной сигнал - нормальный белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. Найти максимально правдоподобную оценку постоянной времени цепи.