Учебно-методический комплекс дисциплины «Моделирование систем» (стр. 8 )

Сумму лучше всего вычислять (во избежание непроизводительных затрат памяти) путем постепенного накапливания.

Оценку дисперсии можно вычислять по формуле:

однако это связано с непроизводительным использованием памяти ЭВМ. Поэтому лучше воспользоваться формулой:

Оценка характеристик случайного процесса

Для оценки корреляционного момента двух случайных величин x, y рекомендуется использовать формулу:

Для вычисления оценки характеристик СП производят статистическую обработку по N реализациям СП. Для этого интервал СП разбивают на части с Мат. ожидания и дисперсии для каждого можно вычислить по формулам, приведенным выше. Оценку корреляционной функции можно вычислить по формуле:

Здесь , .

Количество реализаций, обеспечивающих заданную точность

Важной задачей обработки информации является задача определения количества реализаций N, обеспечивающих заданную точность получения оценок. Для определения N при оценке вероятности b пользуются формулой:

а при оценке мат. ожидания пользуются формулой:

В формулах - квантиль, для нормального, центрированного нормального закона распределения, соответствующий значению где P заданная достоверность; - оцениваемая вероятность; - дисперсия; - допустимая погрешность. В этих формулах неизвестно, а может быть неизвестным. Поэтому производят предварительно 50-100 реализаций, получают по ним оценки и , подставляют их в формулы для вычисления уточненного значения N.

2.12. Стохастическое линейное оптимальное регулирование

Теоретические основы стохастического регулирования

Рассмотрим систему [4]:

(2.12.1)

где x0 – стохастический вектор со средним значением

и матрицей дисперсий Q0 . Наблюдаемая переменная описывается выражением:

y (t) = Cx(t) + w2 (t), t ≥ t

Совместный случайный процесс w(t) = [w1 (t) w2 (t)]T является белым шу -

мом с интенсивностью:

(2.12.3)

Тогда задача стохастического линейного оптимального регулирования с обратной связью по выходной переменной является задачей нахождения такого функционала:

u (t) = f [y (τ), t 0 ≤ τ ≤ t ], t 0 ≤ t ≤ t1 , (2.12.4)

при котором критерий:

(2.12.5)

достигает минимума. Здесь R1, R2 – симметрические весовые матрицы, такие, что R1 > 0, R2 > 0, t0 ≤ t ≤ t1.

Запишем решение задачи стохастического линейного регулирования

с обратной связью по выходной переменной. Для входной переменной

имеем:

(2.12.6)

где

(2.12.7)

Здесь P – решение уравнения Риккати:

(2.12.8)

Оценка x(t) получается как решение уравнения:

(2..12.9)

где

(2.12.10)

Матрица дисперсий Q является решением уравнения Риккати:

(2.12.11)

Решение задач стохастического линейного оптимального регулирования

Задача 2.12.1. Система управления положением описывается диффе-

ренциальным уравнением вида:

(2.12.12)

где Х (t) = [Х1 (t) Х2 (t)]Т; τ d (t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-

ся выражением:

(2.12.13)

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.

Критерий оптимальности имеет вид:

(2.12.14)

определить u(t), K0.

Решение. В обозначениях (2.12.1) – (2.12.11) имеем

(2.12.15)

Подставляя (2.12.15) в (2.12.8), получим:

(2.12.16)

Пусть Рij, (i, j = 1,2) обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая Р12 = Р21, получим из (2.12.16)

(2.12.17)

Сложим элементы матриц друг с другом, соблюдая порядок равенства индексов элементов матриц. Составим уравнения на основе приравнивания к нулю элементов матрицы, получим следующие алгебраические уравнения:

(2.12.18)

Из (2.12.18) определим Р11, Р12, Р22. Будем иметь

(2.12.19)

(2.12.20)

(2.12.21)

Определим матрицу F0 из соотношения (2.12.7). Получим:

(2.12.22)

Соотношение (2.12.22) с учетом (2.12.19), (2.12.20) примет вид:

(2.12.23)

Таким образом:

(2.12.24)

Используя (2.12.11), определим Q. Пусть qij, (i, j = 1,2) обозначают элементы

матрицы Q. Тогда, учитывая q12 = q21, получим из (2.12.11) следующее уравнение:

или

(2.12.25)

Из (2.12.25) получим следующие алгебраические уравнения:

(2.12.26)

Из (2.12.26) определим q11, q12, q22. Получим:

(2.12.27)

(2.12.28)

(2.12.29)

где

(2.12.30)

Определим матрицу K0 из (2.12.10). Будем иметь:

(2.12.31)

Соотношение (2.12.31) с учетом (2.12.27), (2.12.28) примет вид:

(2.12.32)

Из (2.12.9) имеем:

(2.12.33)

Определим матрицу D вида:

D = A – K0C – BF0. (2.12.34)

Будем иметь:

Примем следующие численные значения параметров:

χ = 0,787 рад /В ⋅ с 2 ,

α = 4,6 с −1 ,

ρ = 0,00002 рад 2/ В 2 ,

γ = 0,1 кг −1 ⋅ м −2 ,

Vd = 10 Н 2 ⋅ м 2 ⋅ с,

Vm = 10 −7 рад 2 /с.

Имеем:

k11 = 40,36; k 22 = 814,34; P12 = 0,00568; P22 = 0,00047.

Характеристический полином матрицы D можно найти в виде

Характеристическое уравнение имеет вид:

S 2 + 59.5S + 1763.3 = 0 .

Найдем корни характеристического уравнения. Получим:

S1, 2 = −29,75 ± i59,27 .

Таким образом, система, описываемая уравнением (2.12.33) , устойчива.

Литература

1. , Федосин систем. Учебно-практическое

пособие. Интернет - Университет Информационных Технологий: БИНОМ.

Лаборатория знаний. 2010. – 231 с.

2. Казиев в анализ, синтез и моделирование систем.

htpp://www. *****, 2010.

3. , Постовалов статис­тика. Правила про­-

верки согласия опытного распределения с тео­ретическим. – Но­восибирск:

Изд-во НГТУ. – 1999. – 86 с.

4. , Липатов указания к

практическим занятиям по курсу «Теоретические основы

автоматизированного управления». Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006.

5. , , Носов теория

конструирования систем управления. Учебник для вузов. М.: Высшая

школа, 2003. С. 501-503.

6. Прохорова оптимизация многомерных САУ на

основе модификации метода корневого годографа. Монография. Москва:

РГСУ, 2010. – 84 с.

7. Прохорова и синтез многомерных САУ на основе

моделирования процессов в s-области. Монография. Москва: АПКиППРО,

20с.

3.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. Основная литература

№№ п/п	Автор	Наименование	Год изда- ния	Колич. экземпляров
в библ.	на кафед.
1.	,	Моделирование систем. Учебно-практическое пособие.	2010	5
2.		Введение в анализ, синтез и моделирование систем.	2010	htpp://www. *****

3.2. Дополнительная литература

№№ П/п	Автор	Наименование	Год изда- ния	Колич. экземпляров
в библ.	на кафед.
1.	,	Методические указания к практическим занятиям по курсу «Теоретические основы автоматизированного управления»	2006		э/в
2.		Автоматизированное проектирование систем управления	2008		э/в

4. ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ

1. Назовите основные свойства модели.

2. Назовите основные этапы компьютерного моделирования.

3. Что входит в математическое моделирование?

4. Что такое линеаризация и зачем она нужна?

5. Назовите основные свойства нормального распределения.

6. Чтотакое статистическое моделирование, основные этапы и назначение?

7. Что такое функция правдоподобия?

8. Что такое марковский процесс с дискретным временем, его применение?

9. Что такое марковский процесс с непрерывным временем, его применение?

10. Что такое каноническое разложение случайных процессов, назначение?

11. Что такое активная идентификация?

12. Что такое пассивная идентификация?

13. Что такое идентификация динамических объектов? Назначение. Примеры.

14. Что такое имитация случайных процессов? Назначение. Примеры.

15. Назовите основные этапы обработки результатов моделирования.

16. Как определить точность моделирования?

5. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Модели и моделирование.

2. Прикладные аспекты моделирования.

3. Основные свойства модели и моделирования.

4. Классификация видов моделирования.

5. Математическое моделирование сложных систем.

6. Имитация случайных величин и процессов.

7. Основы математического моделирования.

8. Компьютерное моделирование.

9. Основные атрибуты эволюционного моделирования.

10. Основные направления исследования эволюции систем.

11. Основы принятия решений.

12. Формализуемые решения.

13. Генерирование равномерно распределенных случайных чисел.

14. Аддитивный генератор случайных чисел.

15. Алгоритм рандомизации перемешиванием.

16. Критерий Хи – квадрат проверки случайности наблюдений.

17. Эмпирические критерии наблюдений случайных событий.

18. Метод случайного выбора из ограниченного множества.

19. Общие методы непрерывных распределений случайных чисел.

20. Нормальное распределение.

21. Метод наименьших квадратов.

22. Марковский процесс с дискретным временем.

23. Марковские случайные процессы с непрерывным временем.

24. Определение матрицы М среднего времени перехода в цепях Маркова.

25. Каноническое разложение случайного процесса.

26. Общие положения идентификации математических моделей.

27. Обобщенная процедура идентификации.

28. Задачи детерминированного линейного оптимального управления.

29. Принципы построения моделирующих алгоритмов.

30. Имитация нестационарных и стационарных случайных процессов.

31. Обработка результатов моделирования.

32. Стохастическое линейное оптимальное регулирование.

6. ПЕРЕЧЕНЬ КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММ, ЭЛЕКТРОННЫХ ПОСОБИЙ

6.1. Перечень программных средств для обучения студентов

·  операционная система Windows

·  MS Office

·  Visual Studio 2008 C++

6.2. Перечень электронных пособий

1. Прохорова систем Лабораторный практикум. Москва:

АПКиППРО, 2010. – 24 с.

2. Прохорова систем в задачах. Практикум. Москва:

АПКиППРО, 2010. – 96 с.

3. Прохорова процессов и систем. Учебник. М.: АПКиППРО, 2010. – 160 с.

(на кафедре есть все методические материалы в электронном виде)

6.3. Интернет-ресурсы используемые при изучении дисциплины

www. *****

7. ГЛОССАРИЙ

Модель - это объект или описание объекта, системы для замещения одной системы (оригинала) другой системой для лучшего изучения оригинала или воспроизведения каких-либо его свойств.

Моделирование - это универсальный метод получения описания функционирования объекта и использования знаний о нем.

Модель статическая, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра.

Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Физическое моделирование использует саму систему, либо подобную ей в виде макета.

Математическое моделирование есть процесс установления соответствия реальной системе S математической модели M и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики реальной системы.

Аналитическое моделирование предполагает, что процессы функционирования элементов записываются в виде математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, логических и др.).

Компьютерное математическое моделирование формулируется в виде алгоритма (программы для ЭВМ), что позволяет проводить над моделью вычислительные эксперименты.

Численное моделирование использует методы вычислительной математики.

Статистическое моделирование использует обработку данных о системе с целью получения статистических характеристик системы.

Имитационное моделирование воспроизводит на ЭВМ (имитирует) процесс функционирования исследуемой системы, соблюдая логическую и временную последовательность протекания процессов, что позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в определенные моменты времени.

Система – совокупность элементов со связями и целью функционирования.

Сложная система – это система, состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями.

Большая система – это система, состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными связями.