Предмет и аксиоматика ТЭЦ (стр. 2 )

Можно составить 2 уравнения Кирхгофа для узлов и 3 — для ветвей:

Очевидно, что эти уравнения не являются независимыми (5 уравнений относительно 3 неизвестных величин). Система линейных уравнений может быть приведена к виду линейно независимой несколькими способами.

Некоторые сведения из топологии. Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа

Пусть дана произвольная цепь с n узлами и m ветвями. Поиску подлежат m неизвестных (токов или напряжений). В их число всегда входят токи через источники напряжения, напряжения на источниках токов и токи или напряжения в остальных ветвях. Используя постулат Кирхгофа для узлов, можно всегда сформировать (n−1) линейно независимое уравнение. Необходимо определить m величин, а, следовательно, уравнений по постулату для узлов достаточно сформировать (m−n+1) независимых уравнений.

Итак, задача вобщей постановке заключается в создании способа выделения из всевозможных уравнений Кирхгофа для контуров (m−n+1) линейно независимых. Решить эту задачу удается, применив методы топологии.

Топология — раздел математики, изучающий неметрические свойства геометрических фигур. Например, с т. з. топологии следующие фигуры эквивалентны:

В топологии приняты следующие определения.

Узел (вершина) — точка в пространстве.

Ветвь (ребро) — линия, соединяющая два узла.

Граф — произвольная совокупность узлов и ветвей.

Плоский граф — можно изобразить на плоскости так, что ветви пересекаются только в узлах.

Изоморфный граф — граф, полученный из другого простым изменением положения ветвей и узлов.

Планарный граф — граф, изоморфный плоскому.

Топологический (ненаправленный, неориентированный) граф — граф, в котором направление движения вдоль ветвей от узла к узлу не указано.

Сигнальный (направленный, ориентированный) граф — граф, в котором от узла к узлу вдоль ветвей можно двигаться только в указанном направлении:

Путь — однонаправленная последовательность узлов и ветвей, двигаясь вдоль которой каждую ветвь и каждый узел проходим только один раз.

Контур — замкнутый путь. В любом топологическом графе такой путь существует.

Связный топологический граф — такой граф, в котором, двигаясь из любого узла вдоль ветвей, можно попасть в любой другой узел.

В несвязном топологическом графе, двигаясь из любого узла вдоль ветвей, в некоторые узлы попасть нельзя.

Подграф­ — граф, содержащий не все узлы или ветви исходного графа:

Сечение — набор ветвей, которые надо удалить, чтобы граф распался на два несвязных.

Дерево — минимальный связный подграф данного графа:

Ветви связи — ветви, которые надо удалить, чтобы из данного графа выделить дерево.

Для того, чтобы образовать минимальное дерево, необходимы два узла и ветвь, далее для присоединения еще одного узла — еще ветвь и т. д. Тогда, если произвольный граф имеет n узлов и m ветвей, тогда любое его дерево содержит (n−1) ветвь, а граф —(m−n+1) ветвей связи. Так как дерево есть минимальный связный подграф данного графа, то добавление к любому дереву любой ветви связи обязательно влечет за собой образование контура. Этот контур будет линейно независимым, поскольку он содержит ветвь связи, вновь присоединенную, и ранее не рассмотренную. Следовательно, последовательное добавление ветвей связи дает возможность образовать (m−n+1) независимых контуров. Необходимо только одно: образовывать эти контуры так, чтобы каждый из них содержал вновь присоединяемую ветвь дерева. Отсюда следует правило формирования системы линейно независимых уравнений Кирхгофа для контуров.

Остается только сопоставить цепи топологический граф. Всякой цепи с n узлами и m контурами можно поставить в однозначное соответствие граф, если каждому узлу цепи сопоставить узел (вершину) графа, а каждой ветви цепи — ветвь (ребро) графа. Это соответствие, конечно, не будет взаимно-однозначным.

Процедура формирования линейно независимых уравнений Кирхгофа

1.  Назначаем m искомых переменных. В их состав обязательно входят токи через ИН, напряжения на ИТ и напряжения или токи в остальных ветвях. Назначаем знаки напряжений на всех элементах и направления тока во всех ветвях.

2.  Анализируемой цепи ставим в однозначное соответствие ее топологический граф, имеющий n узлов (вершин) и m ветвей (ребер).

3.  Отсекая поочередно (n−1) узел, выполняем (n−1) независимое сечение.

4.  Образуем одно из возможных деревьев с (n−1) ветвями и соответствующую ему систему ветвей связи из (m−n+1) ветвей.

5.  Присоединяя к дереву поочередно по одной ветви связи, отмечаем независимые контуры, каждый из которых обязательно содержит вновь присоединенную ветвь связи.

6.  Назначаем направление обхода независимых контуров и знаки членов в уравнениях Кирхгофа для узлов и контуров.

7.  Записываем систему линейно независимых уравнений Кирхгофа для сечений и контуров.

В рамках примера из предыдущего подраздела

1.  Искомые переменные — iu(t), ui(t), iLC(t).

2.   

3.  Сечений n−1=2. Отсекаем первый узел. Возможных деревьев три:

4.  Выбрали первое дерево. Тогда ветви связи — 2, 3.

5.   

6.  Назначили знаки (произвольно). Выбрали контуры (первая ячейка и внешний контур цепи).

7.  Запишем уравнения К.:

Видно, что полученная система линейно независима. Можно показать, что результат преобразований инвариантен к совокупности тех или иных топологических операций.

§6. Формирование обобщенной модели нелинейной детерминированной цепи с сосредоточенными параметрами. Формулировка общей задачи анализа динамики электрической цепи

Обозначим

В этих обозначениях можно записать известные нам факты более коротко. В случае линейной индуктивности и емкости:

Для нелинейного случая:

и т. д.

Тогда постулаты Кирхгофа перепишутся в следующем виде:

Было	Стало
	где x(t) — как напряжения, так и токи в ветвях цепи, f(t) — напряжения и токи независимых источников.
	где x(t) и f(t) имеют тот же смысл, что и для закона напряжений Кирхгофа.

Мы видим, что общая запись закона токов Кирхгофа (ЗТК) и закона напряжений Кирхгофа (ЗНК) одинакова. Объединим их в одну:

(1)

где D, D−1, x(t), f(t) определены ранее, F — вектор-функция, L — вектор линейных операторов. В нашем конкретном случае L = Σ.

Уравнение (1) описывает все детерминированные цепи с сосредоточенными параметрами.

Оператор L и вектор-функция F зависят от той предметной области, в которой уравнение (1) составлено: теория цепей, экономика, астрономия…

Общей задачей динамики цепи называется задача составления и решения (1) применительно к электрическим цепям, т. е. задача отыскания таких параметров x(t), которые обращают (1) в тождество.

Глава 2. Анализ пассивных и активных кусочно-линейных цепей в области вещественной переменной t

§1. Понятие анализа цепи в t-области. Коммутация. Переходный процесс. Обобщенное уравнение динамики линейной цепи в развернутом виде

Будем изучать только такие цепи, ампер-вольтовые, ампер-кулоновые и ампер-веберные характеристики которых представляют собой куски прямых:

Анализом цепи в t-области называется процедура отыскания такого x(t), которое обращает уравнение (1) в тождество. Уравнение (1) при этом не подвергается никаким преобразованиям, в том числе — и независимой переменной t.

Коммутацией называется мгновенное изменение воздействий, параметров или структур цепи. В результате коммутации токи и напряжения в ветвях цепи изменяются. Эти изменяющиеся токи и напряжения называют переходными процессами.

Следовательно, анализом цепи называется процедура отыскания переходного процесса x(t), обращающего уравнение (1) в тождество.

Примеры коммутации

1.   

2.   

3.   

Уравнение (1) развернем для дальнейшего решения применительно к описанию пассивных и активных кусочно-линейных цепей (в частности, линейных). Поступим следующим образом: расссмотрим достаточно общий пример, из анализа которого получим схему решения (1).

Пример. Описание динамики линейной активной цепи после коммутации.

1.  До коммутации ключ был замкнут, и ИТ был замкнут накоротко. После коммутации изменились структура и воздействие.

Граф до коммутации	Граф после коммутации

2.  Выполняем одно (n = 2, m = 3, m − n = 1) сечение в графе после коммутации:

3.  Образуем дерево, работая с I:

4.  2, 3 образуют ветви связи:

При присоединении третьей ветви можно образовать два контура: 23 и 13. Возьмем, например, 23. Тогда независимыми будут 12 и 23.

5.  В постулате Кирхгофа для токов (ЗТК) вытекающим токам сопоставим, например, знак «−», а втекающим — «+». Если встретилось напряжение элемента с положительной полярностью, даем ему знак «+», иначе «−».

Отметим: выбор знаков совершенно произволен. Важно только следовать выбранным при решении правилам. Причина: токи и напряжения нам заранее неизвестны.

6.  Запишем в виде уравнения (1) систему линейных линейно независимых уравнений Кирхгофа. Получим

В данном случае в качестве L выступает оператор Σ (суммирования), а левая часть (вектор-функция) линейна. Для упрощения записи уравнений, введем

вектор искомых переменных

вектор воздействий (источников)

и перейдем к матричной форме

Обозначим

,

В этих обозначениях

. (2)

A(D) — матрица коэффициентов, содержание которой обусловлено выбором искомых переменных, структурой цепи, ее параметрами и содержит операторы D и D−1. Ничего другого A(D) содержать не может.

Содержание матрицы G(D) обусловлено характером обработки воздействий в цепи.

H0 — матрица констант; в исследуемых линейных цепях она не может содержать ничего, кроме начальных значений напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, т. е. uC(0), iL(0).

Любая другая линейная цепь (активная или пассивная) имеет только лишь количественно другое описание матриц, входящий в это уравнение и не имеет никаких качественных от него отличий. Поэтому полученный результат является общим — мы получили развернутую форму (1) для линейных детерминированных цепей.

Уравнение (2) в полученном виде является интегрально-дифференциальным. Решать его неудобно. Однако, поскольку мы имеем линейное уравнение, его всегда можно привести к дифференциальному. В дальнейшем будем работать только с такими уравнениями.

Чтобы получить развернутую форму (1) в дифференциальном виде, достаточно правильно выбрать искомые переменные. А именно, взять в качестве x(t) напряжения на емкостях и токи в индуктивностях. В нашем примере достаточно вместо iLC взять uC. Все процедуры до последнего пункта будут одинаковыми, кроме полученной системы:

В матричной форме

,

или, с учетом введенных обозначений,

. (3)

Уравнением (3) тоже описываются все линейные детерминированные цепи с сосредоточенными параметрами. (3) — дифференциальное уравнение.

§2. Решение уравнений Кирхгофа, описывающих динамику линейной цепи с точностью до постоянных интегрирования

(3) — линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, справедливое для всех линейных цепей. Решение (3) в силу его линейности единственно и выполняется при .

Характеристическое уравнение

Решение состоит из двух частей:

где N — порядок (3), λn — корни характеристического уравнения, V — кратность n-го корня, Bn — постоянные интегрирования.

Частное решение, в отличие от общего, для каждого неоднородного уравнения свое и определяется методом подбора.

Поскольку общий вид решения (3) известен, то процедура его решения сводится к поиску трех компонент: xчастн(t), Bn (n = 1..N). В рамках этого параграфа мы сформируем процедуру отыскания первых двух компонент: частного решения и λn.

Процедура

1.  Найти уравнение (3) по сформированной в §1 схеме решения.

2.  Проверить условие существования и единственности решения:

3.  В зависимости от вида вектора f(t) подбираем вектор частных решений xчастн(t).

4.  Формируем и решаем характеристическое уравнение

5.  В зависимости от вида корней λn для скалярных составляющих вектора x(t), обозначаемых xl(t), , записываем решение (3) с точностью до постоянных интегрирования.

Пример. Анализ пассивной линейной цепи с точностью до постоянных интегрирования.

В этой задаче

Выполнив шаги, изложенные в соответствующей процедуре первой главы, получим набор линейно независимых уравнений Кирхгофа:

.

В матричной форме

Проверим существование и единственность:

Поскольку при t ≥ 0 u(t) = U = const, частное решение будем искать также в виде константы:

После подстановки xчастн в (3) получим

Запишем характеристическое уравнение:

Его корни

Если λ1,2 — вещественные различные или комплексные сопряженные, получим

.

Если корни вещественные равные (λ1 = λ2), то V = 1 и решение имеет вид

.

Таким образом, поставленная нами задача решена. Осталось найти константы интегрирования (или).

Замечание. Так как мы имеем дело с физическими объектами (ЭТ устройствами), то изучаемые понятия тесно связаны с физикой. Частное решение обусловлено внешним воздействием (источниками), и поэтому часто называется вынужденным. Общее решение соответствует режиму без вынуждения (без источников), и поэтому его называют свободным воздействием (свободной составляющей). Все решение является результатом коммутации, определяющим способ перехода от одной конфигурации к другой. Его называют переходным процессом, состоящим из вынужденной и свободной составляющих.

§3. Понятия начальных и предначальных условий. Правило коммутации в общей форме. Точное решение уравнений К., описывающих динамику линейной цепи

Начальные и предначальные условия

Пусть в некоторый момент времени t = 0 в цепи произошла коммутация. Тогда все значения координат x(t) испытали мгновенный разрыв.

Задача заключается в том, чтобы узнать, что произошло после коммутации, зная то, что произошло до нее.

Введем новые понятия:

1.  0− — момент времени, отличающийся от 0 на бесконечно малую и распологающийся слева от него по оси абсцисс. Этот момент называют предначальным.

2.  0+ — момент времени, отличающийся от 0 на бесконечно малую и располагающийся справа от него по оси абсцисс. Этот момент называют начальным.

3.  x(0−) — предначальные координаты (условия).

4.  x(0+) — начальные координаты.

В этих обозначениях наша задача сводится к нахождению x(0+) по известным x(0−).

Правило коммутации

«За исключением одного особого случая, потокосцепления в индуктивностях и заряды в емкостях при коммутации непрерывны»

Математически

Отсюда для линейной цепи

.

В общем случае все другие величины вполне могут претерпевать разрыв:

.

Любой элемент можно заменить зависимым источником (см. гл. 1). Заменив C-элементы на ИН, L-элементы на ИТ, мы сможем в наальный момент времени анализировать резистивную цепь с источниками. Такую цепь описывают алгебраические уравнения Кирхгофа, решать которые просто в силу их линейности. Тогда можно легко найти значения всех величин, не подчиняющихся правилу, коммутации, в момент времени t = 0+. Само правило коммутации «вытекает» из уравнений

Действительно, при t = 0+, C(0−) = C(0+) получим

Если ток iC(t) — непрерывен (в большинстве случаев это так), то

,

и . Точно так же с iL.

Процедура отыскания переходного процесса в линейной цепи

По сформированной в гл. 1 процедуре составляем уравнение (3). По процедуре, сформированной в предыдущем § этой главы, отыскиваем решения (3) с точностью до постоянных интегрирования. Анализируем цепь до коммутациии и находим предначальные значения напряжений на емкостях и токов в емкостях . По правилу коммутации находим начальные значения ,. В начальный момент времени t = 0+ строим схему R-замещения цепи, в которой емкости заменены зависимыми источниками напряжения , а индуктивности — зависимыми источниками тока . Построенную схему замещения описываем системой линейных алгебраических линейно независимых уравнений Кирхгофа. Решаем ее и находим другие необходимые начальные условия ,, … Найденные начальные условия и соответствующий им момент времени t = 0+ подставляем в решения, записанные с точностью до постоянных интегрирования. Находим постоянные интегрирования и получаем точные решения (3). Найденные решения проверяем по исходному набору уравнений. Если проверка не прошла, приступаем к поиску ошибок.

Пример. Анализ линейной пассивной цепи

1.  Вектор искомых переменных

Здесь мы iR выбираем произвольно (могли бы взять и uR), ui — обязательно (как напряжение на ИТ), iL — тоже обязательно (как ток в индуктивности).

Уравнения Кирхгофа

Второе уравнение К. исключим из системы, поскольку нас сейчас не интересует ui (его всегда можно найти через iR).

Запишем (3):

2.  а) .

б) тогда частное решение будем искать в виде

Из уравнений К. после подстановки имеем

Сократив на e−αt ≠ 0 и выразив IR, IL, получим

Очевидно, что решение будет существовать, если

,

или, что то же самое,

в)

Отсюда

Пусть λ1 ≠ α, тогда

3.  До коммутации (t = 0−) имеем

.

Отсюда .

4.  по правилу коммутации.

5.  Рассматриваем цепь в момент времени t = 0+, заменив индуктивность на управляемый ИТ:

6.  Из ЗНК получаем

7.  Определяем константы интегрирования из системы

Решив ее, получим

Точное решение задачи

Заключение. Мы решали задачу при λ1 ≠ α. Если λ1 = α, решение, полученное нами, не существует. В этом случае описание должно учитывать кратность корня. Из анализа полученного решения при λ1 ≠ α видно, что вследствие экспоненциальности входного сигнала показатель α экспоненты играет роль второго корня (кратного, быть может, корню характеристического многочлена). При λ1 = α свободная составляющая запишется в виде

§4. Понятия состояния цепи, переменных и уравнений состояния. Точное решение уравнений состояния для линейной цепи

Состоянием цепи или системы называется та минимальная информация, которая необходима для того, чтобы, начиная с некоторого фиксированного момента времени, однозначно описать дальнейшее поведение цепи или системы.

Переменными состояния называются те координаты (в теории цепей токи и напряжения), которые определяют состояние цепи или системы.

Уравнениями состояния называют уравнения, составленные относительно переменных состояния.

Для описания динамики цепи минимально необходимо знание начальных координат и скоростей их изменения, т. е. первых производных. Отсюда следует, что уравнения состояния представляют собой систему уравнений записанных в нормальной форме Коши относительно этих координат.

В теории цепей токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, во-первых, подчиняются правилу коммутации и следовательно их начальные значения легко вычислить; во-вторых, если изменения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях известны, то относительно источников и реактивных элементов вся остальная цепь — чисто резистивная; в-третьих, первые производные от токов в индуктивностях и напряжений на емкостях имеют прямой физический смысл напряжений на индуктивностях и токов через емкости.