Предмет и аксиоматика ТЭЦ (стр. 1 )

Содержание

Глава 1. Введение. 3

§1. Предмет и аксиоматика ТЭЦ.. 3

§2. Пассивные элементы. Взаимное влияние магнитных полей. 4

Резистор. 4

Емкость. 5

Индуктивность. 6

Общее замечание по элементам.. 7

Взаимное влияние магнитных полей. 7

§3. Независимые, зависимые и управляемые источники ЭМ энергии. 8

Независимые источники. 8

Зависимые источники. 11

Управляемые источники (усилители) 11

§4. Моделирование реальных ЭТ устройств с помощью идеализированных элементов и источников. Линеаризация нелинейных характеристик. Активные элементы цепей. 12

Моделирование. 12

Линеаризация. 13

Активные элементы.. 13

§5. Элементы структуры цепи. Постулаты Кирхгофа. Некоторые сведения из топологии. Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа. 14

ЭСЦ и постулаты Кирхгофа. 14

Некоторые сведения из топологии. Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа. 16

§6. Формирование обобщенной модели нелинейной детерминированной цепи с сосредоточенными параметрами. Формулировка общей задачи анализа динамики электрической цепи. 18

Глава 2. Анализ пассивных и активных кусочно-линейных цепей в области вещественной переменной t 21

§1. Понятие анализа цепи в t-области. Коммутация. Переходный процесс. Обобщенное уравнение динамики линейной цепи в развернутом виде. 21

§2. Решение уравнений Кирхгофа, описывающих динамику линейной цепи с точностью до постоянных интегрирования. 24

§3. Понятия начальных и предначальных условий. Правило коммутации в общей форме. Точное решение уравнений К., описывающих динамику линейной цепи. 26

Начальные и предначальные условия. 26

Правило коммутации. 26

Процедура отыскания переходного процесса в линейной цепи. 27

§4. Понятия состояния цепи, переменных и уравнений состояния. Точное решение уравнений состояния для линейной цепи. 30

§5. Пробные сигналы. Единичная ступенчатая функция Хевисайда. Единичная импульсная функция Дирака. Обобщенная производная и обобщенная функция. Переходная и импульсная характеристики цепи. 31

Пробные сигналы.. 31

Единичная ступенчатая функция Хевисайда. 31

Единичная импульсная функция Дирака. 32

Обобщенная производная и обобщенная функция. 34

Переходная и импульсная характеристики цепи. 35

Особый случай правила коммутации. 36

§6. Интеграл наложения (интеграл Дюамеля) через переходную и импульсную характеристику 36

Интеграл наложения через переходную характеристику. 36

Интеграл наложения через импульсную характеристику. 38

§7. Анализ кусочно-линейной цепи в t-области. 38

Глава 3. Анализ пассивных и активных кусочно-линейных цепей в области комплексной переменной p = σ + jω.. 39

§1. Преобразования Лапласа. Его основные свойства и теоремы.. 39

§2. Постановка общей задачи анализа кусочно-линейных цепей в области комплексной переменной p = σ + jω. Вычисление обратного к преобразованию Лапласа с помощью теоремы Хевисайда 40

Общая задача анализа кусочно-линейных цепей в p-области. 40

Вычисление обратного преобразования Лапласа с помощью т. Хевисайда. 40

§3. Уравнения Ома и Кирхгофа для элементов цепи и уравнения Кирхгофа для элементов цепи в операторной форме. Операторная схема замещения элементов и цепей. Анализ пассивных и активных линейных цепей с помощью их операторных схем замещения. 42

Уравнения Ома и Кирхгофа в операторной форме для элементов цепи. 42

Уравнения Кирхгофа для элементов структуры цепи. 43

Процедура анализа линейных цепей с помощью операторных схем замещения. 44

§4. Анализ пассивных и активных линейных цепей путем преобразований по Лапласу дифференциально-интегральных уравнений Кирхгофа. 44

§5. Анализ пассивных и активных линейных цепей путем преобразования по Лапласу дифференциальных уравнений состояния. 44

§6. Передаточная функция. Связь передаточной функции с импульсной и переходной характеристиками цепи. 45

Передаточная функция. 45

Связь передаточной функции цепи с импульсной характеристикой. 45

Связь передаточной функции с переходной характеристикой цепи. 45

Общее замечание. 45

Глава 1. Введение

§1. Предмет и аксиоматика ТЭЦ

Предмет ТЭЦ (теории электрических цепей) — изучение наиболее общих закономерностей, описывающих процессы, протекающие во всех электротехнических (ЭТ) устройствах. ТЭЦ основана на двух постулатах:

1.  Исходное предположение ТЭЦ. Все процессы в любых ЭТ устройствах можно описать с помощью двух понятий: тока и напряжения.

2.  Исходное допущение ТЭЦ. Ток в любой точке сечения любого проводника один и тот же, а напряжение между любыми двумя точками пространства изменяется по линейному закону.

Определения. Ток — предел отношения количества электричества, переносимого заряженными частицами через некоторую поверхность за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени, когда он стремится к нулю:

Считая, что заряд и время непрерывны, можно перейти от предела к производной:

Размерность тока [i] = Кл·с−1 = А.

Напряжение — предел отношения количества энергии, необходимой для переноса некоторого количества электричества из одной точки пространства в другую, к этому количеству электричества, когда оно стремится к нулю:

(Последнее равенство написано в предположении, что энергия и заряд — величины непрерывные).

Размерность напряжения [u] = Дж·Кл−1 = В.

Из основных понятий как следствие вытекают определения:

Энергия — мера способности объекта совершать работу:

размерность [W] = Дж = В·А·с.

Мощность — скорость изменения энергии во времени:

размерность [P] = Дж·с−1 = В·А = Вт.

Теперь введем элементы электрической цепи. Формальное определение:

Элементы­ — идеализированные устройства с двумя или более зажимами, все электромагнитные процессы в которых с достаточной для практики точностью могут быть описаны только в основных понятиях (тока i и напряжения u).

Элементы бывают: линейные и нелинейные, пассивные и активные, стационарные и нестационарные, непрерывные и дискретные, с сосредоточенными и распределенными параметрами. Из дальнейшего рассмотрения икслючим нестационарные элементы и элементы с распределенными параметрами.

Источники электромагнитной (ЭМ) энергии — идеализированные устройства, имеющие два или более зажимов и предназначенные для генерации или преобразования ЭМ энергии. Источники бывают: независимые, зависимые и управляемые.

Электрическая цепь — совокупность элементов и источников, предназначенных для генерации, приема и преобразования токов и напряжений (электрических сигналов). Те участки цепи, куда поступают или для которых генерируются сигналы, называют входами; те участки, на которых регистрируют токи или напряжения в результате их генерации или преобразования, — выходами.

Из введенных определений следует, что необходимо построить модели элементов, источников и цепей.

§2. Пассивные элементы. Взаимное влияние магнитных полей

Начнем построение модели с наиболее простых элементов: линейных и нелинейных, пассивных, стационарных, с сосредоточенными параметрами.

Из основных понятий следует, что для полного описания электромагнитных процессов нам необходимы элементы:

1.  только потребляющие ЭМ энергию и безвозмездно ее расходующие,

2.  запасающие и полностью возвращающие энергию только электрического поля,

3.  запасающие и полностью возвращающие энергию только магнитного поля.

Резистор

Резистор — идеализированное устройство, имеющее два зажима, единственным ЭМ процессом в котором является безвозвратное потребление ЭМ энергии и полный перевод ее в тепловую. Все свойства резистора описывает либо его вольт-амперная , либо ампер-вольтовая характеристика. В современной ЭТ можно получить любую ВАХ (АВХ) резистора, в том числе и такие:

Если ВАХ (АВХ) резистора представляет собой прямую линию, резистор называют линейным; в противном случае — нелинейным.

Для линейного резистора (см. рис. слева)

где коэффициент R называется сопротивлением.

Размерность [R] = В·А−1 = Ω (Ом).

Для нелинейного резистора — аппроксимация:

Обозначение резистора

В случае описания линейного резистора функцией получим , где коэффициент G называется проводимостью резистора.

Размерность [G] = А·В−1 = См (Сименс).

Из определения энергии

следовательно, резистор только потребляет ЭМ энергию. Его мощность

значит, вся ЭМ энергия поступает в резистор и полностью превращается в тепловую.

Емкость

Емкость — идеализированное устройство, имеющее два зажима, единственным ЭМ процессом в котором является запасание и полный возврат электрической энергии. Отсюда следует, что емкость описывается вольт-кулоновой характеристикой , которая может быть любой, например, такой:

Если мы рассматриваем линейную емкость (на рисунке — характеристика 2), то

где коэффициент C называют емкостью. Размерность [C] = А·В−1·с−1 = Ф. Можно также записать соотношение для линейной емкости в интегральной форме

Энергия емкости

Положив, что вначале емкость не была заряжена: , получим

т. е., емкость производит запасание электрической энергии. Мощность равна

и может быть как положительной, так и отрицательной. Т. е., емкость запасает электрическую энергию и полностью ее отдает.

Обозначение емкости

Индуктивность

Индуктивность — идеализированное устройство, имеющее два зажима, единственным ЭМ процессом в котором является запасание и полный возврат энергии магнитного поля. Отсюда следует, что для описания индуктивности используется ее ампер-веберная характеристика . Как и в предыдущих случаях, характеристика может быть сделана практически любой; нелинейные характеристики аппроксимируют полиномом. Два примера характеристики приведены на рисунке:

Если речь идет о линейной индуктивности, тои

где коэффициент L называют индуктивностью. Размерность [L] = В·А−1·с = Гн. Можно также записать соотношение для линейной емкости в интегральной форме:

Сделав те же подстановки, что и для емкости, получим

Положив (что вполне естественно) I(−∞) = 0, получим

Мощность при этом равна

и может быть как положительной, так и отрицательной. Таким образом, индуктивность запасает магнитную энергию и полностью ее отдает.

Обозначение индуктивности

Общее замечание по элементам

Введенные элементы (резистор, емкость, индуктивность) — идеализированные устройства, и поэтому они не идентичны реальным элементам (сопротивлению, конденсатору, катушке). Через них можно пропускать любой ток, прикладывать любое напряжение, и они не сломаются. Количество энергии, запасаемой емкостью и индуктивностью, может быть любым. Таким образом, введенные нами элементы — лишь модели, позволяющие, тем не менее, описывать реальные объекты с достаточной точностью.

Взаимное влияние магнитных полей

Если разместить несколько индуктивностей рядом друг с другом, то они, в отличие от емкостей, будут взаимодействовать весьма значительно.

Представим себе две индуктивности. Зависимость их потоков от i:

После линеаризации (аппроксимации прямой линией на данном интервале) получим

Если часть потокосцеплений взаимодействует друг с другом, то

Зависимости этих потоков от i также выражаются графиками

Обозначим

Очевидно, что напряжения u1 и u2 будут зависеть не только от токов i1 и i2, но и от токов i2 и i1 за счет взаимодействия потоков Ψ12 и Ψ21. Придется описывать напряжения в виде

Выбор знака при коэффициенте M выполняется только после эксперимента по включению второй индуктивности в цепь с первой. Если при этом напряжение повышается, — берут знак «+», иначе — знак «−».

Очевидно, что в линейном случае . Ясно также, что размерность коэффициента M совпадает с размерностью L. Поэтому M часто называют взаимоиндукцией (взаимной индуктивностью), а L — самоиндукцией.

Таким образом, если в цепи имеется более одной индуктивности, следует выяснить их взаимное влияние и учесть его.

Для характеристики взаимной индуктивности вводят коэффициент связи

В линейном случае

Часто оперируют обратным коэффициентом

в силу того что

§3. Независимые, зависимые и управляемые источники ЭМ энергии

Так как основных понятий в ТЭЦ два (ток и напряжения), то типов источников тоже два — источники тока и источники напряжения.

Независимые источники

Независимый источник напряжения

Независимый источник напряжения (НИН) — идеализированное устройство, имеющее два зажима и отличающееся тем, что напряжение на этих зажимах не зависит от величины и формы тока, протекающего от одного зажима к другому.

Обозначение

Следствия из определения:

1.  Все свойства НИН описывает его ампер-вольтовая характеристика. Это прямая, параллельная оси абсцисс и отсекающая на оси ординат напряжение:

2.  Напряжение на зажимах источника изменяется по своему закону и не зависит от силы тока:

3.  НИН нельзя разрушить (так же, как нельзя разрушить идеальные резистор, емкость и индуктивность). Через него может течь любой ток, а на его зажимах может быть создано любое напряжение. Достаточно близким по свойствам к НИН реальным объектом является обыкновенная электросеть. НИН описывается следующей ампер-ваттной характеристикой:

4.  Можно последовательно соединять любое количество источников напряжения с любой полярностью:

Такое соединение может быть заменено одним источником:

Более того, справедливо и обратное: любой источник напряжения можно представить в виде любого количества источников напряжения любой полярности и с любыми напряжениями, при условии, что их сумма как по величине, так и по знаку дает необходимый результат.

Пример

5.  Из определения также следует, что параллельно соединять НИН можно лишь однополярные и одинаковые по величине напряжения. Также очевидно, что их по определению можно заменить одним НИН с таким напряжением:

6.  Удаление НИН означает, что мы полагаем u = 0, т. е. закорачиваем источник:

Независимый источник тока

Независимый источник тока (НИТ) — идеализированное устройство, имеющее два зажима и отличающееся тем, что ток, протекающий от одного зажима к другому, не зависит от величины и формы напряжения на этих зажимах.

Обозначение

Cледствия из определения:

1.  Все свойства источника тока описываются его вольт-амперной характеристикой. Это прямая, параллельная оси абсцисс и отсекающая на оси ординат ток:

2.  Ток, протекающий от одного зажима к другому, не зависит от напряжения между ними:

3.  Мощность источника тока не ограничена. Его вольт-ваттная характеристика подобна ампер-ваттной характеристике источника напряжения:

Источник тока невозможно разрушить так же, как все введенные нами идеализированные элементы. Он может быть источником любого тока, и на нем можно создать любое напряжение.

4.  Параллельно можно соединить любое число источников тока с любыми направлениями тока:

5.  Определению НИТ противоречат следующие конфигурации:

6.  Удаление НИТ означает, что мы полагаем i = 0, т. е. обрываем зажимы:

В заключение укажем, что соединение источников тока и напряжения может быть любым.

Зависимые источники

По определению зависимые источники — идеальные устройства, имеющие два зажима и отличающиеся тем, что напряжение (ток) на этих зажимах зависит от величины и формы тока (напряжения). Часто зависимые источники выступают как замена пассивных элементов:

1.  Резистор:

2.  Емкость:

Заметим также, что, в отличие от независимых источников зависимые можно соединять произвольным образом. Но, как всякие идеальные устройства, зависимые источники неразрушимы.

Управляемые источники (усилители)

Управляемые источники — идеализированные устройства, имеющие пару входных и пару выходных зажимов; содержащие зависимый источник тока (напряжения) на выходе, причем напряжение или ток на выходе зависят от напряжения на входе; отличающиеся тем, что мощность на входе равна нулю, а выходная мощность может быть отлична от нуля.

1.  Источник напряжения управляемый напряжением (ИНУН)

вход

выход

2.  Источник напряжения управляемый током (ИНУТ)

вход

выход

3.  Источник тока управляемый током (ИТУТ)

вход

выход

4.  Источник тока управляемый напряжением (ИТУН)

вход

выход

Управляемые источники используются в активных цепях, управляющих обработкой сигналов.

§4. Моделирование реальных ЭТ устройств с помощью идеализированных элементов и источников. Линеаризация нелинейных характеристик. Активные элементы цепей

Моделирование

С помощью введенных нами идеализированных элементов и источников можно с любой наперед заданной точностью поведение любых ЭТ устройств, для которых выполняются основные определения и допущения, изложенные в §1.

Пример.

Мощность p источника напряжения u(t) ничем не ограничена, но если включить в цепь резистор с сопротивлением R, мощность будет ограничена, что обеспечит более реальную модель.

Точно так же, при моделировании реального конденсатора (имеющего ток утечки) можно использовать дополнительный резистор, а реальной катушки (накапливающей не только магнитную, но и электрическую энергию) — дополнительную емкость.

Вывод: любое ЭТ устройство можно описать с помощью конечного числа введенных идеализированных элементов и источников с любой заданной точностью, если соблюдаются сформулированные в §1 ограничения, а именно: все процессы в этом ЭТ устройстве можно описать с помощью только двух понятий: тока и напряжения.

Линеаризация

Линеаризация — аппроксимация нелинейных характеристик цепи линейными в некоторой δ-окрестности исследуемого состояния системы (рабочей точки).

1.  Строго говоря, анализ цепи можно производить и без линеаризации.

2.  Если элемент описывается гладко изменяющимися функциями, линеаризация позволяет выявить коренные характеристики элемента.

Активные элементы

Активный элемент (АЭ) — идеализированное устройство, имеющее две или более пары зажимов, часть из которых — входные, а часть — выходные; отличающееся тем, что при изменении сигнала малой или нулевой мощности на входе, можно управлять изменением сигнала большой мощности на выходе.

Из определения следует, что АЭ всегда содержит управляемый источник.

Примеры

1.  Построение линейной модели триода

На этой схеме u1 — напряжение между сеткой и катодом, u2 — между анодом и катодом. В нормальном режиме работы (иначе сетка расплавится), а . Управляем мы напряжением u1.

Анодно-сеточные характеристики (АСХ) имеют вид, представленный на рисунке, и могут быть линеаризованы в δ-окрестности рабочей точки (РТ) системы.

,

где — крутизна АСХ,

— внутренняя проводимость триода. (Коэффициенты S и Gвн получены при линеаризации АСХ). Тогда можно построить модель, удовлетворительно описывающую работу триода в окрестности РТ, где мы линеаризовали АСХ:

Из описания примера ясно, что

.

Таким образом, имея нулевую мощность сигнала на входе и ненулевой входной сигнал u1 мы можем управлять u2 и i2.

2.  Линейная модель транзистора

В нормальном режиме u1 = 0, и транзистор управляется током i1. В δ-окрестности имеем

где Rк — сопротивление К-Э:

α — коэффициент пропорциональности <1.

Тогда получим модель

Согласно этой модели,

.

§5. Элементы структуры цепи. Постулаты Кирхгофа. Некоторые сведения из топологии. Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа

ЭСЦ и постулаты Кирхгофа

Начнем с примера: сравним две цепи

Они состоят из одних и тех же элементов, однако, очевидно, ведут себя по-разному.

Определения. Узел — зажим, к которому присоединены два или более элементов или источников. Узел, к которому присоединены только два элемента или источника, называется устранимым.

Ветвь — совокупность последовательно соединенных эоементов и источников между двумя узлами.

Контур — замкнутая последовательность ветвей и узлов, обходя которую в произвольном, но определенном направлении, каждую ветвь и каждый контур проходим только один раз. Тогда ветвь — это контур, замкнутый через разрыв цепи.

Отсюда следует вывод: для описания соединения между собой элементов и источников, т. е. структуры цепи, необходимы два понятия: узел и контур.

Постулат Кирхгофа для узлов:

Алгебраическая сумма токов в любом узле всегда равна нулю[1]. Математически

Постулат Кирхгофа для контуров:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей и разрывов при обходе любого контура равна нулю[2]. Математически

Постулаты Кирхгофа дают необходимые условия для описания электрической цепи. Иными словами, эти постулаты выполнимы в любой цепи.

uR

Пример.

По определению источников, подлежат определению iu и ui (они м. б. любыми). В ветви 2 можно найти iLC (или uLC).

Определению подлежат 3 величины, и их число равно числу ветвей в цепи. Таким образом, наша задача всегда сводится к нахождению токов (напряжений) в ветвях.