Самостоятельная работа по заданному алгоритму

Самостоятельная работа по заданному алгоритму.

В старших классах с слабой математической подготовкой применяю систему обучающего контроля, которая полезна в приобретении умений самостоятельной работы. Каждый раздел программы по математике разбивается на логически завершенные смысловые «блоки», в изложении которых включены алгоритмы решений и образцы оформления основных типов упражнений. Время изложений 15-20 мин. Излагаемый материал оформляется в виде карточек – информаторов и в последствии используется на индивидуальных консультациях с учащимися, пропустившими занятия. Алгоритм решения дается на примерах и учащимися не записывается. Учитель сам записывает на доске образец оформления типовой задачи, повторяя при этом все этапы рассуждений. После этого ученикам предлагается самостоятельная работа на 10-15 мин., состоящая из заданий, аналогичных разобранных в «блоке». Учащиеся могут пользоваться образцами решения и другими материалами. Работа проводится в тетрадях. С помощью копирки получается точная копия написанного в тетради на вкладном листе, который подписывается и сдается учителю. После этого с помощью граф проектора, откидных крыльев доски, карточек и т. д., показываем учащимся подробное решение всех заданий и комментируем основные моменты решения. Каждый ученик сверяет свое решение с образцами, находит и исправляет ошибки зеленым цветом (красным цветом исправляет учитель). Затем учащийся оценивает свою работу по заданным критериям и сдает листок контроля выполненной работы. После этого ученики получают конкретные вопросы для домашней самостоятельной работы. Эти вопросы или аналогичные будут содержаться в двух вариантах проверочной работы, которая будет проводиться на следующем уроке. Форма проведения аналогична только что описанной. Отличие в том, что учащиеся не пользуется не своими записями не учебниками, т. е. идет проверка решать основные задачи. После закрепления одного «блока» и сдачи контроля начинается изложение нового и т. д. Таким образом, материал «блока» излагается учителем четыре раза: первый раз при изложении теории, второй – при демонстрации типовой задачи, третий и четвертый – при комментировании решений после самостоятельной и проверочной работ. Между вторым и третьим, третьи и четвертым изложениями ученик осмысливает теоретический материал и применяет теорию к практики. Третье изложение вносит первую коррекцию воспринятый учащимися материал, четвертая – вторую. Надо отметить и психологический аспект третьего и четвертого изложения. Ученикам интересно, как они выполняют работу, где ошиблись, причем именно сразу после окончания. Это является дополнительным фактором повышения их познавательной активности. Большое внимание уделяется тематическому учету знаний и умений каждого учащегося.

Каждой фамилии учащихся соответствуют две строки: верхняя заполняется на основании листов контроля (самоконтроля), нижняя учителем после проверки сданной копии (контроль учителя).

Образец учета знаний.

№	Ф. И.О.	Самостоятельные проверочные работы
С -1	П – 2
1		Оценка	Оценка
+ + - + + 4 + + - + - 3

В процессе применения системы обучающего контроля критерий оценки можно усложнить, Например: «» - недочет, «» – ошибка при верном ходе решений. Рассмотрю применение системы контролирующего обучения при формировании умений по разделу «Применение производной».

Самостоятельная работа по заданному алгоритму по теме «Применение производной» (алгебра и начало анализа 11 класс).

Уравнение касательной.

Y y = f(x)

A

f(x+h)-f(x)

 

f (x) А

Х

х x + h

0

1.  Касательная – прямая, поэтому в ее уравнении y = kx + b.

2.  Найдем k, k = tg =tg = = ' (x), k =' (x).

3.  Найдем b. Точка ( x· f ( x)) – принадлежит касательной y= kx+b, y= y'(x)x + b, b = f(x) - y'(x)x.

4.  Уравнение касательной: y = f '(x)x + ( f (x) - f '(x))xy = f (x) + f '(x)(x-x) или

y - y = y'(x)(x-x).

Задача1.

Напишите уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой x, если:

а) y = x - 3x+ 1, x = 1; д) y = x+ 1, x = 1;

б) y = 2x+ 3, x = -1; е) y = x- 2x + 3, x = -1;

в) y = 3x, x = 1; ж) y = 0,5 x+ x + 2, x = 0;

г) y = 2 x- 4x + 1, x = 2; з) y = x- 3х, x = -1;

Алгоритм решения для случая а).

1.  Найдем y: y = x - 3x+ 1 =1 - 3·1+ 1 = -1.

2.  Найдем y': y' = (x - 3x+ 1)' = (x)' – (3x)'+ (1)' = 3x- 6.

3.  Найдем y'(х): y'(х) = 3x- 6х= 3·1 - 6·1 – 3.

4.  Подставим результаты в уравнение касательной y - y = y'(x)(x-x).

у – (-1) = (-3)(х – 1)

у = -1-3х + 3

у = 2-3х – искомое уравнение касательной

Ответ: у = 2 – 3х.

Решите самостоятельно случаи б) – з).

Задача2.

К графику функции y = f (x) в точке с абциссой xпроведена касательная. Найдите угол наклона этой касательной к положительному направлению оси абцисс, если

а) y =x, x = 0,5; г) y = 2x- 5х + 2, x = 1;

б) y = x+ х + 1, x = 1; д) y = 3x+ х - 2, x = 0;

в) y = 2x- 3х + 1, x = 1; е) y = x - 4x+ 5, x = -1.

Алгоритм решения для случая а).

1.  Найдем y': y' = ( x)' = 2x.

2.  Найдем y'(х): y'(х) = y'(0,5) = 2· 0,5 = 1.

3.  Найдем tg: = y'(х): tg=1.

4.  Найдем : по таблице : = 45º.

Ответ: = 45º.

Решите самостоятельно случаи б) – е).

Физический смысл производной.

S'( t ) – зависимость пути от времени ( закон движения).

V( t ) – скорость, а ( t ) – ускорение.

Задача 1.

Тело движется прямолинейно по закону S( t ) ( t – время в секундах, S путь в метрах). Найдите скорость и ускорение движения в момент t, если:

а) S( t ) = 2 t + t+ 4; t=1с; в) S( t ) = 5 t + 3t + 1; t=2с;

б) S'( t ) = 3 t + 2t+ 1; t=2с; г) S( t ) = t + 2t; t=3с;

Образец записи решения для случая а).

1)  V(t) = S'( t ) = (2 t + t+ 4)' = 6 t+ 2t; V(1) = 6·1 + 2·1 = 8 (м/с).

2)  а(t) = V'(t) = (6 t+ 2t)' = 12t + 2; а(1) = 12·1 +2 = 14 (м/с).

Решите самостоятельно случаи б) –г).

Возрастание и убывание функции, ее наименьшее и наибольшее значение, точки экстремума и экстремумы функции.

Определения:

1.  Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве I, если для любых х и х, принадлежащих I, из условия х > х следует f (x) > f (x)( f (x) < f (x)).

2.  f(x) – наибольшее значение (наименьшее) значение f (x) на множестве I, если для всех х из I f (x) > f (x)( f (x) f (x)).

3.  x- точка минимума, а f (x) - минимум функции f (x), если f (x) – наименьшее значение f (x) в некоторой окрестности x.

4.  x- точка максимума, а f (x) - максимум функции f (x), если f (x) – наибольшее значение f (x) в некоторой окрестности x.

5.  Точка экстремума – точка максимума и минимума.

6.  Экстремум – максимум и минимум.

Задача. а) Функция f (x) задана графиком. Y

f наиб

 

f (x)

f(x)

f наим

б б X

0 a х х х х b

б) Y f (x) на в) Y f (x) на

X X

a 0 x x x b a 0 x x x x b

г) Y f (x) на д) Y f (x) на

 

Х Х

а 0 x x x x b а 0 x x x x b

Найдите:

1)  промежутки возрастания и убывания (имеется в виду множество точек, в которых функция возрастает (убывает));

2)  наибольшее и наименьшее значение;

3)  точки экстремума;

4)  экстремумы функции на ее области определения.

Образец записи решения а):

1)  f (x) возрастает на и на , и на

f (x) убывает на , и на

2)  f наиб. = f (b), f наим. = f (x)

3)  х и х - точки максимума; хи х - точки минимума

4)  f (x) и f (x) – максимумы, f (x) и f (x) – минимумы.

Решите самостоятельно б) – д).

Признак возрастания (убывания) функции.

Если f (x) > 0 на промежутке I, то f (x) возростает на I.

Если f (x) < 0на промежутке I, то f (x) убывает на I.

Замечание. Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоеденить к промежутку возрастания (убывания).

Задача 5.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции (здесь и далее имеется ввиду множество точек. В которых функция возрастает (убывает) на естественной области определения).

 

Примеры решения для случая а). Образец записи решения

Алгоритм решения. 1) Д(у) = R

1) Найдите область определения функции. 2) y' = 3 - 3x = 3(1-х)(1+х)

2) Найдите производную. 3) __ + __ знак y'

3) Определите знак производной

-1 +1

4) По знаку производной найдите 4) Функция возрастает на ,и убывает на

искомые промежутки. и на

Необходимое и достаточное условие экстремума.

Пусть f (x) – непрерывная функция, а х некоторая внутренняя точка ее область определения. Тогда в этой точке производная функция может: 1) не существовать, 2) существовать и быть:

а) равной 0;

б) положительной, тогда функция возрастает в окрестности х и очевидно, что х не является точкой экстремума;

в) отрицательной, тогда функция убывает в окрестности х и очевидно, что х не является точкой экстремума.

В 1) и 2), а в случаях х - практическая точка. Схематически это выглядит так:

х не является точкой экстремума

х может быть или не быть точкой экстремума

х - критическая точка

f (x) убывает в окрестности х

f (x) возрастает в окрестности х

f (x) < 0

f (x) > 0

f (x) = 0

Производная существует

Производная не существует

f(x) – непрерывная функция. Тогда во внутренней точке х ее области определения.

Вывод (необходимое условие экстремума): точки экстремума следует искать только среди критических точек.