4.2.1. Лекции
1 семестр.
1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
Матрицы. Действия с ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Собственные векторы и собственные значения. Диагонализация матриц. Жорданова форма. Метод Гаусса решения систем уравнений. Правило Крамера.
2. Линейное пространство
Линейное пространство. Линейная зависимость. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений. Пространство решений, фундаментальная система решений. Евклидово пространство. Линейные операторы. Свойства, ранг, дефект.
3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Системы координат: декартова, полярная, цилиндрическая, сферическая. Скалярное, векторное, смешанное произведения и их приложение. Криволинейные и ортогональные системы координат. Виды задания кривой и поверхности. Прямая и плоскость в пространстве.
4. Квадратичные формы
Теория квадратичных форм. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка.
5. Пределы и непрерывность функции одной переменной
Множества, операции над ними. Понятие функции. Предел функции в точке. Свойства пределов. Непрерывные функции в точке. Свойства непрерывных функций. Асимптотические разложения. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми. Точки разрыва, их классификация. Асимптоты.
6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Понятие производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. Дифференциал. Производные высших порядков. Возрастание и убывание функции в точке. Локальный экстремум. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Правило Лопиталя. Выпуклость функции. Достаточные условия выпуклости функции. Точки перегиба. Полное исследование функции. Формула Тейлора. Параметрически заданные функции. Построение графиков функций.
7. Интегральное исчисление функции одной переменной
Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределённом интеграле. Методы интегрирования функций различного типа. Определённый интеграл и его геометрический смысл. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определённого интеграла: площадь, длина дуги (криволинейный интеграл первого рода), объём тела вращения и другие. Несобственный интеграл с бесконечным пределом. Абсолютная и условная сходимость. Теоремы сравнения. Несобственный интеграл от неограниченной функции.
8. Комплексные числа
Комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, различные формы записи. Действия над комплексными числами.
2 семестр.
9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Функции нескольких переменных. Предел, непрерывность. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная по направлению, градиент. Существование и дифференцируемость неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
10. Кратные, поверхностные, криволинейные интегралы и векторный анализ
Кратные (двойные и тройные) интегралы. Вычисление площадей, объемов, приложения кратных интегралов в механике. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Площадь поверхности. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл. Формула Остроградского–Гаусса. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Криволинейный интеграл второго рода. Свойства. Формула Грина. Циркуляция. Формула Стокса. Ротор векторного поля и его физический смысл. Потенциальное поле, условия потенциальности. Интеграл в потенциальном поле.
11. Последовательности и ряды
Числовая последовательность и ее предел. Свойства числовых последовательностей.
Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, Коши; интегральный признак Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенной ряд. Гармонический анализ. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье. Условия сходимости и свойства суммы.
3 семестр.
12. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения, основные понятия. Общее и частное решение. Интегральная кривая. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Поле направлений. Метод изоклин. Основные типы уравнений: с разделяющимися переменными, линейные, однородные, уравнения Бернулли и др. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений однородного уравнения.
13. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нормальная система дифференциальных уравнений, её решение. Метод Эйлера. Неоднородные системы.
14. Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений
и систем
Устойчивость (по Ляпунову) решений дифференциальных уравнений и систем. Асимптотическая устойчивость. Предельные циклы. Автономные системы второго порядка. Точки покоя.
15. Функции комплексного переменного. Разложение в ряды
Комплексные числа и действия над ними. Числовые ряды в комплексной области. Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность. Основные функции комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного. Аналитическая функция и ее свойства. Ряд Тейлора и ряд Лорана. Нули аналитических функций. Изолированные особые точки, их классификация.
16. Интегрирование функции комплексного переменного
Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральная формула Коши. Вычет. Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов.
17. Операционное исчисление
Преобразование Лапласа, его свойства. Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений и систем.
18. Элементы функционального анализа
Интеграл Лебега. Пространство интегрируемых функций. Норма. Ортогональные системы функций. Ряд по ортогональной системе функций. Ряд Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье и его свойства.
4 семестр.
19. Определение вероятности
События в теории вероятностей. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности случайного события. Использование элементов комбинаторики для оценки вероятности случайного события.
Частота и относительная частота события. Оценка вероятности по относительной частоте. Квадрируемость множества. Геометрическое определение вероятности.
20. Основные теоремы теории вероятностей
Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Закон Пуассона. Простейший поток событий.
21. Случайные величины
Дискретные и непрерывные случайные величины. Формы законов распределения случайных величин (ряд распределения, функция распределения, плотность вероятности). Свойства законов распределения скалярных случайных величин. Типовые законы распределения непрерывных скалярных случайных величин (равномерное, показательное, нормальное распределения).
Понятие о числовых характеристиках случайных величин. Математическое ожидание и его свойства (без доказательства). Дисперсия и ее свойства (без доказательства). Среднее квадратическое отклонение. Мода. Медиана.
22. Нормальный закон распределения и Закон больших чисел
Нормальный закон распределения. Геометрический и вероятностный смысл его параметров.
Понятие о предельных теоремах теории вероятностей. Формулировка центральной предельной теоремы для одинаково распределенных параметров. Следствия из центральной предельной теоремы.
Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. Оценка математического ожидания на основе опытных данных.
23. Квазилинейные уравнения в частных производных 1-го порядка. Задача Коши
Квазилинейные уравнения в частных производных 1-го порядка. Задача Коши.
24. Линейные уравнения в частных производных 2-го порядка
Классификация линейных уравнений в частных производных 2-го порядка. Характеристические переменные, характеристики, постановка задачи Коши. Формула Даламбера для решения колебания бесконечной струны. Область определенности, зависимости.
25. Формулы Даламбера Кирхгофа, Пуассона (метод спуска)
Решение трёхмерной и двумерной задачи Коши для уравнения колебаний. Формулы Кирхгофа, Пуассона (метод спуска).
26. Основные типы уравнений математической физики
Теорема единственности решения задачи Коши для гиперболического уравнения, интеграл энергии. Понятие обобщенного решения. Краевые задачи для гиперболического уравнения. Метод разделения переменных, задача Штурма – Лиувилля, свойства собственных значений и собственных функций. Теорема существования и единственности решения смешанной задачи для гиперболического уравнения.
Краевые задачи для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных. Теорема существования решения краевой задачи. Свойства решений краевых задач для уравнения теплопроводности (бесконечная дифференцируемость). Принцип максимума. Теорема единственности решения смешанно-краевой задачи. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.
Уравнение эллиптического типа. Задачи Дирихле, Неймана. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Интегральные формулы Грина.
27. Свойства гармонических функций
Свойства гармонических функций. Теоремы о среднем.
28. Метод функции Грина
Метод функции Грина. Задача Дирихле для круга, сферы, полупространства. Формула Пуассона. Решение краевых задач в круге, кольце для уравнения Лапласа методом разделения переменных.
29. Внешние краевые задачи
Внешние краевые задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Условия Зоммерфельда. Теоремы единственности решения задач Дирихле, Неймана. Решение задачи Дирихле в круге для уравнения Пуассона.
4.2.2. Практические занятия
1 семестр.
Матрицы и определители. Обратная матрица. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.
Линейные пространства. Базис, размерность. Линейный оператор, его матрица.
Векторы. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение. Смешанное произведение.
Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве.
Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка.
Множества и операции над ними. Понятие функции. Элементарные функции и их графики.
Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления.
Бесконечно малые функции и их свойства. Асимптотические разложения. Вычисление пределов. Асимптоты графика функции. Точки разрыва.
Дифференцирование функций. Касательная и нормаль к кривой. Дифференцирование сложной функции.
Производные высших порядков. Дифференциал. Формула Тейлора. Исследование функций с помощью производных высших порядков.
Исследование функций с помощью производной первого порядка и построение эскиза графика. Исследование кривых, заданных параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах.
Простейшие приёмы интегрирования. Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределённом интеграле.
Определённый интеграл. Замена переменных. Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональностей.
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длин дуг.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Комплексные числа. Формы записи. Действия с комплексными числами.
2 семестр.
Функции нескольких переменных: предел, непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость, полный дифференциал.
Дифференцирование сложной функции. Производные неявных функций.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Формула Тейлора. Экстремум функции двух переменных.
Условный экстремум. Метод Лагранжа.
Двойной интеграл в декартовых и в полярных координатах.
Тройной интеграл в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах.
Приложения кратных интегралов.
Поверхностные интегралы первого рода. Поток векторного поля через незамкнутую и замкнутую поверхность (по определению и по формуле Остроградского).
Работа силового поля. Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура. Теорема Стокса.
Специальные виды полей (соленоидальное и потенциальное поля).
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Числовые ряды. Необходимое условие сходимости. Сумма ряда.
Сходимость рядов с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, Коши, интегральный.
Знакопеременные числовые ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда.
Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда.
Ряд Тейлора и его приложения.
Тригонометрический ряд Фурье.
3 семестр.
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах, уравнения Бернулли. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Нормальные системы линейных уравнений.
Точки покоя. Устойчивость по первому приближению.
Элементарные функции комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного.
Интегрирование функций комплексного переменного.
Разложение функций в ряд Тейлора. Ряды Лорана. Классификация изолированных особых точек.
Вычисление вычетов. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Функция-оригинал и ее изображение по Лапласу. Свойства оригиналов и изображений.
Восстановление интеграла по изображению. Первая и вторая теоремы разложения.
Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.
4 семестр.
Классическое определение вероятности.
Геометрические вероятности.
Алгебра событий. Теоремы умножения и сложения вероятности. Формула полной вероятности.
Схема независимых испытаний. Простейший поток событий.
Случайные величины. Законы распределения случайных величин.
Числовые характеристики случайных величин.
Нормальный закон распределения случайных величин. Центральная предельная теорема.
Квазилинейные уравнения в частных производных 1-го порядка
Классификация линейных уравнений в частных производных 2-го порядка.
Решение колебаний бесконечной струны, полубесконечной струны с краевыми условиями 1-го и 2-го рода.
Краевые задачи 1-го рода для нахождения колебаний ограниченной струны.
Метод разделения переменных, задача Штурма–Лиувилля, свойства собственных значений и собственных функций.
Краевые задачи 2-го и 3-го рода для нахождения колебаний ограниченной струны.
Решение краевых задач для уравнения теплопроводности методом разделения переменных.
Решение краевых задач в круге, кольце для уравнения Лапласа методом разделения переменных.
Решение краевых задач в прямоугольнике для уравнения Лапласа методом разделения переменных.
Решение задачи Дирихле в круге для уравнения Пуассона методом разделения переменных.
Решение задачи Дирихле в прямоугольнике для уравнения Пуассона методом разделения переменных.
4.3. Лабораторные работы учебным планом не предусмотрены.
4.4. Расчетные задания:
1 семестр: Пределы, производные и графики функций.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Интегралы.
2 семестр: Кратные интегралы, векторный анализ.
Ряды.
3 семестр: Дифференциальные уравнения.
Функции комплексного переменного и операционное исчисление.
4.5. Курсовые проекты (курсовая работа) учебным планом не предусмотрены.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Лекционные занятия проводятся традиционной форме.
Практические занятия проводятся в традиционной форме.
Самостоятельная работа включает подготовку к контрольным работам, и контрольным опросам, выполнение и оформление типового расчёта, подготовку к защите типового расчёта, подготовку к зачету и экзамену.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Для текущего контроля успеваемости используются контрольные работы, контрольный опрос, защита типового расчёта, тесты.
Оценка за освоение дисциплины определяется как оценка на экзамене.
В приложение к диплому вносится оценка за 3 семестр.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
7.1. Литература:
а) основная литература:
1. Берман задач по курсу математического анализа. –М.: Профессия, 2006.
2. , Никольский математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. –М.: Дрофа, 2004.
, Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. –М: Дрофа, 2004.4. , Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. –М.: Дрофа, 2004.
5. Зимина . Высшая математика. Специальные разделы. –М. Физматлит, 2001.
Зимина алгебра и аналитическая геометрия. Учебный комплекс. Издательство: МЭИ, 2000. , , Сальникова математика. Серия: Решебник. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2006.8. Клетеник задач по аналитической геометрии. –М.: Профессия, 2006.
9. Кудрявцев. курс математического анализа, в двух томах. –М., "Альфа", 1998.
10. Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты). –М.: Лань, 2008.
11. , Кузнецов высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. –М.: Изд-во МЭИ, 2000.
12. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы /Под ред. –М.: Физматлит, 2003.
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. /Под общ. ред. и . – 4-е изд. перераб. и доп. –М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. II. /Ред. А. –М.: Изд-во МЭИ, 1995. Тихонов математической физики. –М.: Наука, 2004.16. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. –М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
17. Чистяков теории вероятностей. –М.: Агар, 2000.
18. Чудесенко заданий по спецкурсам высшей математики. Типовые расчеты. –М.: Высшая школа, 1999.
19. , Сидоров функций комплексного переменного. –БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
Курс высшей математики. Теория вероятностей под ред. –С-Пб. Лань, 346 с., 2007. Сборник задач по математике для втузов. Теория вероятностей и математическая статистика. /Под ред. –М., Наука, 1990. Чудесенко заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты). –М., Высшая школа, 1999.б) дополнительная литература:
1. Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987.
Вентцель вероятностей. –М.: Физматлит, 1962.3. , , . Вся высшая математика. – Эдиториал УРСС. Москва, 2001.
4. , И., Макаренко задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. –М.: Высшая школа, 1978.
5. , И., Макаренко комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. –М.: Наука,1981.
6. , Малов уравнения математической физики. Москва, изд-во МГТУ, 1996.
7. Пугачев в теорию вероятностей. –М.: Наука, 1968.
8. , Самарский математической физики. –М.: Наука, 1977.
9. , Макаров анализ данных на компьютере. –М.: ИНФРА, 1998.
10. Шмелев рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1983.
7.2. Электронные образовательные ресурсы:
а) лицензионное программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
http://twt. mpei. *****/ochkov/VPU_Book_New/mas/,
www. *****, http://twt. mpei. *****/ochkov/VPU_Book_New/mas/
www. *****
www. *****
б) другие: ЭОР МЭИ(ТУ):
- , , , Янченко коллекция по высшей математике –www. ***** – высшая математика, решебник, компьютерный контролирующий комплекс. , , , Янченко математика: электронное учебное пособие – http://www. *****/WWW_Books/HM/toc. htm – линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения. , , , Янченко коллекция по высшей математике. Крыгин портреты динамических систем на плоскости (грубые системы). , , Гонцов пособие "Курс высшей математики. Ряды. Лекции и практические занятия". , , Ратникова высшей математики. Ряды. Лекции и практические занятия. , Петрушко пособие "Высшая математика. Функции нескольких переменных. Сборник заданий". , , Сливина интерактивный справочник по математике для инженеров.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для обеспечения освоения дисциплины необходимо наличие учебной аудитории, а также аудитории, снабженной мультимедийными средствами и электронной доской для компьютерных иллюстраций и вычислений в режиме on-line на расчётном сервере МЭИ.
Для проведения практических занятий необходимо наличие специализированных компьютерных классов, оборудованных электронными или стандартными учебными досками.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и с учетом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению: 140400 Электроэнергетика и электротехника для профилей подготовки: №9. Электрические и электронные аппараты; №10. Электропривод и автоматика; №11. Электротехнологические установки и системы; №12. Электрический транспорт; №13. Электрооборудование автомобилей и тракторов; №14. Электрооборудование и автоматика судов; №15. Электрооборудование летательных аппаратов; №16. Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений; №17. Электроизоляционная, кабельная и конденсаторная техника; №18. Менеджмент в электроэнергетике и электротехнике; №19. Техногенная безопасность в электроэнергетике и электротехнике.
ПРОГРАММУ СОСТАВИЛИ:
к. ф-м. н., доцент
к. ф-м. н., доцент
к. ф-м. н., доцент
к. т.н., доцент
"СОГЛАСОВАНО":
Директор ИЭТ
к. т.н., профессор
"УТВЕРЖДАЮ":
И. о. зав. кафедрой высшей математики
д. ф-м. н., профессор
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
