Исследование относительного движения материальной точки (стр. 2 )

Определить закон движения шарика вдоль канала, скорость движения шарика и давление его на стенки канала. Построить графики собственных колебаний и , вынужденных колебаний и , график, определяющий закон движения шарика по каналу и скорость его движения ; соответственно. Построить зависимость силы давления (реакции) от времени.

ω

Рис. 1

Запишем условие в кратной математической форме:

Д	м кг Н/м с-1	м м/с м
О	, ,

Движение шарика можно представить в виде сложного движения, рассмотрев его движение относительно двух систем отсчёта.

В данном случае выбираем две системы отсчёта:

1) неподвижная система отсчёта с осями (рис. 2);

ω   α   φ   ω   φ

Рис. 2

2) подвижная система отсчёта, неизменно связанная с телом A с осями (см. рис. 2).

Тогда относительным является прямолинейное движение точки по каналу, совпадающему с подвижной осью (см. рис. 2).

Траекторией относительного движения является прямая OM (см. рис. 2), закон движения, по которой необходимо определить.

Так как относительное движение прямолинейное, то скорость относительного движения

Покажем вектор относительной скорости на рис. 3.

Рис. 3

Движение шарика вместе с телом А является для него переносным движением. Тело А совершает равномерное вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси . Вектор угловой скорости направлен по оси (см. рис. 2).

Траекторией переносного движения шарика в данное мгновение можно считать окружность радиусом (см. рис.2), который определим из треугольника :

.

В общем случае уравнение относительного движения точки в векторной форме имеет вид:

,

где

– вектор относительного ускорения движения точки;

– векторная сумма всех активных сил, действующих на точку;

– векторная сумма реакций связей;

– вектор переносной силы инерции;

– вектор кориолисовой силы инерции.

Чтобы составить уравнения относительного движения точки для нашей расчетной схемы покажем тело А в отклоненном положении (поворот на угол ) (см. рис. 2) и силы, действующие на точку М (рис. 3).

На точку действует только одна активная сила – сила тяжести (см. рис. 3), поэтому

Определим реакции связей. Связью является внутренняя поверхность цилиндрического канала (гладкая поверхность). Реакция этой поверхности лежит в плоскости, перпендикулярной оси (см. рис. 3), т. е.

, где

- составляющая реакции в направлении оси y

- составляющая реакции в направлении оси z

Связью является также пружина, сила упругости которой

, где

– коэффициент жёсткости пружины,

– деформация пружины (изменение ее длины).

Допустим, что в данном положении пружина сжата (рис. 4).

Рис. 4

Тогда , где

– длина свободной недеформированной пружины;

– длина пружины в данном положении.

Из рис. 4 следует, что , тогда . Отсюда сила упругости, которая действует на шарик и стремится вернуть его в положение равновесия, будет равна .

Покажем вектор силы упругости на рис. 3, перенеся его вдоль линии действия в центр шарика – точку М.

Таким образом:

=

Определим переносную силу инерции:

– вектор переносной силы инерции, который направлен в сторону, противоположную переносному ускорению.

Вектор переносного ускорения

,

где – вектор нормального переносного ускорения,

 – вектор касательного переносного ускорения.

В данном случае , так как переносное движение – равномерное вращение с постоянной угловой скоростью . Поэтому и, следовательно:

.

Таким образом, модуль переносной силы инерции имеет вид

.

Покажем вектор переносной силы инерции на рис. 3.

Определим кориолисову силу инерции. Вектор кориолисовой силы инерции

.

Он направлен в сторону, противоположную ускорению Кориолиса

,

где – векторное произведение вектора переносной угловой скорости на вектор относительной скорости точки .

Модуль ускорения Кориолиса равен

,

где – синус угла между векторами переносной угловой скорости и относительной скорости точки.

Так как , , ° (см. рис. 3), то .

Вектор ускорения Кориолиса направим по правилу Жуковского. В данном случае вектор направлен параллельно оси OY (см. рис. 3).

Сила инерции Кориолиса будет .

Изобразим силу инерции Кориолиса на схеме (см. рис. 3).

Таким образом, уравнение относительного движения точки в векторной форме с учётом действующих сил примет вид:

и в проекциях на оси координат:

Так как относительное движение происходит по оси , то и , и дифференциальные уравнения относительного движения в проекции на оси координат принимают вид (см. рис. 3):

Из рис. 3 следует, что

,

, .

Тогда

Отсюда

. (1)

Для определения решим дифференциальное уравнение:

.

Разделив обе части этого уравнения на и введя обозначения

и ,

получим

. (2)

Уравнение (2) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения () складывается из суммы общего решения однородного дифференциального уравнения () и частного решения неоднородного дифференциального уравнения (), т. е.

.

Однородное дифференциальное уравнение в данном случае имеет вид

.

Для решения этого уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение и найдем его корни:

,

,

– сопряжённо-мнимые корни характеристического уравнения, – мнимая единица.

Отсюда .

Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения зависит от вида правой части линейного дифференциального неоднородного уравнения (2). В данном случае частное решение ищем в виде

,

где и – неопределённые постоянные коэффициенты.

Так как частное решение должно удовлетворять неоднородному уравнению (2), то подставим в него и , которые соответ­ственно равны

и .

Получим

.

Отсюда

,

.

Выразим неопределённые коэффициенты и из полученных уравнений:

;

.

Тогда частное решение неоднородного дифференциального уравнения примет вид

.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения запишем в виде:

. (3)

Для нахождения постоянных интегрирования и введём начальные условия: , , .

Необходимо также найти первую производную от по времени :

.

Подставим начальные условия в уравнения и :

,

.

Выразим и из полученных уравнений

,

(4)

.

Поставим найденные и в общее решение неоднородного уравнения (3).

Получаем закон относительного движения точки:

или

, (5)

где – амплитуда собственных колебаний,

– начальная фаза собственных колебаний.

(6)

. (7)

Аналогично получим закон изменения относительной скорости:

или

. (8)

Подставим найденный закон изменения относительной скорости в уравнение реакции гладкой поверхности канала (формула (1)):

.

Давление шарика на стенки канала равно по модулю реакции, но направлено в противоположную от неё сторону, то есть

= (9)

Построим зависимости , , , которые наглядно показывают характер изменения этих параметров во времени с учетом исходных данных.

Уравнение (5) показывает, что относительное движение материальной точки является суммой гармонических колебаний, происходящих с собственной частотой и периодом и гармонических колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы и периодом .

То есть ,

где (10)

Так как частоты собственных () и вынужденных колебаний () значительно отличаются друг от друга, то исследуем каждое колебание отдельно.

Собственные гармонические колебания происходят по закону и со скоростью соответственно:

(11)

Вычислим параметры, которые определяют характер собственных колебаний: , , , , .

()

()

Для определения амплитуды собственных колебаний, вычислим произвольные постоянные интегрированные (см. формулу (4)):

(м),

(м).

Тогда амплитуда собственных колебаний (см. формулу (6)):

(м).

Начальная фаза колебаний (см. формулу (7)):

,

(рад).

Период собственных колебаний:

(с).

Таким образом, собственные колебания точки М происходят по закону и со скоростью соответственно (см. формулу (11)):

(12)

Построим график, представляющий закон собственных колебаний точки М . Он строится в поле прямоугольника, приблизительные размеры которого таковы, что занимают половину листа формата А4, а на второй половине листа строится график . Масштаб построения выбирают таким образом, чтобы график занимал бóльшую часть выше указанного поля. Зная максимальное и минимальное значение , определим примерный вертикальный размер поля графика.

Например, в рассматриваемом случае (см. формулы (11) и (12)):

(м)

(м)

Таким образом, по вертикальной оси график , округляя значения и , строим в пределах (м) и (м), т. е.

= (м)

Шаг сетки, наносимой на вертикальной оси, будет:

∆x=(м)

По горизонтальной оси размер графика должен быть таким, чтобы укладывался 1-2 периода собственных колебаний. Так как (с), то (с). Принимаем граничные значения 0 ≤ t < 1(c), т. е. ∆t = 0,1 (с)

Шаг сетки, наносимой по горизонтальной оси, будет:

, где

- число линий сетки по горизонтальной оси t.

Примем =10.

Тогда

(с)

График показан на рис. 5.

Аналогично строим график , определив вертикальный и горизонтальный размер поля графика, зная, что (см. формулу (12)): .

График показан на рис.6.

Вынужденные колебания происходят по закону (см. формулу (10)) и со скоростью , т. е.

, (13)

.

Вычислим параметры, определяющие характер вынужденных колебаний:

(м),

(с).

Таким образом:

, (14)

,

(с).

Графики ; строятся аналогично графикам, и . Зависимость показана на рис. 7, а график показан на рис. 8.

, .

Рис. 5

горизонтальная ось – t(c),

вертикальная ось – (м).

,

.

Рис. 6

горизонтальная ось – t(c),

вертикальная ось – (м/с).

, .

Рис. 7

горизонтальная ось – t(c),

вертикальная ось – (м).

, .

Рис. 8

горизонтальная ось – t(c),

вертикальная ось – (м/с).

Затем аналогично строим графики (рис.9, рис.10, рис.11) согласно уравнениям:

(15)

= (16)

(17)

Выводы

Движение шарика по каналу происходит по закону (см. рис. 9):

(м).

Скорость движения шарика по каналу определяется зависимостью (см. рис. 10):

(м/с).

Зависимость силы давления шарика на стенки канала определяется формулой (см. рис. 11):

.

По зависимости (15) и из графика (рис.9) видно, что шарик совершает колебательное движение вдоль оси х около координаты x≈0,075 (м). Максимальное отклонение (м) при t = 1,4(с), минимальное отклонение (м) при t = 2,2 с.

«Размах» колебательного движения шарика составляет

∆x = 0,155+|-0,005| = 0,16(м).

,

.

Рис. 9

горизонтальная ось – t(c),

вертикальная ось – (м).

,

.

Рис. 10

горизонтальная ось – t(c),

вертикальная ось – (м/с).

,

.

Рис. 11

горизонтальная ось – t(c),

вертикальная ось – (Н).

Давление шарика на стенки канала (см. рис. 11) меняется следующим образом. При 0 ≤ t ≤ 0,45 с шарик давит на стенки канала в одну сторону, а при 0,45 ≤ t ≤ 1,4с шарик давит на противоположную сторону стенки канала. Затем при 1,4 ≤ t ≤ 2,3 с направление давления шарика на стенки канала опять меняется и т. д.

Максимальное давление на одну сторону стенки канала = 1,55 (Н) при t = 1,8 (с), а при t = 1,1 (с) максимальное давление на противоположную стенку канала равно = 2,3 (Н).

7. Вопросы для самопроверки по относительному движению точки

1)  Какое движение точки называют сложным?

2)  Какое движение точки называют относительным?

3)  Какое движение называют переносным?

4)  Что называют траекторией, скоростью и ускорением относительного движения?

5)  Что называют траекторией, скоростью и ускорением переносного движения?

6)  Векторная формула ускорения Кориолиса.

7)  Модуль ускорения Кориолиса.

8)  Как определяется направление вектора ускорения Кориолиса.

9)  Модуль переносной силы инерции.

10)  Как определяется направление вектора переносной силы инерции?

11)  Модуль кориолисовой силы инерции.

12)  Как определяется направление вектора кориолисовой силы инерции?

13)  Чему равна переносная сила инерции, если переносное движение равномерное вращение?

14)  Чему равна переносная сила инерции, если переносное движение поступательное прямолинейное?

15)  Чему равна кориолисова сила инерции, если переносное движение поступательное?

16)  Какие системы отсчета называются инерциальными?

17)  Каково условие относительного покоя материальной точки?

Список литературы

1)  Тарг курс теоретической механики: Учеб. Для втузов, 12-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2002

2)  , Никифорова теоретической механики: Учебник для техн. Вузов – 7-е изд. Стереотипное – Серия «Учебник для вузов: Специальная литература». – СПб: Издательство «Лань», 1999

3)  Горбач механика: Динамика: Учеб. Пособие. – Мн.: Книжный дом, 2004

Приложение

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Московский государственный индустриальный университет

(ГОУ МГИУ)

Кафедра «Теоретическая механика и теория механизмов»

Расчетно-графическая работа

по теоретической механике

«Исследование относительного движения материальной точки»

Вариант:

Строка:

Группа:

Студент:

Преподаватель:

Москва 2006