|
ã
Почему произведение двух отрицательных чисел положительно?
Аннотация на русском языке.
Ключевые слова: на русском языке.
Vahitov R.H.
НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ)
Аннотация на английском языке.
Keywords: на английском языке.
Мы расскажем о простейших свойствах групп и колец, не прибегая к теоретико-групповой и теоретико-кольцевой терминологии.
При изучении сложения и умножения натуральных чисел мы убеждаемся в справедливости следующих пяти арифметических законов [1; 2]:
1. Сочетательный закон сложения: 
2. Переместительный закон сложения: 
;
3. Сочетательный закон умножения: 
;
4. Переместительный закон умножения: 
;
5. Распределительный закон умножения относительно сложения: 
.
В математике нуль и отрицательные числа вводятся с помощью следующих законов:
6. Основное свойство нуля: 
;
7. Основное свойство противоположного числа: 
.
При этом принято считать, что целые числа также удовлетворяют основным арифметическим законам 1–5. Заметим, что 1, 6, 7 – это аксиомы группы, 1, 2, 6, 7, – это аксиомы абелевой группы, а 1–7 – это аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца.
Из свойств 1, 6, 7 следует правило сокращения для сложения:
8. Если 
.
Из свойств 6 и 7 легко следует, что
9. 
.
Из свойства 7 имеем, что 
. Отсюда, по правилу сокращения 8 выводим, что
10. 
.
Используя свойства 1, 6 и 7, имеем, что
Отсюда, по правилу сокращения 8, выводим, что
11. 
.
Из свойств 2 и 11 следует, что
12. 
.
Теперь рассмотрим простейшие следствия распределительного закона 5.
Из свойства 6, в частности следует, что 
. Отсюда и из 5 имеем, 
, и, применяя правило, получаем, что 
. Аналогично, 
.
13. 13. Свойство умножения на нуль: 
.
Мы готовы к обоснованию того, что произведение «минуса» на «плюс» дает «минус», а произведение «минуса» на «минус» будет «плюс».
Используя свойства 5, 7, и 13, имеем, что
.
Таким образом, справедливо свойство
14. 
.
Из свойств 14 и 10 легко следует, что
15. 
.
Свойство 15 можно доказывать «напрямую»:
Здесь же ответим на вопрос: «Почему нельзя делить на нуль?».
Деление 
определяется как действие, обратное к умножению: 
В частности, 
В случае а = 0 значение с не определено в силу свойства 13, а в случае а ¹ 0 значения с не существует в силу того же свойства 13. Следовательно, действие 
невозможно [2, 45].
Замечание. Простейшие свойства кольца 13–15 не являются «математическим доказательством» того, что произведение двух отрицательных чисел положительно. Эти утверждения следуют из тех правил (аксиом), которые мы выбираем. «Минус» на «минус» будет «плюс», потому, что мы основные свойства натуральных чисел стараемся сохранить и для целых чисел. Однако, интересующимся ученикам можно показать как из распределительного свойства получаются свойства 13‑15. Рассмотрим еще два закона умножения рациональных действительных чисел:
16. Основное свойство единицы: 
;
17. Основное свойство обратного числа: если а ¹ 0, то
.
Свойства 1–7, 16, 17 – это аксиомы поля. Из свойств 3, 16, 17 следует правило сокращения для умножения:
18. Если 
В произвольных кольцах свойство 18 равносильно свойству
19. Если 
То, что х = 4, 5, 6 является решением уравнения...
Литература
1. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 19с.
2. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 19с.
3. Номенклатура специальностей научных работников [Электронный ресурс] // Приложение к приказу Минобрнауки РФ от 01.01.2001 г., № 59. Режим доступа http://vak. *****.
4.
5. ...
Сведения об авторе
, кандидат физ.-мат. наук, доцент; доцент кафедры математического анализа СГПА им. Зайнаб Биишевой; e-mail: _____________________________.
ã , 2012
Работа рекомендована д-ром физ.-мат. наук, проф.
