Алгоритм преобразования квазигеографических координат, предусматривающих возможность работы на различных эллипсоидах

УДК 527

В. С. ЮМАНОВ

(ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор")

АЛГОРИТМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КВАЗИГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ, ПРЕДУСМАТРИВАЮЩИЙ ВОЗМОЖНОСТЬ РАБОТЫ
на различных ЭЛЛИПСОИДАх

Рассматриваются соотношения между координатами
в квазигеографической и географической системах. Исследуется связь между квазигеографическими координатами в различных геодезических системах координат. Предложен алгоритм преобразования квазигеографических координат в геодезическую систему координат с произвольными параметрами.

Введение

В связи с совершенствованием информационных систем поддержки плавания и необходимостью решения навигационных задач в приполюсных районах требуется осуществлять обработку навигационной информации с использованием квазигеографических координат [4]. Главным образом система квазигеографических координат используется при работе с картами, построенными в поперечной равноугольной цилиндрической проекции Меркатора. Такие карты приполюсных районов, в отличие от карт, построенных в нормальной проекции Меркатора, не имеют существенных искажений изображения. Поскольку квазигеографические координаты, как и географические, могут быть представлены в различных геодезических системах координат (далее – СК), необходимо обеспечить возможность преобразования квазигеографических координат в соответствии с параметрами используемой геодезической системы координат.

Законодательством Российской Федерации утверждены единые государственные геодезические системы координат ПЗ‑90, ПЗ‑90.02, ПЗ‑90.11, СК‑42, СК‑95 и ГСК‑2011 [2], методы преобразования географических координат и элементы трансформирования между системами ПЗ-90.02, ПЗ-90, WGS-84, СК‑42 и СК-95 [1], метод преобразования географических координат в квазигеографические на текущем отсчетном эллипсоиде [3]. С помощью указанных методов может быть осуществлено косвенное преобразование квазигеографических координат в другую геодезическую систему координат. Однако алгоритмы прямого преобразования квазигеографических координат в другую геодезическую систему координат не разработаны. Настоящий доклад посвящен исследованию взаимосвязи между квазигеографическими координатами в различных геодезических системах координат и разработке соответствующего алгоритма.

Система квазигеографических координат

Сетка квазигеографических координат ориентирована следующим образом. За квазисеверный полюс принимают точку земной поверхности с географическими координатами φ = 0°, λ = 180°, а за квазиюжный – с координатами φ = 0°, λ = 0°. За квазиэкватор принят круг, образованный географическими меридианами λ = 90° зап. и λ = 90° вост. Квазимеридиан, проходящий через северный географический полюс, принимают за начальный (нулевой).

Рис. 1. Положение экватора (жирная линия), нулевого меридиана (двойная линия) и полюсов (N, S, Nq, Sq), соответствующих сетке географических координат (слева) и сетке квазигеографических координат (справа).

Счет квазиширот, изменяющихся от 0° до 90°, ведется от квазиэкватора к квазисеверу и квазиюгу. Квазисеверные широты принято считать положительными, а квазиюжные – отрицательными. Счет квазидолгот, изменяющихся от 0° до 180°, ведется от нулевого квазимеридиана к квазивостоку и квазизападу. Квазивосточную долготу принято считать положительной, а квазизападную – отрицательной.

За отсчетную поверхность в системе квазигеографических координат принимается квазигеографическая сфера. Радиус сферы зависит от параметров отсчетного эллипсоида, а также от широты "нормальной" параллели – средней параллели картографируемого района, и может быть рассчитан по формуле [1]

(1)

где радиус кривизны меридианного сечения на "нормальной" широте

; (2)

радиус кривизны первого вертикала на "нормальной" широте

; (3)

a – большая полуось отсчетного эллипсоида; e – эксцентриситет отсчетного эллипсоида; φн – "нормальная" широта.

Поскольку радиус квазигеографической сферы больше малой полуоси эллипсоида, при совмещенных северных географических полюсах эти поверхности не будут являться концентрическими.

Преобразование квазигеографических координат

Задача преобразования квазигеографических координат из исходной СК А
в целевую СК Б заключается в определении квазигеографических координат
в СК Б φБq, λБq по известным квазигеографическим координатам в СК А φАq, λАq при заданных параметрах СК А, СК Б и элементах трансформирования между этими СК.

Косвенное преобразование квазигеографических координат из СК А в СК Б с помощью упомянутых ранее методов преобразования координат может быть осуществлено следующим образом.

1. Преобразование квазигеографических координат в СК А в географические:

а) преобразование квазигеографических координат в сферические;

б) преобразование сферических координат в географические.

2. Преобразование географических координат из СК А в СК Б:

а) преобразование географических координат в СК А в прямоугольные пространственные;

б) преобразование прямоугольных пространственных координат из СК А в СК Б;

в) преобразование прямоугольных пространственных координат в СК Б в географические.

3. Преобразование географических координат в СК Б в квазигеографические:

а) преобразование географических координат в сферические;

б) преобразование сферических координат в квазигеографические.

Предлагаемый алгоритм преобразования квазигеографических координат

В основе предлагаемого алгоритма преобразования квазигеографических координат лежат описанные в [1] методы преобразования координат: преобразование геодезических координат в прямоугольные пространственные, преобразование прямоугольных пространственных координат; а также учитываются особенности системы квазигеографических координат:

- отсчетной поверхностью является сфера,

- квазигеографическая система координат повернута относительно географической на минус 90° вокруг оси Y.

Предлагаемый алгоритм преобразования квазигеографических координат осуществляется в три шага:

1) преобразование квазигеографических координат в СК А в прямоугольные пространственные;

2) преобразование прямоугольных пространственных координат из СК А
в СК Б;

3) преобразование прямоугольных пространственных координат в СК Б
в квазигеографические.

Шаг 1. Преобразование квазигеографических координат в СК А в прямоугольные пространственные осуществляется следующим образом:

(4)

где XА, YА, ZА – прямоугольные пространственные координаты места в СК А; φАq, λАq – квазиширота и квазидолгота места в СК А; RА – радиус квазигеографической сферы, соответствующей СК А.

Шаг 2. Преобразование прямоугольных пространственных координат из СК А в СК Б осуществляется следующим образом:

(5)

где XБ, YБ, ZБ – прямоугольные пространственные координаты места в СК Б; ωx, ωy, ωz – угловые элементы трансформирования систем координат при переходе из СК А в СК Б; Δx, Δy, Δz – линейные элементы трансформирования систем координат при переходе из СК А в СК Б; m – масштабный коэффициент трансформирования систем координат при переходе из СК А в СК Б; поправка, ввод которой позволяет учесть отстояния центров квазигеографических сфер от центров соответствующих эллипсоидов

Δc = ΔbСК2 – ΔbСК1; (6)

частное отстояние квазигеографической сферы от эллипсоида

Δb = Zн – Rнsinuн; (7)

Rн – радиус квазигеографической сферы, рассчитываемый по формуле (1);
uн – сферическая широта "нормальной" параллели. Будем полагать, что

, (8)

где, Nн – радиус кривизны первого вертикала на "нормальной" широте, рассчитываемый по формуле (3); φн – "нормальная" широта; Zн – возвышение плоскости "нормальной" параллели над плоскостью географического экватора, которое в соответствии с [1] может быть вычислено по формуле

Zн = Nн(1 – e2)sinφн. (9)

Здесь e – эксцентриситет отсчетного эллипсоида.

Рис. 2. Схематичное изображение отстояния центра эллипсоида от центра соответствующей квазигеографической сферы.

С учетом (8) и (9) выражение (7) принимает вид

. (10)

Шаг 3. Преобразование прямоугольных пространственных координат в СК Б в квазигеографические осуществляется следующим образом.

Если , то λБq = 0 и

, (11)

иначе

. (12)

Если XБ = 0, то φБq = 0, иначе

. (13)

Здесь XБ, YБ, ZБ – прямоугольные пространственные координаты места в СК Б; φБq, λБq – квазиширота и квазидолгота места в СК Б.

Результаты работы предлагаемого алгоритма

Для оценки точности результатов работы предлагаемого алгоритма введем радиальную ошибку преобразования

(14)

где φ'Бq, λ'Бq – "эталонные" значения квазигеографических координат в целевой СК; φ"Бq, λ"Бq – квазигеографические координаты в целевой СК, полученные с помощью предлагаемого алгоритма.

За "эталонные" принимаются значения квазигеографических координат, косвенно полученные с помощью известных методов. Были получены значения радиальной ошибки преобразования квазигеографических координат из системы СК‑42 в систему WGS‑84 на географических широтах 70° и выше.

Зависимость величины радиальной ошибки преобразования квазигеографических координат при переходе из системы СК‑42 в систему WGS‑84 от географической широты представлена на рисунке 3.

Рис. 3. Радиальная ошибка преобразования квазигеографических координат из системы СК‑42 в систему WGS‑84 в зависимости от географической широты.

Заключение

Преобразования квазигеографических координат в другую геодезическую систему координат с помощью предлагаемого алгоритма осуществляется
с ошибкой не более 0,5 мм для географических широт 70° и выше.

Предлагаемый алгоритм позволяет получить результаты, сопоставимые
с "эталоном", при этом количество вычислительных операций сокращается, без необходимости применения приближенных формул.

Исследование проводилось в рамках ОКР «Арктика-И». В дальнейшем планируется разработка алгоритма, обеспечивающего преобразование географических и квазигеографических координат в любой СК как в квазигеографические, так и в географические координаты в любой СК.

ЛИТЕРАТУРА

1. Национальный стандарт Российской Федерации. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек. - М.: Стандартинформ, 2009.

2. Постановление правительства Российской Федерации № 1463 от 01.01.2001. О единых государственных системах координат.

3. Правила гидрографической службы. Составление и издание морских карт (ПГС №5). Часть 1. СПб.: УНиО МО РФ, 20с.

4. Стратегия развития Арктической зоны Российской Федерации и обеспечения национальной безопасности на период до 2020 г. [Электронный ресурс] Интернет-портал Правительства Российской Федерации. 20февраля. URL: http://*****/docs/22846/ (дата обращения: 3 мая 2013 г.)

Автор не возражает против размещения доклада в сети Интернет и согласен с его последующей публикацией в сборнике материалов конференции.

Контактное лицо: , , .

E-mail: *****@***com.