Теория вероятностей и ее применения (стр. 2 )

Теорема 2.1. Пусть – неотрицательная конечная мера на борелевских подмножествах и при всех и при всех имеет место равенство

. (2.1)

Тогда

а) мера vi и мера Лебега взаимно абсолютно непрерывны и, если обозначить , то g > 0 (п. в.), g – функция Грина в точке 0 оператора Lu

,

где зависят только от d, ε и радиуса шара, содержащего A;

б) существует стратегия такая, что и, более того, для любой ограниченной борелевской h

. (2.2)

Теорема 1.2 непосредственно вытекает из теоремы 2.1 б) и следующей леммы.

Лемма 2.1. Пусть . На борелевских множествах введем меру Грина процесса по формуле

. (2.3)

Тогда существует пара такая, что при всех имеет место равенство

.

Кроме того, для любой ограниченной борелевской h

. (2.4)

Доказательство. Формула (2.4) вытекает из определения (2.3) стандартным образом. Для построения определим меры

(2.5)

и меры , заменяя в (2.5) на и соответственно. Очевидно, что все введенные меры абсолютно непрерывны относительно. Введем обозначения:

, (2.6)

.

По построим оператор L по формуле (1.9). Аналогично (2.4) для любой ограниченной борелевской h

, (2.7)

и подобные же формулы верны для других мер. Например,

.

Отсюда и из формулы Ито для любых получаем:

. (2.8)

Докажем, что почти всюду по мере . Возьмем , ограниченную неотрицательную борелевскую h(x) и заметим, что

.

Поскольку неравенство между крайними членами в этой цепочке верно при произвольной описанной h, то

(2.9)

при -почти всех x. Это верно при каждых , а так как обе части (2.9) непрерывны по , то неравенство (2.9) имеет место на множестве полной меры при всех сразу. На этом же множестве (ср. доказательство леммы 1.2) . На оставшемся борелевском множестве -меры нуль мы переопределим так, чтобы эта функция осталась борелевской и принимала значения из A. Тогда формулы (2.6) – (2.8) останутся справедливыми, по теореме 2.1 а) и лемма доказана.

Для доказательства теоремы 1.3 потребуется следующий факт.

Лемма 2.2. Пусть , и при всех выполнено неравенство

. (2.10)

Тогда существует пара такая, что для vi равенство 2.1 имеет место при всех .

Доказательство. Обозначим пространство Соболева, состоящее из всех действительных функций на , суммируемых по в степени d вместе с первыми и вторыми обобщенными производными. Норма в задается как сумма норм в функции и всех ее частных обобщенных производных до второго порядка включительно. Известно, что – банахово, сепарабельное рефлексивное пространство. По теореме Соболева о вложении каждая функция u из имеет непрерывную модификацию и определяемое этой модификацией вложение в непрерывно. Поэтому u(0) – линейный непрерывный функционал от . На x определим линейный непрерывный функционал .

Рассмотрим также следующее множество K всех линейных непрерывных функционалов на x , каждый из которых имеет вид

,

где . Из выпуклости, ограниченности и замкнутости множеств А(х) вытекает, что К ограничено и слабо замкнуто (при доказательстве последнего удобно пользоваться теоремой Банаха–Сакса), а поскольку оно, очевидно, выпукло, то К и сильно замкнуто.

С помощью введенных объектов утверждение леммы можно записать в виде . Предположим, что . Тогда по теореме V.3.10 [22] существует линейный непрерывный функционал на ( x )*, строго разделяющий . Поскольку пространство x рефлексивно, то все линейные непрерывные функционалы на ( x )*, задаются с помощью элементов x . Следовательно, для некоторых x при всех имеем:

.

Вычисляя справа верхнюю грань по и пользуясь леммой 1.2, получаем:

.

Это противоречит условию (2.10), которое выполняется не только при , но и при , что без труда получается с помощью предельного перехода. Лемма доказана.

Сделаем еще один шаг к доказательству теоремы 1.3.

Лемма 2.3. Если выполнено утверждение б) теоремы 1.3, то существует неотрицательная функция , для которой при всех выполняется (2.10).

Доказательство. Пусть X – единичный шар в x , Y – подмножество единичного шара , состоящее из всех неотрицательных функций. При рассмотрим функцию

.

Эта функция слабо непрерывна и линейна по g. Кроме того, из леммы 1.2 следует, что

.

Отсюда видно, что Φ выпукла вниз по и полунепрерывна снизу в слабой топологии по . Отметим также, что X, Y являются компактами в слабых топологиях, так как пространства x , рефлексивны. Наконец, в (1.6) нам дано, что

.

По теореме Фань Цзы [23] здесь максимум и минимум можно поменять местами и существует такое, что

.

Этим доказано (2.10) с при . Из-за однородности (2.10) относительно это неравенство верно при всех нужных . Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1.3. а) б). Эта импликация сразу получается из леммы 2.1, теоремы 2.1 а) и неравенства Гельдера.

б) а). Эта импликация, очевидно, следует из лемм 2.3, 2.2 и теоремы 2.1 б).

Мы уже доказали, что неравенство (1.6) имеет место, если в нем v заменить на . Вычисляя верхнюю грань, получаем, что неравенство (1.6) справедливо, если заменить на . Отсюда сразу видно, что из в) следует б). Из б) мы уже вывели а), наконец, из а) непосредственно следует в). Стало быть, все утверждения а) – в) эквивалентны.

Докажем формулы (1.7), (1.8). Возвращаясь к только что проведенному обсуждению (1.6), заключаем, что левая часть (1.7) не больше ее правой. Заменяя в этом неравенстве на , находим, что левая часть (1.8) не меньше ее правой. В частности, правая часть (1.7) не меньше правой части (1.8), а нам нужно доказать, что для всякого отрезок, образованный правыми частями формул (1.7), (1.8), совпадает с отрезком, образованным левыми частями этих формул. Фиксируем и пусть число лежит в первом из упомянутых отрезков. Тогда почти очевидно, что при любых

. (2.11)

Теперь обозначим правую часть (1.7). Нетрудно видеть, что (см. (2.11)), при . Кроме того, выражение, стоящее под знаком нижней грани справа в (1.7), выпукло вниз по . Поэтому также выпукла вниз. Соотношение (2.11) можно переписать в виде . По теореме Хана–Банаха из установленных свойств вытекает возможность продолжить с линейного пространства векторов вида до линейной функции , определенной на и всюду удовлетворяющей неравенству . Следовательно, существует такое, что , на . Для этого i выполнено неравенство (1.6), стало быть, при некотором и лежит в отрезке, образованном левыми частями (1.7), (1.8) при . Теорема доказана.

Следствие 2.1. Для любых существует последовательность , такая, что при имеем:

, . (2.12)

Доказательство достаточно провести при . При в (1.7) построим минимизирующую последовательность , для правой части (1.7). Тогда (2.12) получится из того, что

.

Перейдем к доказательству леммы 1.1 и теоремы 1.4. По операторам , взятым перед леммой 1.1, можно очевидным образом построить множество аналогично так, чтобы при всех k. Из равенства (1.11) получаем:

(2.13)

Для всех , причем и g суммируема на . Отсюда видно, что лемма 1.1 вытекает из теоремы 2.1 а). Переходя к пределу в (2.13), (1.12) по подпоследовательности , о которой идет речь после леммы 1.1, и замечая, что слабо, а сильно, получаем:

для всех (и для любой функции Грина оператора L в токе 0). По теореме 2.1 а) (п. в.). Теперь, чтобы формально вывести теорему 1.4 из теоремы 2.1 а), положим

, (2.14)

где – коэффициенты . Как уже отмечено, почти всюду. Переопределяя их на множестве меры нуль, можно считать, что всюду. Поэтому оператор определен, очевидно, , функция суммируема и для любой , очевидно,

.

Теорема 2.1 а) говорит, что – функция Грина в точке 0 оператора и тем теорема 1.4 доказана.

Замечание 2.1. Из доказательства теоремы 2.1 мы увидим, как можно построить последовательность операторов с гладкими коэффициентами, сходящимися почти всюду к коэффициентам , и таких, что их функции Грина в точке 0 слабо сходятся к . Оказывается, коэффициенты можно брать из множества , где введены в (2.14).

§ 3. Некоторые вспомогательные результаты

Нам остается доказать теорему 2.1. Поясним основную идею доказа­тельства б). Пусть а, b, с – коэффициенты L. На некотором вероятност­ном пространстве уравнение (1.4) имеет решение. Пусть ему соответствует стратегия α. Предположим также, что в классе достаточно гладких функ­ций и нам удалось решить уравнения . Аналогично (2.8) в силу (2.1) напишем:

.

Из-за произвола в выборе мы и получаем утверждение б).

Основная трудность в проведении этого плана заключается в том, что про разрешимость уравнений в общем случае ничего не известно.

Для преодоления этой трудности нам потребуется лемма, которая до­казана в [24]. Здесь она приводится вместе с доказательством для полноты картины и для того, чтобы, следуя [25], исправить некоторую неточность в доказательстве из [24], а также исправить неточность из [25], связанную со ссылкой на [26].

Введем необходимые объекты. Пусть для всякого определены: – симметричная неотрицательная матрица размера d x d, , вещественное .

Предположим, что измеримы по Борелю и ограничены. Введем оператор L по формуле (1.9).

Пусть также неотрицательная бесконечно дифференцируемая функция задана на . Положим хпри и для функции на или меры на будем обо­значать

, . (3.1)

Через обозначим меру такую, что

.

Разумеется, эти обозначения будут применяться, только если они имеют смысл.

Лемма 3.1. Пусть – две конечные неотрицательные меры на борелевской -алгебре на и

(3.2)

для всех неотрицательных . Положим

, (3.3)

и пусть – решение стохастического уравнения

, (3.4)

, . (3.5)

Тогда измерима по Борелю и ограничена, если h измерима по Борелю и ограничена, а, кроме того,

(3.6)

для всех неотрицательных борелевских h. Если же в (3.2) имеет место обратное неравенство для всех неотрицательных , то и в (3.6) имеет место обратное неравенство для всех неотрицательных борелевских h.

Доказательство. Докажем только первое утверждение, так как доказательство второго совершенно аналогично.

Отметим, что, как сразу следует из (3.1), (3.3), функции бесконечно дифференцируемы. Из [28] вытекает, что удовлетворяет условию Липшица в каждой ограниченной области . Поэтому существует (на любом вероятностном пространстве, на котором можно определить d-мерный винеровский процесс wt), единственно, непрерывно по x вероятности по и является марковским процессом. Отсюда, в частности, следует, что переводит , т. е. пространство всех ограниченных непрерывных функций, в себя и при

. (3.7)

Кроме того, очевидно, . Поэтому итерируя (3.7), получим: при

, (3.8)

где ряд сходится по норме операторов, действующих из в . Так как переводит в и имеет вид (3.5), то, как показывают стандартные рассуждения из теории меры, этот оператор борелевские ограниченные функции переводит в борелевские ограниченные, в частности, (3.6) имеет смысл, а кроме того, (3.6) достаточно доказать для непрерывных ограниченных .

По построим оператор , отправляясь от формулы (1.9), возьмем функцию , ограниченную и непрерывную вместе с двумя производными по x, и подставим в (3.2) вместо u. Эта подстановка возможна, так как (3.2) легко распространяется с класса неотрицательных функций из на все неотрицательные функции, ограниченные и непрерывные вместе со всеми производными до второго порядка включительно. После подстановки, как показывает простой подсчет, получим:

. (3.9)

Теперь предположим, что первые, вторые и третьи производные по x функций ограниченны. Тогда, как известно из [26], существует такое , что при уравнение имеет решение u такое, что непрерывны и ограниченны. По формуле Ито , и в силу (3.9) при имеем:

Это неравенство стандартными рассуждениями переносится на все неотрицательные . Отсюда и из (3.7) заключаем:

,

и для доказательства (3.6) достаточно заметить, что, например,

.

Остается освободиться от предположения об ограниченности производных . Из определения (3.3) следует, что для ограниченности их трех производных достаточно, чтобы

, , , (3.10)

где N не зависит от x. Эти неравенства выполнены, например, если , где K – нормировочная постоянная.