Теория вероятностей и ее применения (стр. 3 )

Для целей настоящей статьи вполне достаточно было бы рассмотреть только случай . Более того, поскольку в основном мы рассматриваем только равномерно невырожденные операторы L (условие (1.1)), то предыдущие рассуждения можно было бы значительно сократить, взяв всюду , так как разрешимость невырожденного уравнения с гладкими коэффициентами известна из теории дифференциальных уравнений.

Однако в [24], например, при обсуждении инвариантных мер важно было в качестве брать финитную функцию, а обоснование такой возможности в [24] отсутствует. В § 4 этой статьи нам также удобно использовать финитные . Поэтому рассмотрим случай произвольного . Заметим, что неравенства (3.10) выполнены не только для , но и для , где (постоянная N в (3.10), возможно, зависит от ). Кроме того, на и, используя вместо , можно определить соответствующие коэффициенты по формуле (3.3) и процесс из уравнения (3.4). Вновь вводимые объекты будем снабжать индексами . Для процесса неравенство

(3.11)

доказано выше с любой неотрицательной . Положим здесь . Из известных теорем о сходимости решений стохастических уравнений и из соотношений вида , верных равномерно на всяком компакте в в силу непрерывности , вытекает, что в каждой точке x. Кроме того, всюду и , что по теореме Шеффе дает

.

После всего сказанного предельный переход в (3.11) не требует никакого труда. Лемма доказана.

Часть утверждений теоремы 2.1 мы получим с помощью следующей теоремы. Перед ее формулировкой введем несколько обозначений. Пусть K – постоянная, мажорирующая на . Обозначим множество всех эллиптических операторов вида (1.9), для которых a, b, c измеримы по Борелю, ограниченны, на . Подберем , зависящее только от d, K, ε, так, чтобы при любых на выполнялось неравенство

(3.12)

Возможность выбора подходящего проверяется прямыми вычислениями. Положим при при ,

. (3.13)

Последняя формула определяет эллиптический оператор . Нетрудно видеть, что при имеем: , где зависит только от . Наконец, выберем постоянную , зависящую только от так, чтобы при любых на выполнялось неравенство

. (3.14)

Всюду нижу .

Теорема 3.1. Пусть – неотрицательные меры на борелевских подмножествах , конечные на всяком шаре и .

Предположим, что неравенство (3.2) выполнено для всех неотрицательных . Тогда при любом

, (3.15)

где N зависит только от . Кроме того, мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и для при имеем:

, (3.16)

где N зависит только от .

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что . Как нетрудно видеть, мы докажем (3.15) при всех , если их конечности интегралов, входящих в (3.15), при некотором выведем, что

(3.17)

при всех . В связи с этим фиксируем , обозначим

(3.18)

и предположим, что меры конечны. Используя обозначение (3.13), для любых неотрицательных получаем:

,

. (3.19)

Применим, далее, лемму 3.1. В качестве возьмем плотность d-мерного нормального закона с параметрами (0, I). По лемме 3.1

(3.20)

для всех неотрицательных h. Естественно, что здесь процессы и операторы строятся по и коэффициентам оператора . Структура последнего совершенно несущественна, важно только, что . Очевидно, что если – коэффициенты некоторого оператора из , то формула (3.3) задает тоже как коэффициенты некоторого оператора из .

Отсюда, из (3.14) и из формулы Ито следует, что при . Кроме того, выпукла вниз по x при , и по неравенству Иенсена . Наконец, по формуле Ито при

,

где постоянная зависит только от . Стало быть, и, полагая , из (3.20) заключаем:

,

при . Это, очевидно, дает (3.17) при .

Докажем второе утверждение теоремы. Фиксируем и предположим сначала, что правый интеграл в (3.16) конечен. Опять введем конечные меры по формулам (3.18) и рассмотрим (3.19), (3.20). Если , то по построению . Если , то в силу (3.14) при некотором , зависящем только от будет выполнено включение . Будем считать, что . Тогда в любом случае.

Пусть – коэффициенты ; задаются по формуле (3.3), отправляясь от . Ясно, что . По теореме II.3.3 [3] для всех борелевских

,

где зависит только от . Это вместе с (3.20) и с замечанием, что , дает:

. (3.21)

Напомним, далее, что если матрицы размера симметричны и неотрицательны, то . Кроме того, очевидно,

.

Отсюда, фиксируя , для подходящих матриц с находим:

. (3.22)

Наконец, из (3.21), (3.22) по лемме Фату

(3.23)

для всех непрерывных неотрицательных h. Стандартным образом неравенство между крайними членами распространяется на все неотрицательные борелевские h и из него выводится второе утверждение теоремы.

Мы это утверждение доказали в предположении, что правый интеграл в (3.16) конечен. Если он бесконечен, то фактически утверждается только абсолютная непрерывность и она, действительно, имеет место по доказанному выше, так как интеграл в (3.16) конечен при . Теорема доказана.

Следствие 3.1. Рассмотрим процесс

,

где – n-мерный винеровский процесс, – матрица размера , – d-мерный вектор, соответствующим образом измеримо зависящие от . Предположим, что , где . Тогда для любой борелевской имеем:

, (3.24)

где N зависит только от .

В самом деле, положим и введем меры аналогично (2.3), (2.5), полагая там . Определим по формулам (2.6) и построим оператор L. Очевидно, можно считать, что и по формуле (2.8) для всех

.

Отсюда по теореме 3.1 (ср. (3.23))

(3.25)

для всех борелевских . Остается заметить, что первое выражение здесь больше левой части (3.24), так как аналогично (3.22), (2.7) для ограниченных h с некоторыми такими, что первое выражение в (3.25) записывается как

.

Отметим, что это следствие усиливает соответствующий результат из [3], в котором в (3.24).

Следствие 3.2. Пусть v – неотрицательная мера на борелевских подмножествах , конечная на каждом шаре и такая, что для некоторых постоянных и всех неотрицательных

, .

Тогда мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и ее плотность принадлежит .

В самом деле, возьмем достаточно большое и положим , . Тогда для любой неотрицательной имеет место неравенство (3.2) с заменой в нем L на L1. Число выберем таким, чтобы при выполнялось неравенство (3.12). Тогда для конечных мер будет выполнено (3.19) с заменой там на оператор , который строится по формуле (3.13), исходя из . Поэтому, как в доказательстве теоремы, получим (3.23), откуда и вытекает наше утверждение.

Это следствие усиливает соответствующее утверждение из [24] о существовании плотности у инвариантных конечных мер.

§ 4. Доказательство теоремы 2.1

Подготовку к доказательству теоремы 2.1 завершает следующая теорема, которая нам позволит утверждать неравенство (п. в.) для функций Грина и которую мы приведем в форме, обобщающей соответствующие утверждения из [24]. При обозначим совокупность этих эллиптических операторов L вида (1.9), коэффициенты которых измеримы по Борелю, удовлетворяют неравенствам (1.1) при всех и на . Обозначим также .

Теорема 4.1. Пусть ; постоянная R положительна; – неотрицательные конечные меры на борелевских подмножествах . Предположим, что для всех неотрицательных выполнено неравенство

. (4.1)

Тогда на мера эквивалентна мере Лебега и, кроме того, для всякого существует такое , зависящее только от , что если борелевское Г лежит в и его мера Лебега не меньше , то .

Доказательство. В силу (4.1) имеем:

.

Отсюда видно, что без ограничения общности можно предположить, что . Кроме того, преобразование сводит случай общего R к . Покажем теперь, что (4.1) имеет место для всех неотрицательных функций u, равных нулю на и имеющих в непрерывные производные первого и второго порядка. Как нетрудно видеть, достаточно рассмотреть только бесконечно дифференцируемые в неотрицательные u, равные нулю на . На определим бесконечно дифференцируемую функцию так, чтобы при при . Пусть . Подставим в (4.1). Это возможно, так как . Прямые вычисления показывают, что

.

Здесь последнее слагаемое положительно, а равномерно ограничены и сходятся к 1, u на при . Это и доказывает, что неравенство (4.1) распространяется на указанное множество функций.

Теперь фиксируем такое, что , и, пользуясь регулярностью меры v, построим последовательность бесконечно дифференцируемых в функций так, чтобы и .

Рассмотрим следующую задачу:

в . (4.2)

По теореме VI.4.2 [19] при всяком n эта задача имеет решение , ограниченное и непрерывное в вместе с первыми и вторыми производными. По принципу максимума и по теоремам IV.2.12, IV.2.2 [19] , где определяется независимо от при и при , где постоянная зависит от исходных данных, как это указано в формулировке. Из (4.1), (4.2) заключаем:

.

Отсюда следует, что если для какого-то , то неравенство не может выполняться ни при одном и . Таким образом, и, кроме того, мы получили нужную оценку .

Докажем, что . Для этого положим и на как на подмножестве рассмотрим функционал

.

Это положительный (см. (4.1)) линейный функционал. Поэтому он ограничен в норме , распространяется на все и по теореме Рисса для некоторой неотрицательной конечной меры на при всех имеем:

.

Определим теперь оператор и меры по формулам

,

,

где постоянная подбирается так, чтобы . Тогда при всех

.

Отсюда по теореме 3.1

,

и теорема доказана.

Следствие 4.1. Возьмем процесс из следствия 3.1, число , обозначим момент первого выхода из и предположим, что при всех тех , при которых . Положим

.

Тогда на мера v эквивалентна мере Лебега. Кроме того, при величина оценивается снизу величиной, зависящей только от , и которая строго положительна, если .

Действительно, положим и введем меры аналогично (2.5), полагая там и заменяя интеграл от 0 до интегралом от 0 до . После этого определим по формулам (2.6) и построим оператор L. Тогда почти всюду по мере v, очевидно, . Изменяя на множестве нулевой меры, можно добиться сохранения формул (2.6) и выполнения последних соотношений при всех . Аналогично (2.8) с помощью формулы Ито получаем равенство в (4.1) для всех , что и позволяет применить теорему 4.1. Утверждение этого следствия приведено в [27, п. 8].

Теорема 4.1 дает возможность также доказать для «эллиптического случая» основной результат из [27].

Следствие 4.2. Пусть – процесс из предыдущего следствия, замкнутое Г лежит в – момент первого достижения Г процессом .

Тогда существует величина , зависящая только от , строго положительная при и такая, что .

В самом деле, для v из предыдущего следствия, очевидно,

.

Доказательство теоремы 2.1. В пункте а) все утверждения, кроме утверждения о том, что g – функция Грина, сразу следуют из (2.1) при и из теорем 3.1, 4.1. Для доказательства оставшегося утверждения в а) применим лемму 3.1, взяв в ней в качестве любую неотрицательную функцию из такую, что при . Отметим, что на , так как (п. в.). Возьмем какую-нибудь последовательность . По формулам (3.3) построим и по ним построим операторы . Эти операторы равномерно невырожденны и имеют бесконечно дифференцируемые коэффициенты. Пусть – функция Грина оператора в точке 0. Покажем, что при сходится слабо в к g, где взято из леммы 1.1. В силу леммы 1.1 для этого достаточно доказать, что при любых при имеем:

. (4.3)

Заметим, что левая часть (4.3) есть , где – ограниченное бесконечное дифференцируемое решение уравнения . По формуле Ито и по лемме 3.1 выражения стремятся к правой части (4.3) при . По теореме IV.3.12 [19]

,

где постоянные не зависят от . Поэтому и мы получили (4.3).

Наконец, при почти всюду, так как (п. в.) и по теореме Лебега (п. в.) для любой локально суммируемой функции . Этим утверждение а) полностью доказано.

Докажем б). Аналогично (3.3) положим . Ясно, что (п. в.).

Теперь повторим некоторые построения из доказательства теоремы II.6.1 [3]. Выбирая подходящую подпоследовательность номеров, которую без ограничения общности будем считать совпадающей с с помощью конструкции Скорохода можно построить вероятностное пространство и винеровские процессы на нем так, чтобы решения уравнений

(4.4)

при каждом t по вероятности сходились к решению уравнения

.

При этом оказывается (см. [3]), что если ограничены в совокупности, измеримы по Борелю и (п. в.), то при любом

. (4.5)

По следствию 4.1 процесс проводит нулевое время в множествах нулевой лебеговой меры. В частности, из включения , верного по предположению при почти всех x, следует, что для имеем: при почти всех . Таким образом, набор лежит в UM.

Выше мы видели, что совпадает с левой частью (4.3) и сходится к правой части (4.3) для всех . С помощью стандартных рассуждений из теории меры и с помощью леммы 1.1 отсюда указанные совпадение и сходимость получаются для всех ограниченных борелевских h. Более того, если ограничены в совокупности, измеримы по Борелю и (п. в.), то

. (4.6)

Далее, коэффициенты уравнения (4.4) являются гладкими функциями, поэтому их решения на различных вероятностных пространствах имеют одинаковые распределения и

.

Полагая здесь и пользуясь (4.5), (4.6), находим: , что в силу (2.1) при равно . Выбирая , не зависящие от n, получаем (2.2). Теорема доказана.