Сравнительный анализ эффективности использования классических методов оптимизации и методов на основе генетического алгоритма в задаче гашения акустических волн

УДК 519.95 + +517.97

Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета,

г. Красноярск

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ И МЕТОДОВ НА ОСНОВЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА В ЗАДАЧЕ ГАШЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

Представлены результаты вычислительных экспериментов по оптимизации управляемых параметров в задаче максимального гашения акустических волн. Для решения задачи минимизации интегрального функционала, выражающего усредненное звуковое давление в заданной зоне прямоугольной области, применялся алгоритм Нелдера-Мида, генетический алгоритм и гибридный генетический алгоритм. Показано, что наиболее эффективным для рассматриваемой задачи оказался гибридный генетический алгоритм.

Введение. Одним неблагоприятных физических факторов окружающей среды является шум. Для снижения уровня шума используются пассивные средства, однако они малоэффективны на низких частотах. Альтернативным способом подавления акустической волны является активное воздействие волновым полем, которое генерируется в противофазе [1]. Это достигается с помощью систем активного гашения. Для этого требуется настройка параметров активного источника, то есть необходимо решить задачу минимизации акустического давления в заданной области [2]. Для максимального подавления звукового давления особую важность приобретают точность вычисления оптимальных параметров и время расчета задачи минимизации для процедурно заданной целевой функции.

Выбор численных методов. Существуют различные численные методы нахождения оптимальных параметров при решении задачи минимизации целевой функции [3]. Генетический алгоритм [4] и гибридные алгоритмы на базе двух или нескольких методов, соединяющих поиск окрестности глобального минимума с локальной сходимостью.

Рассматриваемые в работе методы оптимизации связаны с процедурно вычисляемой целевой функцией, построенной на численном решении системы дифференциальных уравнений акустики с последующей минимизацией интегрального функционала по настраиваемым параметрам.

Алгоритмы оптимизации без наличия ограничений могут быть разделены на две группы – алгоритмы, базирующиеся на использовании производных целевой функции (методы первого и второго порядка), и алгоритмы, использующие только значения функции (методы нулевого порядка). К классическим методам нулевого порядка относиться симплексный метод Нелдера-Мида [5]. В генетических алгоритмах [4, 6] реализуется идея биологического процесса эволюции. Генетический алгоритм может быть использован при решении задач, когда целевая функция является разрывной и содержит помехи. Одно из главных достоинств метода – способность нахождения глобального минимума.

Задача оптимизации параметров при минимизации звукового давления. Численное моделирование распространения и взаимодействия акустических волн рассматривается в двумерной постановке [2]. Для построения численного алгоритма решения нестационарной задачи газовой динамики используется явная конечно-разностная схема [7]. Для численного моделирования используется прямоугольная расчетная сетка, на которой рассматриваются разностные законы сохранения (массы, импульса и энергии). На рисунке 1 схематично изображена расчетная область и соответствующие зоны: пассивное акустическое воздействие , активное управляемое и оптимизируемое акустическое воздействие и зона контроля акустического давления .

Рисунок 1 – Расчетная область и расположение зоны контроля величины среднего акустического давления

При построении динамической модели рассматривалась прямоугольная область размером 10мх2,5м в виде сетки с расчетными ячейками , имеющими размеры: 0,1м; =1,2,…,100; =1,2,…25. На границах области задавалось условие «жесткой стенки». Положение пассивного источника акустических волн предполагалось в ячейке и располагалось в ячейке =5, =5. При этом в указанной ячейке генерируется акустическое давление вида , с амплитудой =10Па и частотой изменения по времени =100Гц.

В рассматриваемой задаче для подавления акустического давления был использован дополнительный источник, расположенный в ячейке , принадлежащей области , координаты которого при минимизации звукового давления также варьируются. Для активного источника звука использована зависимость в форме:

, (1)

где параметры , рассматриваются как оптимизируемые параметры для максимального подавления акустических волн в области и для того, чтобы в формуле (1) не использовать фазовый сдвиг при оптимизации параметров , предполагалось, что параметр может принимать как положительное, так и отрицательное значение.

Область контроля акустического давления определена в виде объединения ячеек , где =90, =1,2,…,25.

Для минимизации звукового давления рассматривалась целевая функция в виде интегральной квадратичной формы:

, (2)

здесь целочисленные параметры и соответствуют координатам оптимального положения активного источника в расчетной области , является интегральной величиной квадрата звукового давления в момент времени .

Из соотношения (2) следует, что среднее минимальное давление в контрольной области с учетом его изменения во времени может быть оценено величиной:

, (3)

где – площадь контрольной области ,

 – расчетное время.

Для вычисления интегральной целевой функции (2) использован протестированный программный модуль, разработанный на основе алгоритма [2,7], для расчета нестационарного распределения акустического давления в зависимости от варьируемых параметров , , , . При проведении минимизации функционала (2) рассматривался интервал по времени , где =57мс, что соответствует времени двукратного пробега звуковой волны вдоль расчетной области.

Результаты вычислений. Для определения наиболее эффективного метода решения поставленной задачи минимизации акустического давления, по таким параметрам как время расчета и точность найденных параметров, проводилось тестирование на следующем стенде:

-  Процессор Pentium IV, с частотой 3ГГц;

-  ОЗУ 1Гб;

-  Система Microsoft Windows XP Professional, версия 2002, Service Pack 2;

-  Система инженерных и научных расчетов MATLAB, версия 7.01;

-  Пакеты прикладных программ – инструментарии Optimization Toolbox, версия 3.0.1 и Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox, версия 1.0.2.

В результате проведенных экспериментов были получены следующие данные. Исходное значение целевой функции без активного источника =760,4839 (=0,2617Па). При использовании метода Нелдера-Мида оптимальные параметры имеют следующие значения: =7, =6, = -9,9004Па, =96,8848Гц, значение целевой функции =35,0293 (=0,0561Па), время расчета составило 2 часа 54 минуты. При использовании генетического алгоритма: =6, =6, =-10,8901Па, =99,9397Гц, значение целевой функции =5,1791 (=0,0216Па), время расчета 20 минут. При использовании гибридного генетического алгоритма, построенного на базе двух алгоритмов, полученные параметры следующие: =6, =6, =-10,8812Па, =99,4912Гц, значение целевой функции =4,5978 (=0,0203Па), время расчета составило 32 минуты. Полученные значения среднего минимального давления в контрольной области при использовании различных алгоритмов представлены на рисунке 2.

Рисунок 2 – Диаграмма значений среднего давления в контрольной области в зависимости от используемых алгоритмов

Анализ полученных, с помощью различных методов, значений оптимальных параметров показывает, что величины , , незначительно отличаются, в то же время частота изменения по времени существенно отличается - это показано на диаграмме рисунке 3.

Рисунок 3 – Диаграмма оптимальных значений частоты изменения по времени в зависимости от используемых алгоритмов минимизации

Сравнительный анализ полученных результатов вычислительных экспериментов на базе классического, генетического и гибридного генетического алгоритмов показал значительное превосходство алгоритмов на основе генетического алгоритма. Время расчета задачи минимизации при использовании генетического алгоритма оказалось на порядок меньше времени расчета при использовании алгоритма Недлера-Мида, тогда как точность минимизации целевой функции оказалась в семь раз выше. В свою очередь при использовании гибридного генетического алгоритма точность минимизации оказалась еще выше, что соответствует глобальному минимуму целевой функции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Об одной теореме для аналитических функций и ее обобщение для волновых потенциалов / // III Всесоюзный симпозиум по дифракции волн. – М.: Наука, 1964. – 116 с.

2. Кошур процессов активного гашения акустических волн / , // Сборник трудов IV Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» - Томск, 28 февраля – 2 марта 2006. – Томск, Томский политехнический университет, 2006. – С. 128-129.

3. Введение в методы оптимизации / М. Аоки. – М., Наука. 1977. – 344 с.

4. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. - М.: Горячая линия – Телеком, 2004. – 452 с.

5. Моисеев оптимизации / , , .– М.: Наука, 1978. – 352 с.

6. Genetic Algorithm and Direct Search (URL: http://www. /access/helpdesk/help/toolbox/gads/).

7. Годунов решение многомерных задач газовой динамики / .- М.: Мир, 1976. – 429 с.