- поточной системы координат относительно неподвижной (рисунок 8) - линейными координатами (определяющими пространственное положение точки оси пути) и угловыми: углом наклона оси пути - между осью и плоскостью , углом ее отклонения между проекцией на плоскость и осью , углом боковой подуклонки между осью и плоскостью - в совокупности с линейными координатами, определяющими простран­ственное положение элемента поверхности пути;

Рисунок 7 – Пространственное взаиморасположение связанной и

поточной систем координат

Рисунок 8 – Пространственное взаиморасположение поточной и неподвижной систем координат

- каждой из связанных систем координат относительно неподвиж­ной (рисунок 9) - линейными координатами (определяющими пространственное положение центра масс п-го тела расчетной схемы экипажа) и угловыми: углом тангажа между осью и плоскостью ; углом курса между проекцией оси на плоскость и осью , углом крена между осью и плоскостью (определяющими пространственное положение главных центральных осей инерции со­ответствующего тела).

На основании описанной системы линейных и угловых координат принимаются следующие опорные координаты экипажа (под опорными понимаются координаты, полностью определяющие пространствен­ное положение опорных тел системы):

перемещения вдоль оси пути, центров масс обрес-соренных (опускается) и необрессоренных (передней при и задней при тележек) частей экипажа;

боковые относы и подпрыгивания тех же час­тей;

углы поворотов частей вокруг продольно-горизонтальных, поперечно-горизонтальных и поперечно-вертикальных их главных центральных осей инерции;

углы поворотов колесных пар экипажа вокруг их осей вращения.

В принятой системе опорных координат уравнения связей нало­женных на агрегат тел, имитирующих экипаж вытекающие из допу­щений, принятых при выборе его расчетной схемы, могут быть записа­ны в виде

(1)

где средний радиус катания (без проскальзывании) колесных пар экипажа.

Итак, на систему трех опорных тел (пространственное положе­ние каждого из которых, естественно, определяется шестью коорди­натами) с присоединенными к двум из них четырьмя колесными парами (имеющими возможность лишь вращаться вокруг своих осей и не имею­щими никаких иных степеней свободы относительно тел , в состав которых они включены) наложено 12 связей, определяемых соот­ношениями (1).

Следовательно, агрегат имеет 10 степеней свобо­ды, т. е. его пространственная конфигурация может быть полностью определена 10-ю обобщенными координатами. Под обобщенными коор­динатами агрегата опорных тел понимаются независимые ве­личины, вполне определяющие все их опорные координаты, количест­венно устанавливаемые числом степеней свободы указанного агрегата, любые значения которых совместны с наложенными на него связями. В качестве обобщенных для упомянутого агрегата принимаются следующие координаты:

(2)

Вместе со своими первыми производными, т. е. обобщенными скоростя­ми, принятые обобщенные координаты, как известно, полностью опре­деляют динамическое состояние системы, имитирующей i-й экипаж поезда (рисунок 10). При описании движения поезда учитываются следующие воз­мущения системы: силы основного сопротивления движению экипажей ; силы дополнительного сопротивления их движению , возникновение которых обусловлено кривизной пути в плане; силы дополнительного сопротивления тому же движению, вызванные иными причинами (например, низкой температурой окружающей среды, ветром и т. д. - они задаются в долях от с помощью ко­эффициента ); тяговые и тормозные силы, развивае­мые экипажами; составляющие весов их обрессоренных и необрессоренных (номер тележки) частей, действующие коллинеарно касательным к оси пути (в точках, соответствующих началам скоростных систем координат экипажей) и обусловленные наличием его продольного уклона (угла ); центростремительные силы, дей­ствующие на обрессоренные () и необрессоренные () части экипажей коллинеарно осям и их поточных систем, определенные кривизной пути в плане и профиле; силы и крутящие моменты взаимодействий экипажей (с пе­редними - 1 и задними - 2 через ()-е и -е межэкипажные соединения); моменты трения , возникающие в пятни­ковых опорах кузовов экипажей; тангенциальные и нормальные составляющие сил взаимодействия их колес с рельсами.

Рисунок 9 – Пространственное взаиморасположение связанной и неподвижной систем координат

Рисунок 10 – Симметрия агрегата тел, имитирующего экипаж

Предполагается, что и для каждого экипажа лежат на поверхности, определяемой точками контакта бан­дажей его колес с головками рельсов, и направлены коллинеарно-касательно к оси пути.

К внешним воздействиям на поезд относятся все перечисленные выше возмущения системы, за исключением сил и крутящих моментов взаимодействий экипажей, а также моментов трения в их подпятни­ках. Аналитические выражения для этих воздействий таковы:

(3)

где полная масса экипажа; удельные основное и дополнительное (возникающее вследствие кри­визны пути в плане) сопротивления его движению.

Аналитические выражения обобщенных сил системы опре­деляются как коэффициенты при вариациях соответствующих обобщенных координат в выражениях виртуальных работ.

В случае необходимости используется правило параллельного переноса векторов сил: те из них, точки приложения которых получают вариации, без изменения направлений их векторов приводятся к центру масс те­ла, к которому относится варьируемая координата, с одновременным учетом вращающих моментов этих сил относительно упомянутых цент­ров масс. Возмущения, учитываемые при описании движения поезда, рас­пределяются между телами расчетной схемы каждого из его экипажей следующим образом: к телу приложены силы и крутящие моменты , а к телам – силы .

Как было принято, векторы перечисленных выше сил, за исключением , параллельны осям поточной системы координат экипажа: и оси оси оси . Пространственная ориентация векторов и определяется углами и . Кроме того, при влияниях тел и на поверхностях контакта пятников и подпятников, как отмечалось, возникают моменты трения . Исходя из описанной схемы нагружения тел агрегата аналитические выражения таких сил могут быть записаны в виде

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(4)


Таким образом, на примере построения математи­ческой модели движения железнодорожного поезда по пути произволь­ного очертания изложена предлагаемая методика моделирования тако­го движения. Продемонстрируем ее использование на примерах реше­ния некоторых задач.

Kaк отмечено во введении, решение ряда частных задач дина­мики поезда во многих случаях на практике сводится к независимому исследованию отдельных видов его колебаний. Например, про­дольно-вертикальные и боковые движения довольно часто исследуют без учета их взаимосвязи или, по крайней мере, в предположении, что они слабо связаны между собой. Для исследования некоторых про­цессов такое предположение может быть приемлемо, поскольку экспериментами показано, что в зависимости от состояния пути, соотношения величин его неровностей в профиле и плане, а также скорости движения поезда определяющими могут быть колебания экипажей либо в вертикальной, либо в горизонтальной плоскости.

Одна­ко из-за наличия существенных нелинейностей для системы поезд-путь принцип суперпозиции, как правило, неприемлем. В связи с этим независимое исследование колебаний ее элементов в различных плоскос­тях, весьма вероятно, может привести к неверным результатам, и решение задач динамики такой системы с нелинейными пространст­венными, кинематическими и силовыми связями в общем случае долж­но вестись с использованием нелинейных пространственных моделей.

О допустимости же изолированного рассмотрения движений системы по отдельным группам координат, в частности в плоскостях симметрии ее элементов, следует судить лишь на основе анализа полной модели пространственных движений, т. е. сопоставления по критериям, представляющим наибольший интерес в данном конкретном случае исследования, результатов реализации усеченных моделей с результатами, полученными при использовании полной модели или в процессе натурного эксперимента. Использова­ние для исследований указанных полных моделей движения системы поезд-путь необходимо еще и потому, что упрощенные постановки делают принципиально невозможным корректное решение ряда практически важных задач ее динамики.

С математической точки зрения решение задачи о движении поезда сводится к интегрированию системы обыкновенных дифферен­циальных уравнений при начальных условиях

(5)

и из-за неоднозначности функции при дополнитель­ных условиях

. (6)

Высокая размерность и существенная нелинейность упомянутых урав­нений делают одним из наиболее эффективных методов их решения численную машинную реализацию (на ЭВМ), что, естественно, требует разработки ее алгоритма в качестве первого этапа. Результат такого приведения может быть представлен в виде

(7)

где ; ; обобщенные координаты, скорости и ускорения системы.

Центральным в упомянутом алгоритме машинной реализации моде­ли движения поезда, несомненно, должен быть блок интегрирования уравнений (7). Все иные блоки должны осуществлять соответству­ющее информационное обеспечение этого центрального процесса. Правые части уравнений типа (7) удовлетворя­ют условию Липшица, поэтому, как известно, их интегрирование может вестись с применением численных методов. Результаты анализа двух основных классов численных методов решения задачи Коши – одно - и многоступенчатых - приводят к заключению, что их сравнительные достоинства и недостатки взаимодополняющие (таблица 1).

Таблица 1 – Свойства численных методов решения задачи Коши

Свойства

Типы методов

Одноступенчатые

Многоступенчатые

Возможность начать интегрирование

Экономичность в смысле затрат машинного времени для получения заданной точности решения

Легкость изменения шага интегрирования

Легкость получения оценки ошибки ограничена

Имеются, с использованием информации только об одной предыдущей точке решения

Менее экономичны, так как для получения решения в последующей точке необходимы многократные вычисления в предыдущей

Шаг может быть легко изменен, так как использована информация только об одной предыдущей точке решения

Получение такой оценки весьма затруднительно

Отсутствуют, так как для продолжения решения нужна информация о нескольких предыдущих его точках

Более экономичны, так как используется информация о предыдущих точках решения

Для изменения шага решения оно должно быть начато обычно разгоном по одношаговому методу, от предыдущей точки

Ошибка ограничения получается как побочный продукт вычислений

Это делает целесообразным комбинированное использование указанных методов:

1) начало решения (разгон) - с использованием одношагового метода (например, типа Рунге-Кутта);

2) продолжение его с помощью многошагового (итерационного) метода типа "предиктор-корректор" (Адамса-Башфорта или иного);

3) если для получения очередной точки решение требует слишком много итераций, которое больше оптимального числа или ошибка ограничения слишком велика, следует уменьшить величину шага интегрирования либо пройти соответствующий интервал с применением одноступенча­того метода на двух (или более) сгущающихся сетках с оценкой точ­ности получаемого решения по правилу Рунге-Ромберга:

(8)

где оценка погрешности решения на сетке с меньшим шагом; решения на двух сетках; аргумент функции ; шаг интегрирования и кратность его увели­чения; порядок применяемого метода; для получения уточнен­ного решения в точке вычисленная таким образом погрешность должна быть прибавлена к предварительному его значению:

(9)

где предварительное и уточненное значения решения в точке;

4) если предпринято уменьшение шага интегрирования, то за истинное принимается , вычисленное еще достаточно точно: решение (от этой точки) снова начинается одношаговым методом с последующим переходом к многоступенчатому;

5) в любом случае, если очередное результирующее решение получено с помощью формул коррекции, окончательное значение функции в точке рассчитывается по формуле

(10)

где исходное приближение решения в точке, полу­ченное с помощью формулы прогноза, его значение после m-й коррекции и окончательное значение.

Немаловажным вопросом, от решения которого, как известно, в значительной степени зависит корректность определения движения системы, является выбор порядка разностных формул применяемых численных методов интегрирования.

Из анализа физической сущности задачи следует, что правые части уравнений (7) ведут себя по-разному на различных участках решения. На начальном этапе интег­рирования они непрерывны и ограничены вместе со своими четырьмя производными (и эти производные не слишком велики). На последую­щих же этапах решения упомянутые правые части непрерывны, их пер­вые производные имеют разрывы первого рода, а вторые - второго. Из этого следует, что благодаря очень малому коэффициенту в оста­точном члене и быстрому возрастанию точности при уменьшении шага для "разгона" может быть успешно применена распространен­ная схема четвертого порядка. На последующих же этапах решения (где ввиду указанных причин предельный порядок точности схемы четвертого порядка реализован быть не может) не худшие (однако и не лучшие) результаты дают схемы второго (т. е. равного порядку имеющихся производных правых частей интегрируемых уравнений) порядка точности. При выборе конкретных разностных фор­мул метода прогноза-коррекции учитывается то обстоятельство, что выражение для оценки ошибки ограничения это­го этапа интегрирования имеет наиболее простой вид в случае, когда формулы прогноза и коррекции обладают одним и тем же порядком точности.

Все изложенное относительно организации итерационного процесса применимо и к обобщенным скоростям. Вследствие этого экономия машинного времени за счет выбора более крупного шага интегрирования, возможного вследствие селективизации итерацион­ного процесса по отдельным координатам и соответствующим скорос­тям, как показывает практика, может быть весьма ощутимой.

На рисунке 11, а и б в качестве примера приведены осцил­лограммы АЕ – абсолютных погрешностей вычисления продольных уси­лий в первом сечении трогающегося с места поезда для случаев, когда величина δi влияет и не влияет на протекающий в нем пе­реходный процесс.

Движение определено путем численного интегрирования моделирующих его дифференциальных уравнений типа (7) с использованием описанных выше итерационных процедур, управляемых заданием различных допусков ε на их сходимость. Из упомянутых осциллограмм (каждая из которых отличается от предыдущей снижением на порядок ε, варьировавшим в пределах 0,1-0,00001) видно, что с уменьшением ε решения сходятся к точному (в ка­честве которого принималось полученное при h=0,001).

Однако после некоторого предела (при ε=0,0001 и особенно при ε=0,00001) из-за слишком большого накопления вычислительной пог­решности итерационный процесс начинает несколько расходиться. Та­ким образом, хотя сам принцип покоординатной селективизации ите­рационного процесса на практике себя полностью оправдывает, но величина ε должна выбираться с учетом предотвращения воз­можности накопления недопустимо большой вычислительной полезнос­ти (а потому ухода от требуемой точности решения).

Вместе с тем необходимо иметь в виду, что, управляясь компарационным соотноше­нием

(11)

итерационная процедура делает выбранный метод прогноза-коррекции относительно устойчивым (в процессе вычислений с его использованием не возрастает их относительная погрешность).

а б

а – трогающегося предварительно растянутого поезда; б – трогающегося предварительно сжатого поезда

Рисунок 11 - Абсолютная погрешность вычисления продольных сил в первом межэкипажном сопряжении

При этом последовательные значения сходятся к некоторому опре­деленному но вовсе не обязательно к точному решению интегрируемого уравнения. Разница между тем и другим представля­ет собой ошибку ограничения, выражение для которой может быть представлено в виде

.

Последнее свиде­тельствует о том, что следует ожидать скорость сходи­мости итерационного процесса сильно зависящей от h, величину ко­торого исходя из критерия минимизации объема вычисления для дос­тижения заданной точности решения необходимо выбирать такой, чтобы критерий сходимости относительно устойчивости (11) удовлетворялся после двух итераций.

Далее приводится функциональное описание иных структурных блоков искомого алгоритма, призванных, как отмечалось, осуществить должное информационное обеспечение центрального процесса численного интегрирования уравнений (7). Входным для модели в целом является информационный поток, характеризующий возмущающие воздействия на элементы системы, с одной стороны, и передаточные функции этих элементов, а также структуру системы - с другой. Вся указанная исходная информация должна быть получена моделью, проконтролирована на предмет отсутствия выхода значений параметров за допустимые ограничения (сформированные исходя из анализа физической сущности задачи), трансформирована к виду, удобному для дальнейших преобразований. На основании указанной информации должны быть определены взаимодействия в системе (си­ловые и моментные), что, в свою очередь, требует получения зна­чений деформаций и скоростей деформирования ее податливых элемен­тов, а также инерционных ускорений. Значения перечисленных ве­личин представляют собой достаточную информационную базу для вы­числения на их основе правых частей уравнений (7). Последние же, естественно, могут быть непосредственно использованы как входные для блока интегрирования. Наконец, кроме всего прочего должно быть обеспечено соответствующее управление входными, про­межуточными и выходными информационными потоками модели.

На основании изложенного структурная блок-схема синтезируе­мого алгоритма может быть представлена в виде, изображенном на рисунке 12. Функциональное предназначение блоков следующее: MAIN - реализация алгоритма путем управления иными его структурными еди­ницами и вывод текущих значений параметров рассматриваемого дви­жения; PREPAR - ввод исходной информации, ее контроль, пер­вичная обработка и приведение к виду, удобному для дальнейших преобразований; FG - определение силовых и моментных возмущений системы; GDEF - определение деформаций и скоростей деформирова­ний податливых элементов; RPG - вычисление правых частей уравне­ний движения; ISE - численное интегрирование этих уравнений; EXTREM - выбор экстремальных значений обобщенных координат и скоростей системы, а также действующих в ней возмущений; PR - вывод результатов функционирования предыдущего блока.

Рисунок 12 – Блок-схема программы реализации на ПЭВМ модели

движения поезда

В целях машинной реализации модели движения поезда структурные блоки описанного алгоритма были приняты в качестве глобальных модулей верхнего уровня программы для ПЭВМ. При этом между упомя­нутыми блоками алгоритма и модулями программы была обеспечена преемственность как мнемоники наименований, так и функционального предназначения. В основу разработки программы были положены принципы нисходящего (сверху вниз) проектирования и модульности.

Исходя из этого результат действия (т. е. функциональное предназначение) каждого из упомянутых выше программных модулей верхнего уровня методом отрабатывания назад представлялся в виде суммарной совокупности результатов действия бо­лее простых модулей нижележащего иерархического уровня. Пользуясь методом рекурсии в отношении последней процедуры (т. е. функционально дробя результаты работы модулей все более низкого уровня и представляя их в виде совокупности результатов действия модулей еще более низкой иерархии), можно прийти в конечном счете к таким примитивам (элементарным арифметическим и логическим операциям), которые могут быть программно оформлены в виде конечного числа элементарных операторов ФОРТРАНа.

При этом логически замкнутые (т. е. такие, результаты действий которых могут быть интерпретированы как некото­рые физические величины, характеризующие компоненты вектора сос­тояния системы, передаточные функции ее элементов или возмущающие воздействия на них) группы операторов программно оформлялись в виде отдельных, структурно взаимодействующих функциональных модулей. Упомянутые модули, вместе с тем достаточно независимы в отношении таких факторов, как логическая структура программы (алгоритма), аргументы или параметры модуля, внутренние переменные таблицы и константы, структура и формат баз данных, модульная структура управления программой (каждый модуль имеет ограниченное число, в основном по одному, входов и выходов), при полной детерминированности межмодульных интерфейсов.

При достаточно гибком маневрировании в пре­делах отведенных задаче машинных ресурсов программа позволяет решать значительное число практически важных задач динамики под­вижного состава. Конкретный круг таких задач, по-видимому, может быть очерчен теми из них, которые, с одной стороны, требуют доста­точно детального рассмотрения динамики пространственных движений экипажей в поезде с учетом особенностей существенно нелинейных пространственных взаимодействий между ними, но с другой – могут без существенного ущерба для точности решаться без дальней­шей детализации расчетной схемы системы поезд-путь. К таким задачам, например, относятся: исследование устойчивости от схода с рельсов и соскока со шкворней единиц подвижного состава при движе­нии поезда по пути, имеющему различную конфигурацию в профиле и плане; оценка рациональности выбора параметров пути, в частности его плана, исходя из условий обеспечения упомянутой устойчивости от выжимания (выдергивания) экипажей из поезда и иных критериев; оценка пространственной нагруженности кузовов экипажей в различ­ных условиях движения и ряд других. Это, однако, не исключает, а предполагает возможность дальнейшего расширения круга таких задач, эффективно решаемых с применением разработанной программы, что, как отмечалось выше, требует детализации расчетной схемы рассмат­риваемой системы, соответствующего дополнения модели ее движения и отражения этих дополнений в машинной программе его определения.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3